一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 2年第 2期数学奥林匹克问题高 1 1 0 :设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+ .试证 :ａｂ2 + ｂｃ2 + ｃａ2 ≥ 1ａ+ 1ｂ+ 1ｃ.①本文推广不等式① ,得到如下命题　设ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ ∈Ｒ+ ,ｎ >1 ,αβ>0 .则ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ3+… + ｘαｎ - 1ｘβｎ+ ｘαｎｘβ1≥ｘα - β1+ｘα- β2 +… +ｘα - βｎ ,②等号当且仅当ｘ1=ｘ2 =… =ｘｎ 时成立 .证明 :(用数学归纳法 )( 1 )当ｎ =2时 ,式②左 -右 =ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ1-ｘα - β1-ｘα- β2=(ｘα1-ｘα2 ) (ｘβ1-ｘβ2 )ｘβ1ｘβ2.根据ｘ1>0 ,ｘ2 >0 ,αβ >0及幂函数…     

赏析一道中考阅读型试题

湖北省黄冈市 2 0 0 1年中考数学试卷中设计了一道特别新颖的阅读型试题 :题目　先阅读下列第 (1)题的解答过程 .(1)已知α、β是方程ｘ2 + 2ｘ - 7=0的两个实数根 ,求α2 + 3β2 + 4 β的值 .解法 1:∵　α、β是方程ｘ2 + 2ｘ - 7=0的两个实数根 ,∴　α2 + 2α - 7=0 ,β2 + 2 β - 7=0 ,且α + β =- 2 .∴　α2 =7- 2α ,β2 =7- 2 β .∴　α2 + 3β2 + 4 β =7- 2α + 3× (7- 2 β)+ 4 β =2 8- 2 (α + β) =2 8- 2× (- 2 ) =32 .解法 2 :由求根公式 ,得α =- 1+ 2 2 ,β =- 1- 2 2 .∴　α2 + 3β2 + 4 β =(- 1+ 2 2 ) 2 +3× (…     

代换法证明不等式

例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ>0 ,证明 :ｚ2 -ｘ2ｘ + ｙ + ｘ2 -ｙ2ｙ +ｚ + ｙ2 -ｚ2ｚ +ｘ ≥ 0 .证明　设ｘ+ ｙ =ａ ,ｙ +ｚ=ｂ ,ｚ +ｘ=ｃ ,则ｚ-ｘ =ｂ-ａ ,ｘ -ｙ =ｃ-ｂ ,ｙ-ｚ=ａ -ｃ,ａ ,ｂ ,ｃ>0 .于是原式等价于ｂｃａ + ｃａｂ + ａｂｃ ≥ａ +ｂ+ｃ .由ｂｃａ + ｃａｂ ≥ 2ｃ等得证 .例 2　在 ＡＢＣ中 ,ａ +ｂ +ｃ=2ｓ ,ａ ,ｂ,ｃ为三边 ,则ａｂｃ≥ 8(ｓ-ａ) (ｓ -ｂ) (ｓ-ｃ) .证明　设ｓ -ａ =α ,ｓ-ｂ =β ,ｓ-ｃ =γ ,则α ,β ,γ >0 ,α+ β =ｃ,β +γ=ａ ,α +γ=ｂ.于是原式等价于(α + β) (β+γ) (γ +α)≥ 8αβ…     

三角函数恒等式新发现及其应用

定理 1　设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓ2 αｓｉｎ( β γ)ｓｉｎ( β-γ) ｃｏｓ2 βｓｉｎ(γ α)ｓｉｎ(γ -α) ｃｏｓ2 γｓｉｎ(α β)ｓｉｎ(α - β) =0 . ( 1)　　定理 2　设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｓｉｎ2 αｓｉｎ( β γ)ｓｉｎ( β -γ) ｓｉｎ2 βｓｉｎ(γ α)ｓｉｎ(γ-α) ｓｉｎ2 γｓｉｎ(α β)ｓｉｎ(α- β) =0 ( 2 )　　证明　沿用文〔1〕、〔2〕的方法 ,构造二元一次方程组ｘｃｏｓ2 α ｙｃｏｓ2 β =ｃｏｓ2 γ , (ａ)ｘｓｉｎ2 α ｙｓｉｎ2 β =ｓｉｎ2 γ . (ｂ)由 (ａ)、(ｂ)两式可得ｘｓｉｎ( β α)ｓ…     

