一道课本习题的拓展及应用

高中数学人教版第一册(上)第137页有这样一道题:两个等差数列{a_n},{b_n},且(a_1 a_2 … a_n)/(b_1 b_2 … b_n)=(7n 2)/(n 3),求(a_5)/(b_5)的值.分析:设{a_n}的公差为d_1,前n项和为S_n,{b_n}的公差为d_2,前n项和为T_n,则(S_n)/(T_n)=(7n 2)/(n 3).     

一道高考模拟题的探究教学与反思

题目:已知等差数列{a_n}的首项是 a,公差为 b;等比数列{b_n}的首项为 b,公比为 a,其中a、b∈N ,且 a_1相似文献   

一道数学选择题的解法及评析

'95高考第12题:等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n与T_n,若S_n/Tn=2n/(3n 1),则(?)a_n/b_n等于(A)1(B)(6~(1/2))/3(C)2/3(D)4/9.应该说这是一道考察基础且具有一定灵活性的好题.就解法看,(i)从熟悉的关系a_n=S_n-S_(n-1)着眼,由题设可转化为S_n=kn·2n.T_n=kn·(3n 1)(k∈R且k≠0)得a_n=2k(2n-1).b_n=2k(3n-1)∴(?)2k(2n-1)/2k(3n-1)=(?)(2n-1)/(3n-1)=2/3.(ii)从灵活利用公     

佳题误解在何方?

俗话说:失败是成功之母,这里我们给出几例佳题错解,供教学中参考分析.一、错误解法,正确结论例1.等差数列{a_n}{b_n)的前 n 项和分别为 S_n 与 T_n,若 S_n/T_n     

由一道高考题看等差数列的奇妙性质

1995年全国高考数学有这样一道选择题:等差数列{a_n}、{b_n}前n项和分别为S_n和t_n若S_n/T_n=2n/3n 1,则(?) (a_n/b_n)等于( )(A) 1; (B)6～(1/2)/ 8; (C)2/3; (D)4/9     

递推数列求通项的几种方法

递推数列是当前数列教学中的热门,而由递推关系求通项又是递推数列的重要内容之一。本文将求通项的各种方法作一归纳: 一.用S_n-S_(n-1)=a_n,使等式变形,间接递推例1 已知数列{a_n},a_1=1,a_n=(2S_n~)/(2S_n-1)(n≥2),求a_n。解:∵ a_n=S_n-S_(n-1),a_n=(2S_n~2)/(2S_n-1)。∴S_n-S_(n-1)=(2S_n~2)/(2S_n-1),1/S_n-1/(S_n-1)=2,设1/S_n=b_n,∴{b_n}是公差为2的等差数列,又b_1=1/S_1=1/a_1=1,∴b_n=1/S_n=1+(n-1)·2     

1998年高考压轴题的“源”“解”“变”

(文)(25) 已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 … b_(10)=100.(1)求数列{b_n}的通项b_n(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=1g(1 (1/b_n),记S_n是数列{a_n}的前n项和.试比较S_n与(1/2)lgb_(n 1)的大小,并证明你的结论。 (理)(25) 已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 … b_(10)=145.(Ⅰ)求数列{b_n}的通项b_n;(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=log_n(1 (1/b_n),(其中a>0,a≠1),记S_N是数列{a_n}的前n项和,试比较S_n与1/2log_nb_(n 1)的大小,并证明你的结论, 探源 此二题源于1985年高考上海试题:对于大于1的自然数n,证明     

1998年高考数学压轴题几种解法及比较

’98高考数学压轴题,即第25题(理):已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 …… b_(10)=145.(Ⅰ)求数列{b_n}的通项b_n;(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=log_a(1 1/b_n)(其中a>0且a≠1),记S_n是数列{a_n}的前n项和。试比较S_n与1/3log_ab_(n 1)的大小,并证明你的结论。此题旨在考查等差数列基本概念及其通项求法,考查对数函数性质,考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力。解法一:利用数学归纳法求证     

由等差等比数列构成的数列求和问题

数列求和是中学数学教学的重要内容。在现行的中学教材中,只安排了等差、等比数列的求和内容。但高考题中出现的数列大多数都是由等差、等比数列构造而成的非简单的等差、等比数列。本文拟对几种常见类型的数列求和公式作探讨。 命题1 设数列{a_n}是公差为d（d≠0）等差数列,数列{b_n }是公比为 q（q≠1）的等比数列,则数列{a_nb_n}的前n项和 S_n=(a_1b_1-a_nb_nq)/(1-q) (b_1q(1-q~(n-1))d)/(1-q)~2 证记 S_n=a_1b_2 a_2b_2 a_3b_3 … a_nb_n 将①式两边同乘以q得:     

