巧解条件排列组合题几例

在解排列组合题时,常遇到有限条件的应用题,我们把被限制的元素称为特殊元素,被限制的位置称为特殊位置.解题时,若优先安排一般元素(或位置),后安排特殊元素(或位置),往往能较快地解决问题.例1.用0到9这十个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?(课本P.235.例5 )分析:从0到9这十个数中任取三个数字的排列数为P_(10)~3,其中以0为排头的排列数为P_9~2,因此,所求的三位数的个数是:P_(10)~2- P_9~2=648(个)     

解计数问题时产生“重复”的原因诊断

同学们在解决有些类型的排列、组合应用题时很容易出现错误解法,其中产生错误的原因之一是重复计算.在解题时,应做到既不重复,又不遗漏;对于错误解法,要能加以分析、纠正.这样对于提高大家解决排列、组合应用题及分析问题、解决问题的能力都有很大的帮助.一、分步过程中易产生重复例1在100件产品中有3件次品,其余为正品,从这些产品中抽出4件,至少有1件次品的抽法有多少种?解法1先在3件次品中抽出1件,抽法有C₃¹种,     

中师自学考试数学自测题(一)参考答案

(4)符合题意的每一个五位数,都可以按以下两个步骤得到:第一步,从1,2,3,4这四个数字中任选一个排在万位上,有P_4~1种排法;第二步,将剩下的三个数字和数字0(共四个数字)按任意顺序分别排在千位、百位、十位、个位上,有P_4~4种排法。根据乘法原理,符合题意的所有五位数的个数是:     

排列、组合、二项式定理考点与解题指导

在历年高考数学试题中,考查排列、组合、二项式定理均以考查基础知识、基本技能和基本方法为主.涉及排列、组合内容的问题.基本都是用加法原理或乘法原理、排列或组合的概念以及排列数或组合数公式求解的应用题.考查二项式定理的重点则是应用二项展开式的通项公式解决有关问题.这部分的考试题型几乎全是选择题和填空题,解答题的大题很少出现.考查的数学思想方法主要有分类思想、转化思想等.现以历年的高考试题为例,探求这部分内容的题型以及解法.例1:从1,2,…,10这十个数中取出四个数,使它们的和为奇数,共有_____种取法(用数字作答).(’93全国新高考题)分析:从1,2,…,10这十个数中取出四个数,其和为奇数的情形有两类,一类是取3个奇数和1个偶数,另一类是取3个偶数和1个奇数.由于无法将这两类合成去解答,因此应分别考虑.因为取3奇1偶和3偶1奇的种数都是C~3_5C~1_5,故由加法原理共有C~3_5C~1_5 C~3_5C~1_5=100种取法.(2)对于某些有限制条件的排列组合应用题.若看成一类无法解答,则应分成若干类分别讨论.例2:用0,1,2,3,4这五个数字组成没有重复数字的四位数,那么,在这些四位数中,是偶数的总共有( )(A)120个(B)96个(C)60个(D)36个(’88广东高考题)     

高考计数问题中“重复”的产生及诊断

在解决某些类型的排列、组合应用题时同学们很容易出现错误解法,其中产生错误的原因之一是由于重复造成的.在解题时,应做到既不重复,又不遗漏,对于错误解法要能加以分析、纠正,这样对于提高大家解排列、组合应用题及分析问题、解决问题的能力均有很大的益处.     

解排列组合应用题的几种策略

排列组合是高中数学的重要内容,新教材中概率与统计的增加,更突出了排列与组合的重要性,但其内容较为抽象,解法较为灵活,对学生而言较为难学.笔者结合教学实践总结出解排列组合应用题的几种常用策略.1分类处理法对复杂的问题,若能分类列举出符合条件的几种情况,逐类解决,应为首选解法.例1用0、1、2、3、4、5六个数字可组成几个无重复数字的四位偶数?分析要组成四位偶数,末位必须取0、2、4中一个,而首位不为零,因此按末位“取0”或“不取0”两类分别考虑:(1)末位取0时,有A53个偶数;(2)末位取2、4时,有C21C41A42个偶数.故有A53+C21C41A42=…     

自不相邻排列的计数问题

有一道排列题,其错误解法已出现在多处书刊: 题目 书架上有4本不同的数学书,5本不同的物理书,3本不同的化学书,全都竖起排成一行,如果要求同类书本互不相邻,一共有多少种不同的排法? 误解1 先排3本化学书有P_3~3种排法,再在其间4个空档中各插入一本数学书,有P_4~4种排法,最后在这7本书之间的8个空档处任选5个空档插入物理书,有P_8~5种排法,因此,由乘法原理共有     

排列组合中重复计算的产生及纠正

有些类型的排列、组合应用题较容易出现错误解法,原因之一是重复计算.在解题时,应做到既不出现重复,又能判断出解题的正误,并加以剖析、纠正,这样对于排列、组合应用题及分析解题问题能力均有很大益处.一、平均分组问题中的重复计算例1把6个人平均分成三组,有多少种不同的分法?     

