运用射影思想探索解几综合题

运用射影思想探索解几综合题李若芬（青海省西宁十二中８１０００１）《解析几何》、课本中介绍的两点间的距离公式，线段的定比分点公式，直线斜率公式以及点到直线的距离公式，都是通过作点或线段在坐标轴上的射影，化二维空间的问题为一维空间的问题，利用平几的有关知...     

巧用射影方法 简解轨迹问题

在解析几何中，当题设条件涉及几条线段的长度关系时，运算量往往较大．如果作出各线段在坐标轴上（或平行于坐标轴的直线）的射影，化为坐标轴上的有向线段的数量或长度来表示，常可收到简化运算、快速求解之功效．     

降维法解题

变量的个数称为“维数”,平面是二维空间．《解析几何》课本中两点间距离公式,线段定比分点公式,直线的斜率公式以及点到直线的距离公式,都是通过作点或线段在坐标轴x轴（或y轴）上的射影,将问题转化为只与横坐标（或纵坐标）有关问题,化二维空间的问题为一维空间的问题,     

定比分点公式推导方法的重要启示

现行解几课本在推导线段的定比分点公式时,利用的是射影思想。这就是将平面直角坐标系中,一条线段上三点所分成的两条线段长度比,转化为它们在坐标轴上的射影之比,其实质是运用平行线分线段成比例定理,化二维的两点问的距离为一维的有向线段数量的绝对值,使所需比例式大为简化,从而达到运算简捷,合理的目的。事实上,射影思想是解决解几中许多问题的一种十分重要的方法。例1 设有双曲线S:xy=1,通过点A(a,     

定比分点公式推导的启示

定比分点公式推导的启示安徽省铜陵市三中潮斌定比分点公式是平面解析几何中一个重要的公式,有着广泛的应用．公式推导的一个关键所在就是将有向线段Ｐ１Ｐ２射影到坐标轴上,化Ｐ分Ｐ１Ｐ２所成的比λ为Ｍ分坐标轴上的有向线段Ｍ１Ｍ２所成比问题,图１因而有λ＝Ｐ１Ｐ...     

利用交比、简比求射影对应式和射影变换式

交比是射影几何中的唯一基本不变量,是射影几何的一个至关重要的概念和工具,而简比是仿射变换下的基本不变量。在高等几何教学中抓住交比和简比这个基本不变量,可以加深对射影几何的理解,交比的定义在许多射影几何教材中都表述为两个简比之比（或四线段之比）。可是三点A、B、C的简比作为两线段AC、BC的长度之比。在欧几里德空间中,点是有顺序的,同一直线上的任意三点,总有一点在另外两点之间,因此线段有“内部”和“外部”之分。欧几里德空间中三点的简比的符号反映了这一顺序关系。简比（ABC）是负的就标志着C在A、B之间,…     

射影法应用四例(高二、高三)

在解析几何中,把点或线段投影到坐标轴上或与坐标轴平行的直线上,往往易于发现点的坐标与线段长度之间的联系,从而简化运算过程.     

线段定比分点公式的几种推导及定比λ

线段定比分点公式是解析几何的基本公式．本文用射影、平面几何、向量的坐标等四种方法对线段定比分点公式进行了推导．针对学生在学习和运用线段定比分点公式时所出现的错误，进一步讨论了定比A的范围．设直线上两点P1、P2坐标分别为（x1，y1）、（x2，     

利用射影思想简化解析几何计算

不少解析几何问题含参变量多,运算量大,许多优秀学生往往因运算繁杂、费时过多而影响得分.这里,向同学们介绍用射影思想来简化解析几何运算的策略.一般地,当题设涉及几条共线段或平行线段的长度(或比值)时,可作出各端点在x轴或y轴上的射影,化为坐标轴上的有向线段数量来表示,从而便于运算.     

双曲线的一个性质

性质与双曲线y=k/x中的一支曲线相切于点（p,q）的直线的表达式为y=-q/px＋2q,切点是这条直线被坐标轴所截得的线段的中点．     

试谈解几中线段成比例的转化技巧

纵观近几年的高考解几综合题,线段成比例的试题频频出现(1995年高考的文、理科压轴题都是此类题型),对考生提出了较高的能力要求,致使许多考生望而生畏,中途却步。究其原因,关键在于这些考生只是简单地利用两点距离公式对线段之比作形式上的转换,从而使参数偏多,运算复杂冗长,迫于无奈而舍弃。为此,本文给出几种普遍适用且解法简捷的转化技巧,供同学们参考。 1 将线段之比转化为在同一坐标轴上的射影之比     

例析坐标方法理解和应用

1.用坐标表示地理位置例1图1是永州市几个主要景点示意图,根据图中信息可确定九疑山的中心位置C点的坐标为__.解答根据已知两点的位置,可确定坐标系,从而定出C点的坐标为（3,1）.解题提示根据已知两个点的坐标,确定平面直角坐标系的原点和坐标轴,这是一个逆向思维的问题,然后再在直角坐标系中标出点C的坐标则是正向思维.2.平移变换后点的坐标例2在平面直角坐标系中,已知线段AB的两个端点分别是A（-4,-1）,B（1,1）,将线段AB平移后得到线段AB’,若点A的坐标为（-2,2）,则点B’的坐标为（）.A.（4,3）B.（3,4）C.（-1,-2）D.（-2,-1）解答由A与A的坐标关系,     

