从一道数学高考试题看图形的真面目

1 问题引出已知点 O 在二面角α-AB-β的棱上,点 P 在α内,且∠POB=45°.若对于β内异于 O 的任意一点Q,都有∠POQ≥45°,则二面角α-AB-β的大小是____.(2007年浙江省数学高考试题理科第16题)分析由题设条件"若对于β内异于 O 的任意一点 Q,都有∠POQ≥45°"可知,直线 PO 与平面β内任一直线所成的角都大于等于45°,即直线 PO 与平面β所成的角θ≥45°.而∠POB=45°,因此∠POB就是直线 PO 与平面β所成的角,直线 PO 在平面β内的射影在二面角的棱上,故二面角α-AB-β的大小     

一道值得研究的高考题

2007年浙江省高考数学卷中有这样一题:题目已知点 O 在二面角α-AB-β的棱上,点 P 在α内,且∠POB=45°.若对于β内异于点 O的任意一点 Q,都有∠POQ≤≥45°,则二面角α-AB-β的大小是____.(2007年浙江省高考数学卷理科第16题、文科第17题)对于此题,有相当多的考生感觉无从下手,答案是瞎蒙的,能力较强的学生会联想到用"最小角定理",得到以下错解.错解设直线 OP 与β所成角为θ.当点 P 在β上的射影 P_1落在射线 OQ 上时,∠POQ=θ,由题设可知θ>45°,即θ≥∠POB.又因为 OBβ,故由最小角定理知,∠POB≥θ,所以∠POB=θ,即 OB 为 OP在β上的射影,从而α⊥β,即二面角α-AB-β的大小是90°.上述解法看似非常漂亮,但仔细审题,发现二面角的面β是半平面,也就是     

对2007年浙江省高考数学卷理科第16题的分析

试题已知点 O 在二面角α-AB-β的棱上,点 P 在α内,且∠POB=45°.若对于β内异于 O 的任意一点 Q,都有∠POQ≥45°,则二面角α-AB-β的大小是____.这是一道不常见的立体几何题,逆向设问,构思巧妙,主要考查立体几何中的空间角.不同能力水平的学生采用不同的求解方法,各归其位,区分度高,立意深远,有利于高考选拔,有利于中学的素质教育.但是,命题者的意图与题目的文字描述可能存在歧义.关键在于对二面角α-AB-β中α,β是理解为平面还是半平面.若理解为平面,则参考答案没有问题;若理解为半平面(在中学里,大家比较倾向于理解为半平面),则参考答案有误.1 把α,β理解为平面     

由一道习题引发的思考

在对学生进行课外辅导的过程中,有一位同学提出了以下一道题目:例1　P是二面角α-AB-β棱上的一点,分别在α、β平面上引射线PM、PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,求二面角α-AB-β的大小?这道题目本身并不算太难,当场我就给出了如下的解答.解:如图1,过N点在平面β内作NE⊥AB交于点E,过E点在平面α内作EM⊥AB,交PM于点M,那么∠NEM就是二面角α-AB-β的平面角.设PE的长度为a,由∠BPM=∠BPN=45°有NE=ME=a,PN=PM=2a,而∠MPN=60°,于是MN=2a.在△MNE中,NE=ME=a,MN=2a,显然有∠NEM=90°,于是二面角α-AB-β的…     

求二面角平面角的一个公式

正求二面角的平面角的大小是高考考试的重点,常见的方法如定义法,三垂线法,补棱法,射影面积法,向量法等.高考中常用的方法是定义法,三垂线法和向量法.一.两道习题习题1、如图(1),P是二面角α-AB-β的棱AB上一点,分别在α,β上引射线PM,PN,截PM=PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,则二面角α-AB-β的大小是___________.(1)(2)习题2、如图(2),在四面体ABCD中,ΔABD,ΔACD,ΔBCD,ΔABC都全等,且AB=AC=3,BC=2,求以BC为棱、     

追根溯源活高考

以下是09高考数学全国卷Ⅰ第10题： 已知二面角α—l-β为60°,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为√3,Q到α的距离为2√3,则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）     

一道高考题解题思路的探究及应用

这是2004年高考数学湖北卷第11题:已知平面α和平面β所成的二面角为80°,P 为α,β外一定点,过 P的一条直线与α,β所成角都是30°,则这样的直线有且仅有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条分析此题是由1993年全国高考理科数学卷第18题演变而来的:已知异面直线 a 与 b 所成的角为50°,     

用二面角的定义解题

空间图形的位置关系是立体几何的重要内容.在面面关系中,二面角是其中的重要概念之一,它的度量归结为平面角的度量.本文就二面角的平面角的作图提出一种作法.1用定义法作图图1如图1,在二面角α-AB-β的棱AB上任取一点P,分别在两个半平面内作PC⊥AB,PD⊥AB,则∠CPD就是二面角α-     

一道课本习题的探究

在平时处理课本习题时往往满足于会做,而不去深入思考该题的内涵、外延,挖掘课本习题的内在功能.对于一道习题不能就题论题,而应对这道题作进一步的探究,下面仅就一道课本习题的探究与大家共读.《数学(第二册)》(下A)习题9.6第6题:二面角α-l-β内一点P分别向这个二面角的两个半平面引垂线PA、PB,求证:它们所成的角与这个二面角的平面角互补.图1证明:如图1,过P、A、B作l的垂面交l于点C,连AC、BC.则AC⊥l,BC⊥l.∴∠BCA为二面角α-l-β的平面角又∠A=∠B=90°∴A、B、C、P四点共圆从而∠P ∠BCA=180°即结论成立.变题1(1)若点P…     

