案例的视角:几何实验与几何证明

几何课程是每一次数学教育改革的焦点,也是数学教育现代化进程中最复杂的因素[1].我国新一轮课程改革对几何课程作出了大幅度的变革,特别是<全日制义务教育数学课程标准(实验稿)>和<普通高中数学课程标准(实验)>对几何论证的要求有了进一步的降低.这在某种角度来说是符合时宜的(如计算机的普及),也是与各国几何课改的大趋势相一致的.但与美国课程标准相比,我国课程标准一个明显的不足是对即如"怎样让学生体会证明的必要性"等有关几何论证等关键问题缺乏具体指导和案例示范,更谈不上借助案例对课程标准进行反思了.本文正是希望通过一则案例,表明笔者对几何实验和几何证明的一些认识.     

一类几何题的证明技巧

对结论以“1/a 1/b=1/c”形式出现的几何证明题，许多初学几何的同学感到困难，其实，只要掌握了它的证明技巧，问题就容易了。     

利用对称性证明几何不等式

例1如图1,在△ABC中,AB>AC,AD是BC边上的中线.求证:∠BAD<∠CAD.图1分析注意到AD是BC边上的中线,中线加倍是常见的添辅助线的方法.然后把研究对象集中在△ABE中,由大边对大角,将问题得以解决.证明延长AD到点E,使DE=AD,连结BE,则D是△ADC与△EDB的对称中心,BE=CA,∠E=∠CAD.∵AB>AC,∴AB>BE,∴∠BAD<∠E,从而∠BAD<∠CAD.例2如图2,在△ABC中,D是BC边的中点,ED⊥DF,EF分别交AB、AC于E、F两点.求证:BE+FC>FE.图2分析能否将BE、FC、EF移到同一三角形考察线段不等关系?利用对称性作图是可以实施的,于是问…     

新课程背景下的几何证明教学

新课程实施以来,有关义务教育数学课程的改革引发了激烈的争论,其中争论的焦点便是平面几何.例如,到底什么是几何证明(已经上升到什么是数学证明)?如何看待平面几何中逻辑推理的教育价值?新课程对几何证明教学的要求发生了哪些变化?教师对几何证明的观念发生了什么改变?学生是怎么样学习几何证明的?如何     

初中数学几何推理与图形证明对策

初中数学中的几何推理与图形证明有很多的技巧和规律,本文从几何的重要推理过程、基本图形的利用、题目要素的分析与辅助线的应用四个方面入手,分析了其在几何推理与图形证明过程中的作用,以期为初中数学几何推理与图形证明提供良好的对策。     

三角函数在几何证明中的应用

三角函数知识，不仅能用于解直角三角形，在几何证明中也有广泛的应用，是中考的热点内容之一．灵活运用三角函数的定义、公式，能使许多几何题的证明更加简捷，起到事半功倍之效．本略举几例说明如下．     

浅谈几何证明中添辅助线的规律

几何证明中添加辅助线，其作用主要在于沟通“条件”和“结论”．具体来说，就是把分散的条件集中．使隐蔽的条件显露．将复杂的问题化简，为推证创造条件，促成问题的最终解决．     

一道几何命题的证明与推广

一题多证,一题多解是教师引导学生学习数学的常用方法. 一道几何题采用多种方法进行证明,可以让学生在证明的过程中熟悉多个定理,同时可以开拓其思路,增强其解题的信心.     

打开几何证明思路的四种常见方法

新课程标准对七一九年级空间与图形提出了具体要求：即在探索图形性质与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理。但在平时几何教学过程中学生的推理能力发展不快，遇到几何推理证明题时往往是一脸愁容，究其原因还是没有掌握好打开几何证明思路的方法。现结合具体实例，谈谈打开几何证明思路的四种常见方法：     

新课标与几何作图

义务教育数学课程标准的图形与变换部分加入了平移、对称、旋转这些变换工具．一方面回避了“全等形”的路线，叙述简洁，又与实际联系；另一方面又根据克莱茵的分类原则，突出了初等几何的本质．尽管后面还要介绍全等形的理论，但仍然从平移、对称、旋转出发．从教学的角度看，用新的观点去处理几何问题，本质上是个提高．事实上很多证明题，恰恰是过去学生不会去思考的，尤其是一些竞赛问题，常常从旋转出发，现在学生头脑里单纯了，反而容易思考．平面几何的证明题如此，作图题也如此．     

初中数学几何推理与图形证明策略探析

几何推理与图形证明问题考验着学生的逻辑思维与空间意识.教师利用直观图形与抽象数据同步发起教学活动,能够帮助学生掌握当前的学习重点,对数学知识进行理性分析.本文立足于初中数学几何推理、图表证明板块的教学活动,在对有关问题的命题方式、考查重点进行分析的同时,以文献分析法为研究方法,思考如何完成几何推理与图形证明板块的教学工作.     

如何学好几何证明

学习几何离不开证明，对于初学几何的同学来说，往往有上课能听懂、自己做题难下笔的感觉．因此，本仅就几何证明的问题谈以下几点，以供参考．     

巧用三角函数证明几何题

平面几何的证明一般都是根据几何公理、定理进行逻辑推理论证 ,似乎与所学的锐角三角函数没有关系。事实上 ,借助于锐角三角函数证明几何题 ,则出奇制胜 ,巧妙之处 ,令人拍手叫绝。现举例如下 :一、求证线段及线段的乘方间的关系图 1例 1.已知 :如图 1,∠BAC=90°,AD⊥ BC,DE⊥ AB,DF⊥AC,垂足分别为 D、E、F,求证 :AB3AC3=BECF(教材第二册 5.4 B组第 3题 )证明 :设∠ C =α,则∠ BDE=∠DAE=α在 Rt△ABC中 ,tgα=ABAC,∴ AB3AC3=tg3α;在 Rt△ BED中 ,BE=DEtgα;在 Rt△ CFD中 ,FC=DFctgα;在 Rt△ AED中 ,tgα…     

线段中点在几何证明中的应用

探讨了线段中点在有关的几何证明题中的应用，根据教学实践的体会，把它们概括为倍长中线法、中位线法、折半法、加倍法和斜边中线法。