引入增元思想培养学生解题能力

他山之石 ,可以攻玉 .在教学中 ,如果注意应用增元思想 ,往往能起到化难为易 .出奇制胜的作用 ,有助于培养学生创新思维 ,提高学生解题能力 .1　巧配对　化难为易例 1　已知α、β是方程ｘ2 +ｘ- 1=0的两根 ,求 α2β 的值 .解　由韦达定理知α +β=- 1,αβ=- 1.设Ｍ =α2β,Ｎ =β2α(配对 ) ,则Ｍ+Ｎ =β2α +α2β =α3 +β3αβ(α +β) [(α+β) 2 - 3αβ]αβ =4 ,ＭＮ =α2β· β2α =αβ =- 1,所以Ｍ、Ｎ是一元二次方程ｘ2 - 4ｘ- 1=0的两根 .解方程得Ｍ =2± 5 ,∴ α2β =2 ± 5 .例 2　若α、β是方程 ｙ2 - 2ｙ- 1=0的两根 …     

两个新的三角函数恒等式及其应用

定理　设α、β、γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓαｓｉｎ ( β -γ) ｃｏｓβｓｉｎ (γ -α) ｃｏｓγｓｉｎ (α - β) =0 . ( 1)ｓｉｎαｓｉｎ ( β -γ) ｓｉｎβｓｉｎ (γ -α) ｓｉｎγｓｉｎ (α - β) =0 . ( 2 )证明　构造二元一次方程组ｘｃｏｓα ｙｃｏｓβ =ｃｏｓγ ,(ａ)ｘｓｉｎα ｙｓｉｎβ =ｓｉｎγ . (ｂ)由 (ａ)、 (ｂ)两式可得ｘｓｉｎ(α- β) =ｓｉｎ(γ - β) ,(ｃ)ｙｓｉｎ(α- β) =ｓｉｎ(α -γ) . (ｄ)　　将 (ａ)式两边同乘ｓｉｎ (α - β)后 ,再将(ｃ)、 (ｄ)两式代入即得 ( 1) .将 (ｂ)式两边同乘ｓｉｎ (…     

一道探究题的解答

题目　已知 :一元二次方程x2 -x-1 =0的两根是α、β ,设S1=α+β,S2 =α2 +β2 ,S3=α3+β3,… ,Sn =αn+βn(n为正整数 ) .( 1 )计算 :S1,S2 ,S3,S4 ,S5,S6 的值 .( 2 )从 ( 1 )中的计算中发现什么规律 ?( 3 )利用得出的规律计算 1 +527+1 -527的值 .解　 ( 1 )∵ α +β =1 ,αβ =-1 ,∵S1=α +β=1 ,S2 =α2 +β2 =(α+β) 2 -2αβ =3 ,S3=α3+β3=(α2 +β2 ) (α +β) -α2 β-αβ2=(α2 +β2 ) +(α+β) =S2 +S1=4,S4 =α4 +β4 =(α3+β3) (α+β) -α3β -αβ3=(α3+β3) +(α2 +β2 ) =S3+S2 =7,S5=α5+β5=(α4 +β4…     

三角条件求值的基本对策

本文例述带有特定附加条件的三角求值问题 ,给出几种常用的基本对策 .一、先定后变——顺其自然例 1　设 cos (α - β2 ) =- 19,sin ( α2 -β) =23,且 π2 <α <π,0 <β <π2 ,求 cos (α +β)的值 .评析 :一般三角条件求值大都角多且杂 ,这就不要盲目对已知变换 ,而是分析已知与所求 ,确定好基角 .比如本题已知角为α - β2 ,α2 -β,可求为 :α+β= (α - β2 ) - ( α2 -β) ,于是据条件只须求出 sin (α- β2 ) ,cos ( α2 -β)的值即可 .答案 :cos(α +β) =- 2 3972 9.二、代入变形——酌情而定例 2　已知 cos 2θ =2 - 1,求 sin4 …     

构造法证明不等式

根据欲证不等式的某些特点 ,引入适当的函数、数列、方程、图形等 .并利用它们的性质证明不等式的方法 ,称为构造法 .以下分别说明几种常见的构造对象 .一、二次函数对二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(α≤ｘ≤ β) ,若ａ >0 ,则 ｆ(ｘ) ≥ 0 Δ≤ 0 ;-ｂ2ａ∈(α ,β)时ｍａｘ{ ｆ(α) ,ｆ( β) }≥ ｆ(ｘ) ≥ｆ -ｂ2ａ ;-ｂ2ａ (α ,β)时 ,ｆ(ｘ)在 ｆ(α)与ｆ( β)之间 .利用ｆ(ｘ) ≥ 0 Δ ≤ 0证明不等式的方法也称为判别式法 .它的用法是 :当欲证之不等式呈现Ｂ2 ≤ ( ≥ )ＡＣ这样的与判别式类似的形式时 ,可考虑构造二次函数 ;…     

