解排列、组合应用题非常规法

有些排列组合应用题,用常规方法来处理,求解过程不但复杂而且极易出错,为此,本文结合实例介绍几个非常规的求解方法,供参考.一、巧用对应【例1】圆周上有15个不同的点,过任何两点连一条弦,这些弦在圆内的交点最多有个.解:因为圆周上这15个不同的点可构成C415=1365个圆内接四边形,而每一个四边形所对应的6条弦中,只有两条对角线的支点在圆内,即圆周上每四个点对应着圆内的一个交点,当它们互不重合时个数最多.故这15个点所造成的弦在圆内的交点最多有C415=1365个.【例2】某次乒乓球赛,采用单淘汰方法,从n(n≥2)个运动员中决出冠军,共进行了多…     

一个数学奥林匹克问题的讨论

《中等数学》1997年第4期有如下一道数学奥林匹克问题: 设平面上有212个点都位于单位圆内或圆周上,将其中任意两点连成线段.证明:长不大于1的线段至少有1996条. 我们将问题一般化:设单位圆内或圆周上有n个不同的点,将其中任意两点连成线段,设长度不大于1的线段至少有a_n条.问a_n的下界是多少?若设a_n的下确界为A_n,     

一个组合题的误解分析

《高中代数疑难解析》(河南教育出版社)P285例4:圆周上有10个不同的点,任意两个点都可以联结一条弦,(1)这些弦最多能有几个交点?(2)这些交点最多能有几个在圆内? 该书对(1)的解答如下:“.我们知道这10个点最多能连结C_(10)~2=45条弦,……有C_(45)~2=990个交点,……最多有990个交点。”     

数学题的题筋与层次

一、一组习题 1.双曲线的某一支上有否这样的n个点,彼此连结起来的线段在双曲线内无三线共点,而由这些线段组成的,顶点不在双曲线上的三角形的个数为5000? 2.抛物线上有这样的n个点,它们彼此连结起来的线段,在抛物线内,无三线共点,而由这些线段组成的,顶点不在抛物线上的三角形的个数为8008,求由这n点组成的凸n边形的对角线的条数。 3.圆周上有50个点,彼此连结起来所得的线段,在圆内无三线共点,求由这些线段组成的,顶点不在圆周上的三角形的个数。 4.圆周上有6个点,彼此连结起来的线段,在圆内无三线共点;则由这些线段组成的,顶点不在圆周上的三角形的个数是多少?     

天体运动中“追击问题”的解法探究

天体运动中的“追击问题”在近几年高考和各地模拟考试中时有出现,分析解决这类问题,首先要理解“追击”的含义,它与直线运动中“追击”的含义不同,它研究的是“两个在不同的圆周轨道上运动的物体,何时相距最近（即相遇）或最远”的问题．相距最近的含义是：2个卫星（或物体）和圆周轨道的圆心3点在同一条直线上,且2个卫星（或物体）在圆心同侧;相距最远的含义是,2个卫星（或物体）和圆周轨道的圆心3点在同一条直线上,且2个卫星（或物体）在圆心异侧．     

巧解“创新杯”赛难题

[题目]《数学小灵通》2003年第12期第47页“首届创新杯赛六年级试题”第10题:在一个圆周上有70个点,任取一点标上1,然后按顺时针方向在标有数1的点后数两个点标上2,在标有数2的点后数三个点标上3,……(如下图所示)继续这个过程,在圆周上分别标出1、2、3、…、2002、2003。显然.在圆周上的这些点中,有的点可能被标上多个数,有的点可能没有被标上数,那么标有2003的那个点上被标出的最小数是_____。     

用解析法巧解一道IMO试题

题 在一个平面上,C是一个圆周,直线l是圆周的一条切线,M是l上一点。试求出具有如下性质的所有点P的集合:在直线l上存在两个点Q和R,使得M是线段QR的中点,且C是三角形PQR只的内切圆。     

折纸问题中的圆锥曲线--一道试题的推广

2003年全国高中数学联赛有这样一个问题: 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA=a.折叠纸片,使圆周上某一点A′刚好与A点重合,这样的每一种折法,都留下一条直线折痕,当A′取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.     

排列概率 错解剖析

一、交点问题:圆内还是圆外【例1】圆周上有12个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点个数是.A.A412B.A212A212C.C212C210D.C412错解:因为两条直线相交有且只有一个交点,从12个点中任取2个可确定C212条直线,从剩下10个点中任取2个可确定C210条直线,根据乘法原理,有C212C210个交点.分析:这里错误的原因在于这些直线所产生的交点有可能在圆外了,而题目要求这些交点在圆内.正解:因为两条直线相交有且只有一个交点,任意一个凸四边形在圆内的交点即为两条对角线的交点,有且只有一个.而要得到一个四边形,需要从12个点中取出4个点…     

一道联赛压轴题的巧思妙解(高二、高三)

2003年全国高中数学联赛1试第15题:一张纸上画有半径为R的⊙O和圆内一定点A,且OA=a,折叠纸片,使圆周上某一点A1刚好与A点重合.这样的每一种折法,都留下一条直线折痕.当A1取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.     

