九点球定理

文[1]给出了定义1 过球内接三角形一顶点且平行于球心与对边中点连线的直线称为三角形的伪高线.定理1 球内接三角形的三条伪高线交于一点(称为三角形的伪垂心),这点到顶点的距离是球心到对边中点距离的2倍.定理2 三角形的外接球心、重心和伪垂心三心共线(伪欧拉线,它在三角形所在平面的射影就是三角形的欧拉线),且外接球心到重心的距离与重心到伪垂心的距离之比为1:2.受到启发,我们有定义2 过三角形一顶点的伪高线与其外接球的     

球内接三角形的伪垂心定理

称过球内接三角形一顶点而平行于球心与对边中点连线的直线为三角形的伪高线.我们有定理球内接三角形的三条伪高线交于一点(称为伪垂心),这点到顶点的距离是球心到对边中点距离的2倍.     

三角形的高、中线与角平分线知识点讲解

一 三角形三条重要线段 1、高线：从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线,所得线段称为三角形一边上的高线。     

垂足三角形与原三角形的一些关系

所谓垂足三角形是三角形的高线足所成的三角形。关于垂足三角形与原三角形的关系我们已经知道了一些,比如三角形的三条高线平分垂足三角形的内角或外角;锐角三角形的所有内接三角形中,垂足三角形的周界最小。这里,我们通过对垂足三角形面积和一些长度的计算,进一步说明垂足三角形与原三角形的关系。 1)已知△ABC的三内角为A、B、C,AD、BE、CF为三边上的高. 求证 垂足三角形与原三角形面积之比只与原三角形三个角的余弦有关. 证明 设△ABC的面积为S,垂足三角形DEF的面积为S_1,令A、B、C的对边分别为a、b、     

高线构成的三角形

符合某种条件的三角形的存在性,是三角形几何学研究中一个有价值的课题[1].众所周知,以三角形的三条中线为边长可以构成新的三角形,但以三角形的三条内角平分线或三条高线为边长却不一定能构成三角形. 文[1]、[2]讨论了三角形三条内角平分线为边长可构成三角形的条件及其性质.本文对高线构成三角形的相关问题进行探讨. 定理1 设△ABC的三边长为a、b、c,对应的高线长为ha、hb、hc,则ha,hb,hc为长     

圆内三角形的探究

一、圈内两对三角形的相关定义定义1：三角形三个内角平分线的延长线与其外接圆相交,交点构成的三角形叫做原三角形的角线三角形．定义2：三角形三条边上高线或其延长线与其外接圆相交,交点所构成的三角形叫做原三角形的高线三角形．     

角平分线与高线的夹角探究

角平分线与高线是三角形中的两条主要线段,它们的夹角与三角形的内角存在下面两条规律．1．三角形同一顶点引出的角平分线与高线的夹角等于三角形另外两角差的绝对值的一半．     

让学生走向舞台,让教师退向幕后——“折三角形的三线”课堂教学实录与评析

《折三角形的三线》是七年级下册《数学实验手册》上的第四个实验。实验内容看似简单,但实际操作时学生还是有困难的。首先如何引导学生折三角形的三线,其次学生要在会折的基础上能简单地说理。特别是在折钝角三角形的高线时,教材只是简单地说明了钝角三角形只能折出一条高线,并没有进一步探究。而本节课对这部分进行了深入探究,让学生自己想办法折出钝角三角形的三条高线。     

都是三角形的高线惹的祸

三角形的高线与三角形的中线、角平分线不同的是它不一定在三角形内部,在解与三角形的高有关的问题时,同学们常常忽视高线在三角形外部的情况,从而产生漏题的错误,现举数例,以引起同学们的注意,防止产生类似的错误。     

如何化斜为直

我们已经能熟练地解有关直角三角形的问题 .但有时也会碰到解斜三角形的问题 .解斜三角形问题的思想方法是通过作斜三角形的某一条高线 ,将斜三角形问题转化为直角三角形问题 ,从而实现由未知到已知的转化 .     

简析等腰三角形“三线合一”性的逆定理及其应用

以等腰三角形“三线合一”的逆命题为切入点展开探究.三角形的角平分线及该角对边的高线重合,或一边的中线及该边的高线重合时,都易证该三角形为等腰三角形.而三角形的角平分线及该角对边的中线重合时的探究要复杂些,过中点向该角的两边作垂线段为辅助线,利用三角形全等证角等.命题的正确性说明属于“边边角”情况的两个三角形未必不全等.4个例题,展示了“角平分线+高线等腰三角形”的应用.     

例谈构造垂心证题

我们知道,三角形的三条高线交于一点,这点称为三角形的垂心.利用这一性质,适宜地构造三角形的垂心,在证明线段垂直,三点共线或多线共点这几类问题时,作用巨大.下面用典型实例加以说明.     

三角形角平分线与高线夹角问题的探究

在一节数学活动课上,老师安排我们对三角形中角平分线与高线的夹角问题进行探究(如图1).我们分小组探讨,大胆猜想,认真     

九点球定理

文[1]给出了 定义1过球内接三角形一顶点且平行于球心与对边中点连线的直线称为三角形的伪高线．     

平面几何(之25)三角形全等

(4)全等三角形的应用三角形,是平面几何中最基础的也是最重要的图形.三角形全等则是两个图形之间最重要的也是最有用的关系.两个三角形一旦全等,那么它们的一切对应部分就相等.从这个基本点出发,我们可以利用三角形全等求三角形的元素(角、边、高线、中线、角平分线、面积等)或解决很多证明问题.     

几何学中的四颗小明珠

1.很久以来,人们已经知道:和一个三角形有关的九个点总是在一个圆上。这九个点分别是:三角形各边的中点,各边高线的垂足,以及三个所谓的“Euler”点,即三角形的垂心(三条高线的交点)与诸顶点联线的中点(见图1)。     

三角形角平分线与高线夹角问题的探究

在一节数学活动课上，老师安排我们对三角形中角平分线与高线的夹角问题进行探究（如图1）．我们分小组探讨，大胆猜想，认真求证，最后得到了两个有用的结论，为我们今后解题提供了便利．请先看例题．     

Whc143的证明

杨之先生在[1]中列出了安振平先生提出的涉及两个三角形高线的猜想不等式,即     

角平分线与高线的夹角探究

角平分线与高线是三角形中的两种主要线段,下面我们探究它们的夹角与三角形的内角之间的关系．例1如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B= 30°,AT平分∠BAC,AH⊥BC,垂足为H,则∠TAH=____．     

构造等腰三角形解题

三角形中如果角平分线又是对边上的高线,则此三角形为等腰三角形,解题时若巧妙地利用这点来构造等腰三角形,可顺利地解决一些几何题。