解析几何教材中一道例题的另解

现高中教材《平面解析几何》(甲种本)第116页例3求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点的切线互相垂直。书上证明方法是求四个交点坐标,再求交点处切线的斜率,验证两者成负倒数关系。实际上,本题可作一般性证明,即不必求出交点坐标。证明如下。设椭圆与双曲线的交点坐标为(x_0,y_0),则过(x_0,y_0)椭圆的切线为 x_0x/25+y_0y/9=1,即 9x_0x+25y_0y=225;双曲线的切线为x_0x-15y_0y=15,两切线的斜率分别为:     

过双曲线的中心能向双曲线引切线吗?

题:求双曲线的两条互相垂直的切线的交点轨迹。解设双曲线的方程为x~2/a~2-y~2/b~2=1由于双曲线互相垂直的切线其斜率一定存在,且不等于零,故可设其斜率分别为k和-1/k,则两条切线方程分别为 y=kx±((a~2k~2)-b~2)~(1/2),①和 y=-(1/k)x±((k~2/a~2)-b~2)~(1/2)。     

六年制重点中学高中《解析几何》课本一例浅议

在六年制重点中学高中《解析几何》课本的116页有这样一道例题:“求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点处的切线互相垂直。”课本的证法是: 先解椭圆和双曲线方程所组成的方程组,求得四个交点 P_1((5(15)~(1/2))/4,3/4);P_2(-(5(15)~(1/2))/4,3/4);P_3((5(15)~(1/2))/4,-(3/4));P_4(-(5(15)~(1/2))/4,-3/4)。再分别求出椭圆、双曲线在点P_1处的切线方程,     

剖析二次曲线的切线方程的结构

求圆、椭圆、双曲线、抛物线的切线方程,思路明确,但其计算量往往令人“算而却步”,下面就上述四种曲线,来剖析它们切线方程的结构特征,以飨读者. 对于二次函数的切线方程我们是会求的,如求曲线y=px2(p≠0)在点(x2,y0)处的切线方程.斜率k=f1(x0)=2px0,由点斜式知:切线方程为y-y0=2px0(x-x0)(→)=y+y2/2=px·x0,即把原函数表达式中的y换成y+y0/2,把x2换成x·x0.     

小条件 大问题——对一个轨迹问题的一点注解

文[1]得到了椭圆互相垂直的切线的交点的轨迹的一个结论,记为命题1：设l1,l2是椭圆x/a2＋y/b2=1（a＞b＞0）的两条切线,且l1⊥l2,l1,l2交于点P,则点P的轨迹是圆x2＋ y2=a2＋ b2.     

过两曲线交点的曲线系方程的应用

我们知道:过两曲线c_1:f(x,y)=0;c_2:g(x,y)=0的交点(如果存在的话)的曲线系方程为:f(x,y)+λ-g(x,y)=0(λ为参数)。在进行高三数学综合复习时,使学生能够熟练地使用曲线系方程来解决问题,对培养解题的能力是大有好处的。下面举例说明在教学大纲的范围内的一些应用。例1:已知两条相交曲线:x~2/16-y~2/9=1和x~2/25+y~2/9=1,试证:(1) 这两条曲线的交点在椭圆2x~2/41+y~2/41=1上;(2) 有无穷多条双曲线过这两曲线的交点。此题若按一般解法,求交点,再代入椭圆方程检     

逆用直线方程的点斜式解题

如果直线l经过点A(x0 ,y0 )且斜率为k ,则直线l的方程为y - y0 =k(x -x0 ) ,反过来 ,如果直线l的方程为 :y- y0 =k(x-x0 ) ,那么直线l经过点A(x0 ,y0 ) ,在解题中 ,如果能逆用直线方程的点斜式 ,能简化解题过程 ,现分析几例 ,供参考 .　　　　　图 1例 1　曲线 y =4 -x2 + 1与直线 y=k(x- 2 ) + 4有两个交点 ,求k的范围 ,分析　该题若利用解方程的方法来解较繁 ,但若将直线方程变形为 y- 4=k(x- 2 ) ,会发现直线恒过定点A(2 ,4 ) ,这样就可以利用数形结合来解决 .解　将曲线方程变形得x2 + (y- 1) 2 =4　 (y≥ 1) ,该曲线是以 (0 ,1)为圆…     

一道“中点弦”问题解法的背景研究

1问题的提出试题已知椭圆C:x²+4y²=16,过点P（2,1）作一直线l交椭圆C于A,B两点,若点P为交点弦AB的中点,求直线l的方程.这是一道我校"圆锥曲线与方程"一章阶段测试的试题,讲评试题时笔者采用的是"点差法"与"设而不求"两种常规方法,课后有一位同学提出教辅材料中介绍的一种简解方法如下:将点P（2,1）代入椭圆的切线方程x₀x+4y₀y=k,得2x+4y=k,点P（2,1）在此直线上得k=8,则直线l的方程为2x+4y=8即     

切线问题——越来越热的数学高考话题

近几年来,关于函数图像的切线问题,逐渐进入高考试卷,并在不断加大考查力度和与相关知识融合的力度,已经成为高考的热点.导数为这类问题的解决提供了新思路、新方法、新途径,拓宽了高考的命题空间.下同介绍高考切线问题的七种类型,并力求运用导数知识解决问题的主要思想方法,供复习参考.1求过一点的曲线的切线方程例1(2007年浙江省高考题)曲线y=x3-2x2-4x+2在点(1,-3)处的切线方程是.解显然点(1,-3)在曲线y=x3-2x2-4x+2上.因为y′=3x2-4x-4,所以y′│x=1=-5,因此所求切线方程为y+3=-5(x-1),即5x+y-2=0.例2(2006年全国高考题)过点(-1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,其中一条为().(A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=0(C)x+y+1=0(D)x-y+1=0错解y′=2x+1,y′│x=-1=-1.故过点(-1,0)的抛物线的切线方程是y-0=-1(x+1),即x+y+1=0,所以选C.正解显然(-1,0)不在抛物线y=x2+x+1上.设切点坐标为P(x0,y0),则y0=x20+x0+1.过点P的切线方程是y-(x20+x0+1)=(2...     

圆锥曲线的一个有趣性质

性质　过圆锥曲线上任一点 P(x0 ,y0 )作倾斜角互补的两直线交该曲线于 A,B两点 ,则直线 AB的倾斜角为定值 ,且直线 AB的倾斜角与该曲线在 P点的切线的倾斜角也互补证明　以下只证明椭圆情况 ,双曲线与抛物线同理可证 .设椭圆方程为 :x2a2 y2b2 =1,图 1(1)当 y0 =0时 ,直线 AB的倾斜角与 P点处切线的倾斜角都是90°,知结论成立 ;(2 )当 y0 ≠ 0时 ,设直线的参数方程为 :x=x0 tcosα,y=y0 tsinα,(t为参数 )代入椭圆方程整理得 :(b2 cos2 α a2 sin2 α) t2 2 (b2 x0 cosα a2 y0 sinα) t b2 x20 a2 y20 =a2 b2 .∵点 P在…