代数数cos(lπ/m)次数计算公式

本文给出了代数数cos(lπ/m)的次数计算公式。     

形如N=π~α3~(2β)Q~(2β)的奇完全数

设正整数N满足N=πα32βQ2β,这里(Q,π)=(Q,3)=1,Q=p1...pk,且p1,...,pk是相异的奇素数.本文证明了当β=9时,N不是奇完全数.     

关于定积分∫2π01/(a2sin2u+b2cos2u)ndu(n∈N,a,b∈R+)的计算

提供一类含有三角函数的定积分的计算方法及计算公式.     

听一节示范课有感——“(-π/6+(kπ)/2,π/(12)+(kπ)/2)(k∈Z)”是一个集合吗?

1问题的由来最近,有幸听到了县教研室组织的高三一轮复习示范课,讲课的是周老师,使我感触良多.周老师讲的是《三角函数的图像与性质——第二课时》的高三一轮复习课,从教态、教法、学生互动方面看,确实起到了示范作用,但有一个细节问题引起了我的注意.     

关于定积分integral from n=0 to 2π (1/(a~2sin~2u b~2cos~2u)~n)du(n∈N,a,b∈R~ )的计算

提供一类含有三角函数的定积分的计算方法及计算公式。     

形如sum from n=1 to ∞(1/n~(2k))(k≥1,k∈N)的级数求和

大数学家贝奴里曾经利用三角函数展开成无穷级数的方法得到贝奴里级数的值。笔者经过长期的摸索 ,发现可以将函数 f ( x) =xk在 [-π,π]作傅立叶展开 ,得到傅立叶系数 ,代入 Bessel等式 ,求得广义调和级数当 p =2 k时的一种递推关系。利用此递推关系可以求出 ∞n=11n2 k( k≥ 1,k∈ N )的值     

n~(1/2)是有理数还是无理数

马继英[1]用初等方法证明:如果n不是完全平方数,则是无理数.[1]的证法较繁,且不易推广到的讨论,我们给出一个适用于一般情况的简单的初等证明n不是完全平方数,则是无理数证:n不是完全平方数,则n=P_1~(a1)P_2~(a2)…P_t~(at),且其中必有某一α,为奇数,不妨设     

恒等式n~2-(n-1)~2=2n-1(n∈N)的应用

初看恒等式n~2-(n-1)~2=2n-1并不起眼,左边是两个连续自然数的平方差,右边是左边的简化结果,是一个奇数。但如果连续变换n的取值,甚至变换左边的乘方数,充分利用“叠加”的运算方法,你会发现一些有趣的应用:     

利用初等数学证明(■n n)/n>(■n(n 1))/(n 1)(n>2 n∈N)

在数学的微积分教材中,有一道习题(或例题)证明级数(?)条件收敛。这是一交错级数,若运用莱布尼兹判别法,涉及到证明 Un≥Un 1,即证明(?)nn/n>(?)(n 1)/n 1(n>2,n∈N) (1)高等数学中,通常运用导数确定其相应函数的单调性后再作推导,这种方法很简单,但用初等数学能否证明呢?经过尝试,共有两种证法,说明是可行的。现洋述如下:命题:(1)式恒成立。证法一:将不等式两边同乘以 n(n 1),得(n 1)(?)n n>n(?)n(n 1)即 (?)nn~(n 1)>(?)n(n 1)~n因为 f(x)=(?)nx 在定义域内为单调递增函数     

形如2^sp^2t（s,t∈Z^＋,s〉1）的数是孤立数

设t是正整数,s是大于1的正整数,p是4w-1(w ∈ Z+)型的素数.文章证明了形如2sp2t的数是孤立数.     

arcsin (sinα)=π-α(α∈〔π/2,(3π)/2〕)的猜想和证明

劳动人事部培训就业局组织沈炎金先生等编写的全国技工学校通用教材《数学》(1985年3月北京第1版)第206页,有:“例5求下列各式的值:     

怎样确定m~n(m,n∈N)的个位数字

我们将自然数m的个位数字记为u(m),例如u(314)=4,u(20)=0等等。显然,若m_1、m_2、…,m_n∈N,则u(m_1m_2…m_n)=u(u(m_1)·u(m_2)…u(m_n)),从而u(m~n)=u(u~n(m)).     

使用符号“[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)”的一点建议

有两个问题:问题一:求函数y=sinx的单调上升区间,问题二:求函数y=cosx~(1/2)的定义域。 这两个问题的答案常写成同一形式: [2kAπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)。 但是,它的内容却大不相同,问题一的答案是指“在每一个区间[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)上函数上升。”问题二的答案是“所有区间     

不等式a~n+b~n/2≥(a+b/2)~n的证明(a>0,b>0,n∈N)

这是统编十年制课本第三册159页的一个习题,是一个重要的不等式,各书刊都有许多有关它的具体运用的举例。本文拟就高中课本范围的知识,介绍它的若干证明方法。通过课堂教学或课外活动和墙报介绍给学生,能开扩学生的视野,提高分析问题和解决问题的能力。     

sin~nα＋COS~nα≥(1/(2~(1/2)))~(n-2)(n≥3,n∈N)的证明

以下α为锐角,我们先从简单开始1.sin3cos31α α≥2证明设sin3cos3,1P=α αQ=22P Q[sin3sin3(1)3]=α α 2 [cos3cos3(1)3]α α 231(sin2cos2)3≥?2?α α=Q.∴P≥Q,即sin3cos31α α≥2.2.sin4cos4(1)2α α≥2证明sin4cos4,(1)2P=α αQ=22P 2Q[sin4sin4(1)4(1)4]=α α 2 2[cos4cos4(1)4(1)4] α α 2 24(1)2(sin2cos2)4≥?2?α α=Q.∴P≥Q,即sin4cos4(1)2α α≥2.3.sin5cos5(1)3α α≥2证明sin5cos5,(1)3P=α αQ=22P 3Q[sin5sin5(1)5(1)5=α α 2 2 (1)5][cos5cos5(1)52 α α 25(1)3(sin2cos2)5≥?2?α α=Q.∴P≥Q,即…     

呼吸过程中消耗的n(O2)等于生成的n(CO2)吗?

有许多化学老师认为呼吸过程中所消耗的氧气的体积与生成的二氧化碳气体的体积相等(同温同压下),其理由是O2与CO2中所含氧的质量相等,这是一个错误的观点.     

形如2S·32t（s，t∈Z^＋，s〉1）的数是孤立数

设t是正整数,s是大于1的正整数,文章证明了形如2^s·3^a的数是孤立数。     

数N的n次方根2~(1\N)的一种求法

许多实际问题常常要求我们按照给定的精确度,计算数N的n次方根n(?)N的近似值,本文根据微分在近似计算中的应用公式给出一种求n(?)N的近似值的方法。     

(4a~2)~(1/(4a~2))是二次根式吗?

老师:(4a~2)~(2/1)是不是二次根式?为什么?小明:不是!因为(4a~2)~(2/1)=2a,而2a是整式而不是二次根式,所以(4a~2)~(2/1)不是二次根式.老师:谁有不同意见?王刚:我认为(4a~2)~(2/1)是二次根式.老师:为什么呢?能说说你的理由吗?王刚:为什么我说不上,但我认为(4a~2)~(2/1)一定是二次根式.老师:赞成王刚同学意见的请举手,哦,差不多有一半的同学,谁能说说理由?李玲:因为根据二次根式的定义:在a~(2/1)中,