精习题蕴含好方法

<正>教完《余角和补角》后让同学们做作业,在批改过程中发现一道题做的不甚理想.在讲解和同学们的共同探讨中却发现该题有好几种方法求得,且对应各自的数学思想.因此本人撰写此文,和同仁们共同分享.原题如果∠α和∠β互补,且∠α﹥∠β,则下列表示∠β的余角的式子中:①90°-∠β,②∠α-90°,③12∠α-∠()β,④1∠α+∠()β,正确的有.     

浅议一道高考立体几何试题的“源”与“流”

2004年高考湖北卷第11题(以下简称04年试题):已知平面α与β所成的二面角为80°,P为α、β外一定点,过点P的一条直线与α、β所成的角都是30°,则这样的直线有且仅有:(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条1源此题很容易让人联想到1993年全国高考理科数学第18题(以下简称93年试题):已知异面     

浅议一道高考立体几何试题的“源”与“流”

2004年高考湖北卷第11题(以下简称04年试题):已知平面α与β所成的二面角为80°,P为α、β外一定点,过点P的一条直线与α、β所成的角都是30°,则这样的直线有且仅有:     

从高考试题引发而来的一类问题的通解

2004年高考数学试题(湖北卷)第(11)题:已知平面α与β所成的二面角为80°,P为α、β外一定点,过点P的一条直线与α、β所成的角都是30°,则这样的直线有且仅有( ).     

一道习题的引申及其应用

苏教版《数学课课练》高二下册第17课时例1:已知:∠AOB=90°,过点O引∠AOB所在平面的斜线OC与OA,OB分别成45°,60°角,求二面角A-OC-B的余弦值.图1本题是在已知三个面角∠AOB,∠AOC,∠BOC的条件下,利用二面角的定义求二面角A-OC-B的余弦值.若将本题中的三个面角由特殊推广到一般,设∠AOB=θ1,∠AOC=θ2,∠BOC=θ3,二面角A-OC-B为θ,则有如下结论:cosθ=cosθs1i-nθc2o·ssθi2n·θc3osθ3.证明在OC上取一点D,使OD=1,过点D分别在面AOC,面BOC内作DE⊥OC,DF⊥OC,DE,DF分别交OA,OB于E,F,连EF,则∠EDF为二面角…     

一道国外竞赛题的简捷证法及其推广

1.题目的来源 1993年保加利亚数学奥林匹克第四轮比赛共有六道大题.其中第2题是如下一道平面几何题: 题目 M为△ABC内一点,满足∠AMC=90°, ∠AMB=150°,∠BMC=120°.并设P、Q和R分别是△AMC、△AMB和△BMC的外心。     

一道圆几何性质的变题

题目：（全国新课标2文科第12题）设点M（x0,1）,若在圆O：x^2＋y^2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是（原题是选择题）分析：圆的问题,首先想到几何法,抓圆心,半径,切点之类的几何性质解题.圆有关问题在高考中经常被考查,属于重点难点.此题也是可以简单地转化到圆心,利用最大角大于或等于45°,即存在这样的角即可.     

线面角与二面角的关系及应用

如图1,P为平面α外一点,PO⊥α,O为垂足,直线l(∪)α,点P与直线l确定平面为β,点B∈l,设PB与平面α所成的角∠PBO=θ1,与l所成的角∠PBA=θ,二面角α-l-β的平面角∠PAO=(ψ).下面我们来研究θ1、θ、(ψ)之间的关系.     

一个说题比赛的案例

2014年12月18日,浙江省第2届高中数学说题比赛在宁波市鄞州中学落下帷幕,本次比赛分个人赛、接力赛,共6道精彩纷呈的题目.笔者有幸聆听,感慨良多,受益匪浅.说题的对象尽管是教师,但醉翁之意不在酒,说题的目的是为了学生,正所谓此时无"生"胜有"生".笔者就其中个人赛的第2题谈谈如何"说题".题目在非等腰直角△ABC中,已知∠C=90°,D是BC的一个三等分点.若cos∠BAD=     

对一道中考数学压轴题试题的研究

【题目】2006年江西省课改试卷的第29题问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:如图1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN.图1图2如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则     

立体几何解题的基本策略

逻辑推理能力与空间想象能力是解决立体几何问题的能力基础,如何把这两大能力转化为具体的解题方法呢?本文为此归纳了几种基本的策略方法,供同学们参考.一、点、线、面间关系的转化立体几何的知识结构中最核心的内容是线面间的垂直、平行关系,而它们有通过判定定理、性质定理而相互转化:点点———点线点线面线线面———面面.有意识思考这些转化,会提高运用定理的自觉性.图1【例1】如图1,二面角α-AB-β的平面角为30°,在β上作AD⊥AB,AD=10,过D作CD⊥α于C,若∠ACB=60°,求异面直线AC与BD的距离.解:分三个步骤完成图2(1)将“线线…