注意变量的取值范围

题目　已知 3ｓｉｎ2 α +2ｓｉｎ2 β =2ｓｉｎα,求ｓｉｎ2 α +ｓｉｎ2 β的取值范围 .错解　∵ 3ｓｉｎ2 α+2ｓｉｎ2 β=2ｓｉｎα,∴ｓｉｎ2 α+ｓｉｎ2 β　 =ｓｉｎ2 α +12 ( 2ｓｉｎα -3ｓｉｎ2 α)　 =-12 ｓｉｎ2 α+ｓｉｎα　 =-12 (ｓｉｎα-1 ) 2 +12 .∵ｓｉｎα∈ [-1 ,1 ],∴ｓｉｎ2 α +ｓｉｎ2 β∈ -32 ,12 .剖析　在上述求解过程中 ,已注意到ｓｉｎα取值范围 :-1 ≤ｓｉｎα≤ 1 ,但是还没有注意到题设条件对ｓｉｎα的取值限制 .事实上 ,由 3ｓｉｎ2 α+2ｓｉｎ2 β=2ｓｉｎα ,得ｓｉｎ2 β=12 ( 2ｓｉｎα-3ｓ…     

柯西不等式的再推广

黄毅老师在文 [1]中给出了柯西不等式的一个变形及其推广 ,本文在此基础上作进一步的推广 .引理 1(赫尔德不等式 )已知 ai,bi ∈ R+ ,i = 1,2 ,… ,n且α +β =1,1)若αβ >0 ,则∑ni=1aαibβi ≤ ( ∑ni=1ai)α( ∑ni=1bi)β2 )若αβ <0 ,则∑ni=1aαibβi ≥ ( ∑ni=1ai) α( ∑ni=1bi) β引理 2　已知 xi,yi ∈ R+ ,i =1,2 ,… ,n1)若 r >1或 r <0 ,则∑ni=1xiyri ≥ ( ∑ni=1yi) r( ∑ni =1x 11 -ri ) 1 -r2 )若 0 相似文献   

关于正多边形铺砌平面的一个定理

定理　一个正ｍ边形被ｍ个正ｎ边形包围 (不重不漏 ) ,则ｎ =4ｍｍ -2 (ｍ≥ 3 ) (ｍ、ｎ均为正整数 ) .证明 :正ｍ边形一个内角α =(ｍ -2 ) 1 80°/ｍ ,正ｎ边形一内角 β =(ｎ -2 ) 1 80°/ｎ ,“包围”意味着在每个顶点处有α +2 β =3 60°,把α、β的表达式代入 ,即得欲证 .但公式中有两个条件 :ｍ≥ 3为整数 ,ｎ为正整数 .依此 ,可以确定ｍ、ｎ的具体数值 .事实上有ｎ =4ｍｍ -2 =4+8ｍ -2 (ｍ≥ 3 ) .令ｔ=8ｍ -2 为整数 ,则ｍ =8ｔ +2 ,ｔ为 8的因数1 ,2 ,4和 8.于是　　ｔ 1 2 48ｍ =8ｔ+2 1 0 643ｎ =ｔ+4 5 681 2　　现只有 4个…     

挖掘习题特点 优化思维品质

有意识地利用习题的特点 ,对于培养学生良好的思维品质 ,逐步形成良好的数学观念 ,提高数学素养 ,具有十分重要意义 .下面就此谈谈本人看法和体会 .一、利用迷惑性 ,培养深刻性有些习题表象的迷惑性常使思维肤浅的学生误入歧途 ,因此表象的迷惑性有利于培养学生思维的深刻性 .【例 1】　已知 3sin2 α+2cos2 β =2sinα ,求sin2 α +cos2 β的取值范围 .错解 :由条件得cos2 β =sinα -32 sin2 α ,∴sin2 α+cos2 β =sin2 α+(sinα-32 sin2 α) =-12 (sinα -1 ) 2 +12 ,当sinα =-1时 ,sin2 α +cos2 β的最小值为 -32 ;当sinα =1时 ,s…     

巧用均值不等式证明一类分式不等式

若x、y∈R+ ,则x +y≥ 2 xy　 ( ) ,这是众所周知的均值不等式。本文利用不等式 ( )给出一类难度较大的分式不等式的简捷证明 ,相信能够引起众多中学生的浓厚兴趣。例 1　已知a>1 ,b>1 ,求证　 a2b-1 +b2a -1 ≥ 8。(第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明　据不等式 ( )得a2a -1 =(a -1 ) +1a -1 +2≥ 4,同理有　 b2b-1 ≥ 4,∴ a2b-1 +b2a-1 ≥ 2 a2b-1 · b2a-1 ≥ 2 4·4=8。例 2　设α、β、γ为锐角 ,且sin2 α +sin2 β +sin2 γ =1 ,则有　sin3αsinβ +sin3βsinγ+sin3γsinα≥ 1。( 1 994年《数学通报》第 1 0期问题栏 91 2…     