扩大欧氏平面上的线段长

本文为解答二次曲线过焦点的弦长问题，用射影几何的观点，修改了文（４）的观点，证明了其有关定理，列举了具体例子，圆满地解决了广义极坐标下，求过极点的线段长的问题，并且更一般地解决了扩大欧氏平面上“过某点的线段长”的问题，规定了线段长与其两端点间距离的关系。     

四面体中的三个定理及其应用

众所周知,在三角形中有正弦定理、余弦定理、射影定理,它们揭示了三角形中边角间的重要关系.这三个定理联系紧密,并可互相推出.在四面体中,也有类似的三个定理,它们表示了面角与二面角之间的关系,当然也可彼此互推. 在四面体O-ABC中,设三个面角分别为α、β、γ,对应的二面角分别为θ-α、θ-β、θ-γ,（如图1）则有 定理1 cosα=cosβ·cosγ sinβ·sinγ·cosθ_α cosβ=cosα·cosγ sinα·sinγ·cosθ_β cosγ=cosα·cosβ sinα·sinβ·cosθ_γ 证明 利用有关射影的定理:（1）平面上折线的各边射影之和等于封闭线段在射影轴上的射影.（2）直线在轴上的垂直投影等于被投线段的长度乘以该线段和轴的交角的余弦.     

一个公式推导的背后

定比分点公式是平面解析几何中的一个重要的公式，在课本中，公式的推导主要思想是将有向线段P1P2投影到坐标轴上，化P分P1P2的比为M分M1M2^-所成的比，因此有     

相似形与解直角三角形

（３５）比例线段与平行线分线段成比例一、复习要点１．关于比例线段（１）在两条线段的比ａ∶ｂ中，ａ叫做比的项，ｂ叫做比的项．（２）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做线段．（３）如果ａ∶ｂ＝ｃ∶ｄ，那么、叫做比例外项，、叫做比例内项，ｄ叫做ａ、ｂ、ｃ的．（４）如果ａ∶ｂ＝ｂ∶ｃ，那么线段ｂ叫做线段ａ、ｃ的．（５）把线段ＡＢ分成两条线段ＡＣ和ＢＣ（ＡＣ＞ＢＣ）且使ＡＣ是ＡＢ和ＢＣ的比例项，叫做把线段ＡＢ黄金分割，点Ｃ叫做线段ＡＢ的点．２．比例的性质（１）基本性质…     

斜二测画法中线段长度的变化分析

在用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,与x轴平行的线段长度不变,与y轴平行的线段向右（或向左）倾斜45°且长度减半．那么,不与坐标轴平行的线段在直观图中又是怎样变化呢？下面我们来研究这个问题．     

直角三角形第三个顶点究竟有几个

在平面直角坐标系中,已知A、B两点怎样在坐标轴上找到一点C使△ABC为直角三角形.这样的问题在中考题中经常见到,是一个多解问题,学生在想此问题时经常考虑的不全面,在小题中丢掉全部的分值,在大题中丢掉一部分分值,其实这类问题掌握方法也可以轻松解决.如果∠A为直角,过点A做线段AB的垂线,与坐标轴的交点就是所找的C点.如果∠B是直角,过点B做线段AB的垂线,     

证明线段等积式常用方法举隅

初中平面几何中关于证明线段等积式的问题 ,是常见的一种题型 ,它是教学的一个重点．现举例介绍八种常用方法．一、利用平行线分线段成比例定理例１ 如图（１） ,ＡＤ是△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线 ,交ＢＣ于Ｄ点 ,求证ＡＢ·ＤＣ＝ＢＤ·ＡＣ．ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．四、利用射影定理例４ 如图（４） ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ＝ＡＣ ,以ＡＢ为直径作圆交ＢＣ于Ｄ ,Ｏ是圆心 ,ＤＭ是⊙Ｏ的切线交ＡＣ于Ｍ ,求证ＤＣ２ ＝ＡＣ·ＣＭ．思路分析 :证明△ＡＤＣ是Ｒｔ△ ,并且ＤＭ⊥ＡＣ ,就可利用射影定理证得结论．五、利用圆幂定理例５ 如图（５…     

浅谈高等几何在初等几何中的应用

高等几何对中学几何,特别是对解析几何有重要的指导作用。本文拟就如何用高等几何的方法解决中学几何,特别是初等几何中的一些问题进行了初步探讨。一、仿射变换的应用1、利用平行射影证明几何题平行射影是最简单的仿射变换,利用两条直线间的平行射影将图形中不共线的点和线段投射成共线的点和线段,可使一些命题的证明简化。例1(menelaus定理)在三角形的边或其延长线上,三个分点共线的主要条件是顶点到分点与分点到这边上另一顶点的有向线段的值的比的乘积等于-1。已知:如图,在△ABC中,点L、M、N分别是AB、BC、CA上(或延长线上)的点。…