集锦

圆周上等分点构成的各类三角形的个数胡显义　(湖北省巴东一中　444300)　　圆周上n(n≥3,n∈N)个等分点构成的C3n个三角形中,由直径所对的圆周角是直角,有如下结论:当n为奇数时,不存在直角三角形;当n为偶数时,有n(n-2)2个直角三角形.下面研究钝角三角形和锐角三角形的个数.我们知道,一条弦所对的劣弧上任一点(两端点除外,下同)与该弦两端点构成钝角三角形.所以要计算钝角三角形的个数必须弄清弦的条数以及每条弦所对劣弧上分点的个数.故把弦按其所对劣弧上分点的个数分类.设弦所对劣弧上点的个数为x,则显然有x x 2相似文献   

三类易错的排列、概率问题

1 交点:圆内还是圆外 例1 圆周上有12个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点个数是___. (A)412A (B)221212AA (C)221210CC (D)412C 错解 因为两条直线相交有且只有一个交点,从12个点中任取2个可确定212C条直线,从剩下10个点中任取2个可确定210C条直线,根据乘法原理,有221210CC个交点.这里错误的原因在于这些相交直线有重复计算且所产生的交点有可能在圆外了,而题目要求这些交点在圆内. 因为两条直线相交有且只有一个交点,任意一个凸四边形在圆内的交点即为两条对角线的交点,有且只有一个.而要得到一个四边形,需要…     

第31届国际数学奥林匹克试题

1.在一圆中,两条弦AB、CD相交于E点。M为弦AB上严格在E、B之间的点,过D、E、M的圆在E点的切线分别交直线BC、AC于F、G。已知AM/AB=t,求于CE/EF(用t表示)。 (印度) 2.设n≥3,考虑在同一圆周上的2n-1个互不相同的点所成的集合E,将E中一部分点染成黑色,其余的点不染色。如果至少有一对黑点,以它们为端点的两条弧中有一条的内部(不包含端点)恰含E中n个点,则称这种染色方式为好的。如果将E中k个点染黑的每一种染色方式都是好的,求k的最小值。(捷克和斯洛伐克)     

2005年春季武汉市“明心奥数挑战赛”五年级试题

!蘸翼粼广达一、填空题1.圆周上有100个点，从每一个点出发，向另外任意48个点引直线段，那么平均从一个点能引出条直线段。2.体A会如下图所示，如果按照箭头的方向转动摇把，图中所悬吊的物，物体B会。(填“上升”或“下降”) O 3.a、b、。是自然数，且a>b>。，这三个数分别除     

不尽相异元素的组合公式

定义:从n个不尽相异的元素里,每次取出m个元素,不管顺序并成一组,叫做从这n个不尽相异元素里每次取出m个元素的一个组合。为了叙述方便,先作如下两点说明: 1.没n个不尽相异元素中有α_i个α_i,α_1+α_2+…+α_N=n, 2.从n个不尽相异元素里每次取出m个元素的组合数记为     

美国小学数学发现法教材例解

自美国心理学家布鲁纳提出课程改革以来,美国出版了多种小学数学教材,其中有很多体现了发现法教学。现介绍一例供教师参考:让我们探索1.在你的纸上画上这个圆。2.a.把你的三角板放在圆上,直角必须接触到圆周上(如图1)。b.在圆周的D和E两点做上记号(如图2)。c.从D点到E点作一线段(如图2)。     

第29届IMO试题及解答

第一天 (堪培拉 1988年7月15日) 1.考虑在同一平面上半径为R与r(R>r)的两个同心圆.设P是小圆周上的一个定点,B是大圆周上的一个动点.直线BP与大圆周相交于另外一点C.过点P且与BP垂直的直线l与小圆周相交于另一点A(如果l     

介绍运动学的一个有用结论(高一、高三)

基本结论在重力场中,一物体自一个竖立圆周的顶点,沿光滑轨道滑至圆周上另外任一点所用的时间相同. 证明如图1所示,P是竖立圆周的顶点,点M在圆周上不同于P,设圆周半径为2R,则(?)     

一道联赛题的另解

题目 一张纸上画有半径为R的⊙O和圆内一定点A，且OA=a．折叠纸片，使圆周上某一点A1刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A1取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．     

1996年世界城市际数学联赛

低年级组较高水平试题 1.能否将平面上的四个点涂成红色,另四个点涂成黑色,使得对于任意三个同色的点,必存在一个异色点,此四点恰是某平行四边形的顶点? 2.是否存在三个相异的素数p、q、r,使得qr整除p~2 d,rp整除q~2 d,pq整除r~2