几种有趣的等差等比数列的求和

中学数学中的数列求和问题,涉及到的数学知识和方法较多，综合性较强，部分同学感到困难较大．但仅是数列的求和方法,在众多文章中，都已作过详尽的讨论，故不赘述．本文只对等差数列、等比数列中一些有趣的求和作一粗浅的探讨，供大家参考.一、切成等长的段作和若以一个n×k项的等差数列{a_n}，公差为d，作成一个新数列{b_n}：则数列{b_n}也是等差数列，其公差若以一个n×k项的等比数列{a_n}，公比为q，作成一个新数列｛b_n｝：则数列{b_n｝也是等比数列，其公比q′=q~k.仿上可作类似的证明，此处略．例1在等差数列｛a_n}中，前四项之和S_…     

1998年高考压轴题的“源”“解”“变”

(文)(25) 已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 … b_(10)=100.(1)求数列{b_n}的通项b_n(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=1g(1 (1/b_n),记S_n是数列{a_n}的前n项和.试比较S_n与(1/2)lgb_(n 1)的大小,并证明你的结论。 (理)(25) 已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 … b_(10)=145.(Ⅰ)求数列{b_n}的通项b_n;(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=log_n(1 (1/b_n),(其中a>0,a≠1),记S_N是数列{a_n}的前n项和,试比较S_n与1/2log_nb_(n 1)的大小,并证明你的结论, 探源 此二题源于1985年高考上海试题:对于大于1的自然数n,证明     

数列求和常用的三种方法

数列求和是中学数学的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象之一.它对于提高数学思维能力十分有益,下面介绍数列求和的几种常用方法。一、错位相减法设数列{a_n}是等比数列,数列{b_n}是等差数列,则求解数列{a_nb_n}或{a_n/b_n}的前n项和S_n均可用错位相减法.例1设{a_n}是等差数列,{b_n}是各项都为正数的等比数列,且a_1=b_1=1,a_3b_5=21,a_5＋b_3=13,（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式;     

数学问答

?问题1.已知S_n是正数数列{a_n}的前n项和,S_1~2,S_2~2,S_3~2,…,S_n~2,…是以3为首项,以1为公差的等差数列,数列{b_n}为无穷等比数列,其前4项之和为120,第2项与第4项之和为90.求a_n和b_n.(河北张玉)     

1998年高考数学压轴题几种解法及比较

’98高考数学压轴题,即第25题(理):已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 …… b_(10)=145.(Ⅰ)求数列{b_n}的通项b_n;(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=log_a(1 1/b_n)(其中a>0且a≠1),记S_n是数列{a_n}的前n项和。试比较S_n与1/3log_ab_(n 1)的大小,并证明你的结论。此题旨在考查等差数列基本概念及其通项求法,考查对数函数性质,考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力。解法一:利用数学归纳法求证     

2006年高考江苏卷21题别解

2006年高考江苏卷最后一题的充分性证明较难,标准答案中公布的两种解法中,构思巧妙,一般很难想到,本文现给出一种思路自然的常规解法.题目:设数列}a_n}、{b_n}、{c_n}满足:b_n=a_n-a_(n 2),c_n=a_n 2a_(n 1) 3a_(n 2)(n=1,2,3,…),证明{a_n}为等差数列的充分必要条件是{c_n}为等差数列且 b_n≤b_(n 1)(n=1,2,3,…).证明:必要性(略)     

关于等差、等比数列的子数列的探究

对于高三的数学教学,在复习课中该如何去引导学生探究和实践呢?我以《等差、等比数列的子数列探索》为课题,尝试着在课堂教学中引导学生进行研究性学习. 一、定义子数列 若数列{b_n}是由数列{a_n}的一些项按原来的顺序构成的一个新数列,则称数列{b_n}是数列{a_n}的子数列.     

一类数列求和的新方法

我们知道,若数列{a_n},{b_n}分别是等差数列和等比数列,求数列{a_nb_n}的前 n 项和S_n,通常是采用错位相减法,本文将另辟蹊径,利用“先积分再求导”给出这类数列求和的新方法,兹举例说明.     