解排列组合及其混合问题的八种策略

在数学教学中,教师应特别注意解题策略,本文就解排列组合及其混合问题的八种策略谈谈笔者的体会。 策略一,特殊元素优先安排。 对于带有特殊元素的排列、组合问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其它元素。例如:用0、2、3、4、5这5个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数有多少?分析:因为要求的是偶数,故个位数为偶数,又0不能排在首位,所以0为特殊元素,故应先排。按0排在末位和不排末位分为两类:①0在末位时,有A_4~2个。②0不在末位时,有A_2~1·A_3~1·A_3~1个。故共有A_4~2+A_2~1·A_3~1·A_3~1=30个偶数。     

排列组合问题的重复计算剖析

解答排列组合应用题时,最容易犯的错误是重复和遗漏,遗漏大多比较明显;而重复则往往较为隐蔽,不易察觉.下面通过例题剖析一些常见重复计算错误,研究失误的原因,寻求纠正和预防的办法,以飨读者.例1 产品检验时,常以产品中抽出一部分进行检查,如果100件产品中有2件次品,抽出的3件至少有1件是次品的抽法有多少种?(高中代数第三册P_(65)例4)     

排列组合应用题的几种常用解题技巧

排列组合应用题是高考必考题.由于有些排列组合应用题比较抽象、题型繁多、解法独特,再加上限定条件,往往容易发生重复和遗漏现象,历来是考生失分较     

排列组合混合问题解答策略

在平时解答排列组合问题时,我们首先要认真审题,弄清是排列问题还是组合问题,还是排列与组合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用灵活恰当的方法来加以处理。一、特殊元素优先安排对于带有特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其他元素:例1:用0,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有()A、24个B、30个C、40个D、60个分析:因组成的三位数为偶数,末尾的数字必须是偶数,又0不能排在首位,故0是其中的“特殊”元素,应优先安排,按0排在末尾和0不排在末尾分为两类:①当0排在末尾时,有A24个;②当0不排在末尾时,三位偶数4有A1A1A1个,据加法原理,其中偶数共有A2 A1A131=30个,选B。二、混合问题先选后排对于排列与组合的混合问题,可采取先选出元素,后进行排列的策略。例2:4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子,则恰有一个空盒的放法有()种。分析:这是一个排列与组合的混合问题,因恰有一个空盒,所以必有一个盒子要放2个球,故可分两步进行:第一步先选,从4个球中任选2个球,有C2种选法,从4个盒子中选出3个,有C3种选法;第二步排列,把选出的2个球视为一个元素,...     

排列组合应用题的常见解法

排列组合应用题是历年高考的考点之一,是高中数学中的一个难点。其内容抽象,稍有疏忽就会出现排列与组合混淆,重复或遗漏等错误下面介绍几种常见的解法,以期对同学们有所帮助     

利用对称性 得到最优解

有些数学问题,隐含着某种对称性,一旦挖掘出来,问题便奇迹般的迎刃而解了。例1.(1986年上海高考题)用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位奇数的个数是____。解:∵奇、偶数字个数相等,∴组成奇、偶数个数相     

数学黑洞“西西弗斯串”之谜

西西弗斯串 ,就是任取一个数 ,数出这个数中的偶数个数、奇数个数及所有数字的个数 ,用这三个数组成第二个数字串。对第二个数字串重复上述程序 ,为此反复进行 ,最后必得一个数字串是 1 2 3,将数字串 1 2 3重复进行 ,仍得 1 2 3。对这个程序和数的“宇宙”1 2 3就是一个数学黑洞。无论取什么数 ,经过若干次西西弗斯串的所有数字的个数 ,一定会达到小于 1 0。下面就所有数字的个数小于 1 0的数进行研究即可。一个数的偶数个数 ,奇数个数 ,及所有数字的个数不外三种情况。( 1 )偶数个数 ,奇数个数都是奇数 ,则所有数字的个数就是偶数。( 2 )偶…     

整数与偶数,“牵手”辨多少

<正>如果我问你:"整数与偶数,哪一种数多?"恐怕不少同学都会说:"当然整数比偶数多了."进一步,恐怕还会有同学说:"偶数的个数是整数个数的一半!"他们说得是什么道理呢?误解1:因为奇数与偶数合起来就是整数.而奇数与偶数是相间排列的,所以奇数与     

浅谈排列组合应用题基本解法

排列组合应用题是高中数学学习中的一个难点 ,其内容抽象 ,解题时稍有疏忽就会出现重复或遗漏解的错误 ,要想正确无误地解答排列组合应用题的关键是熟悉问题的类型及其相应的解法 .1.相邻元素的排列可以采用“整体到局部”的排法 ,即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列 ,然后再局部排列 ,这种方法又叫“捆绑法” .【例 1】　 4名男生与 4名女生并坐一排照相 ,女生要排在一起 ,问有多少种不同的排法 ?解 :将 4名女生看作 1个人 ,与 4名男生排队 ,有P55种排法 ,女生之间又可互换位置 ,有P4 4种排法 ,故共有P55·P4 4=2 880种排法 .2 .元…     

排列组合问题教学探究

<正>排列、组合是高中数学的重点和难点之一,也是进一步学习概率的基础.事实上,许多概率问题也可归结为排列组合问题。这一类问题不仅内容抽象,解法灵活,而且解题过程中极易出现"重复"和"遗漏"的错误,这些错误甚至不容易检查出来,所以解题时要注意不断积累经验,总结解题规律,掌握若干技巧和解题模型,最终达到灵活运用。从解法上看,排列组合问题大致有以下几种模型:一、"在或不在"问题例1:六个人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的     

辨析概率统计中的典型易错点

<正>在概率统计的学习中,不少学生因概念不清、对题意理解不透等原因而出错,有时甚至不知道错在何处.本文将学生易错的典型案例进行辨析,供读者参考.一、对基本事件理解有误例1从整数0到9中任取四个数进行排列,能排成一个无重复数字的四位偶数的概率是多少?     

概率中的整除问题

从0、1、…、9这10个数字中，任选5个组成没有重复数字的五位数． （1）求这个五位数是偶数的概率． （2）求这个五位数能被25整除的概率．