椭圆双曲线离心率的三角表达式及其应用

设椭圆、双曲线的方程分别是b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a >b>0 ) ,b2 x2 -a2 y2 =a2 b2 (a >0 ,b>0 ) ,且P为其图像上的一点 ,∠PF1F2 =α ,∠PF2 F1=β(0 <α <π ,0 <β<π ,F1、F2 为其焦点 ) ,则它们离心率的三角表达式分别为(1)　e椭圆 =sin(α+ β)sinα +sinβ;(2 )　e双曲线 =sin(α + β)｜sinα -sinβ｜.证明　如图 1,∵e椭圆 =ca =2c2a =｜F1F2 ｜｜PF1｜+｜PF2 ｜=2Rsin(α+ β)2R(sinα+sinβ) =sin(α+ β)sinα+sinβ,∴e椭圆 =sin(α + β)sinα+sinβ.(2 )如图 2 ,∵e双曲线 =ca =｜F1F2 ｜｜｜PF1｜-｜PF2 ｜｜=2R…     

函数不动点在解题中的应用(下)

2 .2　利用函数不动点解方程例 7　若α、β是二次函数F(x) =Ax2 +Bx +C的两个不动点 ,则α、β也是四次函数F(F(x) ) =A(Ax2 +Bx +C) 2 +B(Ax2 +Bx +C) +C的两个不动点 .证明 :由Aα2 +Bα +C =α ,Aβ2 +Bβ +C=β消去B、C ,可得F(x) =x +A(x-α) (x - β) .则F(F(x) ) -x=F(x) +A[F(x) -α][F(x) - β]-x=A(x -α) (x - β) +A[x +A(x -α)·(x - β) -α][x +A(x -α)·(x - β) - β]=A(x -α) (x - β) {[1 +A(x - β) ]·[1 +A(x -α) ]}.所以 ,α、β是F(F(x) )的两个不动点 .从例 7的证明中看出 :F(F(x) )的另两…     

一道俄罗斯数学竞赛题的复数证法

第21届俄罗斯中学生数学竞赛(第四阶段)十一年级第5题:已知角α,β,γ满足不等式sinα sinβ sinγ≥2,证明:cosα cosβ cosγ≤5~(1/2).文[1]另辟蹊径,提供了一种简明直观的几何证法,并进一步推广得如下的:定理 设m∈R~ ,n∈N,n≥2,m≤n,角α_1,α_2,α_3,…,α_n满足不等式sinα_1 sinα_2 … sinα_n≥m,-(n~2-m~2)/(1/2)≤     

高一第二学期期末测试

一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共60分 ,每小题给出的 4个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.若α ,β∈ 0 ,π2 ,且cosα>sinβ ,那么下列关系式中正确的是 (　　 )　　 (A)α+ β=π2 　　 (B)α+ β>π2　　 (C)α + β <π2 (D)α >β2 .设θ是第二象限角 ,则必有 (　　 )　 (A)tan θ2 >cot θ2 　 (B)tan θ2 cos θ2 　 (D)sin θ2 相似文献   

证明三角不等式的八种方法

一、作差比较法例1求证:2+sin2x≥2(sinx+cosx).证明∵左边-右边=2(1-sinx)-2cosx(1-sinx)=2(1-sinx)(1-cosx)≥0,∴原不等式成立.二、判别式法例2已知函数:y=sec2x-tanxsec2x+tanx,求证:13≤y≤3.证明∵y=sec2x-tanxsec2x+tanx=1+tan2x-tanx1+tan2x+tanx,∴(y-1)tan2x+(y+1)tanx+(y-1)=0.当y=1时,tanx=0;当y≠1时,tanxR.∴Δ=(y+1)2-4(y-1)2≥0,∴13≤y≤3.三、分析综合法例3已知01.证明∵cosx>0,cosy>0,要证原不等式成立,只须证cos2x+y2>cosxcosy,只须证1+cos(x+y)2>cosxcosy,只须证1+cos(x+y)-2cosxco…     

借题发挥,培养研究能力

许多教学参考资料中不少例题和习题 ,题中概念少 ,难度不大 ,但往往蕴藏着丰富的内容 .教学中若引导学生重视和钻研这些习题 ,不但能帮助学生全面掌握基础知识和基本技能 ,而且能培养学生的研究能力 .下举一例 ,望诸君赐教 .长方体的一条对角线与各个面所成的角分别为α、β、γ,求证 :cos2 α+cos2 β +cos2 γ =2 .本题证明 ,不再赘述 .在此前提下 ,我们从两个方面挖掘潜能 .一、多角度思考 ,培养发现问题的能力1.求证 :sinα +sinβ +sinγ≤3( cosα +cosβ +cosγ)≤ 6证明 :∵ cos2α +cos2β +cos2γ =2 ,∴ sin2 α +sin2 β +sin2 …