谈Sn=a_1-a_nq/1-q的推导

公式S_0=(a_1-a_nq)/(1-q)教材上使用的是“错位相减法”。这种方法用途很广,比如说在求一个等比数列{a_n}与一个等差数列{b_n}对应项积的数列{a_n·b_n}的前n项和时,就可以如此求得: 设{a_n}的公比为q,{b_n}的的公差为d: S_n=a_1b_1+a_2b_+…+a_nb_n (1) 在(1)两边同时乘以{a_n}的公比q: qS_n=a_1b_1q+a_2b_2q+…+a_nb_nq     

裂项相消法解一类数列求和问题

<正>众所周知,若数列{a_n}为等差数列,数列{b_n}为等比数列,c_n=a_nb_n,求数列{c_n}的前n项和时常用错位相减。但错位相减法运算复杂,结果不易算对或不易化为最简形式,为此,下面借助例题介绍用裂项相消法求这类数列的前n项和。     

课堂“探究式教学”的案例剖析

1 引子不久前一位学生拿着下面的问题:“等差数列{a_n}中,公差d是正整数,等比数列{b_n}中,b_1=a_1,b_2=a_2,现有数据:①2;②3;③4;④5,当{b_n}中所有的项都是数列{a_n}中的项时,d可以取______(填上你认为正确的序号)”(注:本文中所提到的数列均指无穷数列)请教于笔者,待弄清问题后,笔者与学生进行了如下的对话:     

合成数列的又一通项公式

文[1]给出了合成数列{x_n}a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,…的通项公式x_n=1/2[f(n 1/2) g(n/2)] (-1)~(n 1) 1/2[f(n 1/2)-g(n/2)]. 本文用三角函数给出合成数列{x_n}的又一通项公式,并举例说明这个公式的应用。定理如果数列{a_n}和{b_n}的通项分别为a_n=f(n),b_n=g(n),那么,数列{a_n}与{b_n}的合成数列{x_n}的通项公式为     

赏析如出一辙的两道高考数列题

2007年高考山东理科数学第19题(以下简称试题1):设数列{a_n}满足a_1+3a_2+3~2a_3+…+3~(n-1)a_n=n/3,n∈N~*(Ⅰ)求数列{a_n}的通项;(Ⅱ)设b_n=n/a_n,求数列{b_n}的前n项和S_n.时隔仅二年,2009年高考湖北卷文科数学     

一道高考模拟题的探究教学与反思

题目:已知等差数列{a_n}的首项是 a,公差为 b;等比数列{b_n}的首项为 b,公比为 a,其中a、b∈N ,且 a_1相似文献   

’94高考数学理科(25)题引伸与简解

题目;已知数列{a_n}是正项数列。其前n项和为S_n,并且对于所有的自然数n,a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项.(Ⅰ)写出数列{a_n}的前三项;(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式;(Ⅲ)令b_n=1/2(a_n 1/a_n a_n/a_n 1)(n∈N),求lim(b_1 b_2 … b_n-n)。     

一道课本习题的拓展及应用

高中数学人教版第一册(上)第137页有这样一道题:两个等差数列{a_n},{b_n},且(a_1 a_2 … a_n)/(b_1 b_2 … b_n)=(7n 2)/(n 3),求(a_5)/(b_5)的值.分析:设{a_n}的公差为d_1,前n项和为S_n,{b_n}的公差为d_2,前n项和为T_n,则(S_n)/(T_n)=(7n 2)/(n 3).     

巧用裂项相消方法 解答数列求和问题

<正>例1已知数列a_n{}的通项,求其前n项和。(1)a_n=(2n-1)·2n;(2)a_n=(n+1)·(1/3)n。分析:只要能将数列{a_n}的通项分解为两项之差,就可以利用裂项相消法进行求和。为此,可以先用待定系数法假定{b_n}的连续两项之差的结果正好是{a_n}的通项,这样就可以构造一个新的数列{b_n},从而将问题进     

运用函数的观点解等差数列问题

数列{a_n}是等差数列的充要条件是 a_n=a·n b(a,b 为常数).又数列{a_n}是等差数列的充要条件是 S_n 是 n 的不含常数项的一次或二次函数.这一结论使等差数列与函数相结合,则用函数的观点解决一些等差数列问题,会收到意想不到的效果。例1 已知等差数列 a、b、c 中的三个数都     

一道2001年春季高考题的歧义

在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,…,a_n,使这n十2个数成等比数列:又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,…,b_n,使这n+2个数成等差数列.记A_n=a1a2a3…a_n,B_n=b1+b2+b3+…+b_n. (I)求数列{A_n}和{B_n}的通项; (Ⅱ)当n≥7时,比较A_n与B_n的大小,并证明你的结论. 这是2001年春季高考题20题,其中第一问中求{B_n}的通项,这是一个较容易解决的问题: 因为1,b1,b2,b3,…,b_n,2成等差数列, 所以b1+b_n=1+2=3, 所以B_n=b1+b_n/2·n=3/2n.     

例谈等差数列中倍数项的求解

例1 设等差数列{an}为4,7,10,13,16,19,……,等差数列{bn}为5,10,15,20,……,求数列{bn}中的项是数列{an}中的项的3倍的所有项构成的数列{Cn}的通项公式.