求递推数列X_(n+1)=ax_n+b/cx_n+d通项的新方法

文[1]、[2]给出了递推数列x_(n+1)=(ax_n+b)/(cx_n+d)通项的若干求法。本文将给出一种新的求法,而此方法在讨论该类型递推数列的存在性和周期性时是较方便的。设c≠0,则上述递推公式可化为x_(n+1)=(Px_n+Q)/(x_n+R) (1) 在由(1)式及x_1直接递推x_2,x_3,x_4等项的过程中容易发现:在一般情况下,x_n可表示成x_n=(a_(n-1)x_1+b_(n-1)Q)/(c_(n-1)x_1+d_(n-1)) (2)因此,只要能求出a_(n-1),b_(n-1),c_(n-1),d_(n-1),就不难求得x_n({a_n},{b_n},{c_n},{d_n}为辅助数列)。为此,不妨设     

谈Sn=a_1-a_nq/1-q的推导

公式S_0=(a_1-a_nq)/(1-q)教材上使用的是“错位相减法”。这种方法用途很广,比如说在求一个等比数列{a_n}与一个等差数列{b_n}对应项积的数列{a_n·b_n}的前n项和时,就可以如此求得: 设{a_n}的公比为q,{b_n}的的公差为d: S_n=a_1b_1+a_2b_+…+a_nb_n (1) 在(1)两边同时乘以{a_n}的公比q: qS_n=a_1b_1q+a_2b_2q+…+a_nb_nq     

关于2000年全国高中数学联赛题13的思考

2000年全国高中数学联赛题13是: 设S_n=1 2 3 … n,n∈N。求f(n)=(S_n)/((n 32)S_(n 1))的最大值。 该题涉及了等差数列的前n项求和、不等式等知识,可谓构思巧妙,独具匠心。 笔者经研究发现,此题不仅对特殊的等差数列可解,对于一般的等差数列,也有类似的结论。     

关于公式a_n=S_n-S_(n-1)

用公式a_n=s_n-s_(n-1)来处理数列中的某些问题,有时显得很方便。但是使用这个公式是有条件的,使用不当就会得出错误的结果。看下面的例子。一数列的前n项和等于a_n~2 b_n c(a、b、c为常数),证明此数列是等差数列。利用上面的公式,先导出数列的通项公式: u_n=S_n-S(u-1)=a(2n-1) b(n≥2)①从而得出 u_n-u_(n_1)=2a. ②由此得出此数列是等差数列的结论。这个结论是错误的,我们先看一个具体例子:设一个数列的前n项之和为S_n=n~2 n 1,照     

一个猜测的证明和不等式链的补充

文[1]中,宋庆先生提出如下猜测:若 a,b满足 a b=1的非负数,则对λ≥1有(a/(λ b))~(1/2) (b/(λ a))~(1/2)≤2/(2λ 1)~(1/2).(*)(*)式虽说小巧玲珑,但证明起来还真有点棘手,为此,我们用导数法来进行证明:在闭区间[0,1],考虑函数 f(a)=(a/(λ b))~(1/2) (b/(λ a))~(1/2)=(a/(λ 1-a))~(1/2) ((1-a)/(λ a))~(1/2),为方便求导,     

一道2001年春季高考题的歧义

在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,…,a_n,使这n十2个数成等比数列:又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,…,b_n,使这n+2个数成等差数列.记A_n=a1a2a3…a_n,B_n=b1+b2+b3+…+b_n. (I)求数列{A_n}和{B_n}的通项; (Ⅱ)当n≥7时,比较A_n与B_n的大小,并证明你的结论. 这是2001年春季高考题20题,其中第一问中求{B_n}的通项,这是一个较容易解决的问题: 因为1,b1,b2,b3,…,b_n,2成等差数列, 所以b1+b_n=1+2=3, 所以B_n=b1+b_n/2·n=3/2n.     

两个新的三角命题

文[1]给出了两个用处较大的三角命题: 命题1 △ABC中,设角A,B,C的对边a,b,c成等差数列,则cos(A-C)/(2)＝2*cos(A+C)/(2)且tan(A)/(2)tan(C)/(2)＝(1)/(3).     

等比定理在解题中的应用

若a_1/b_1=a_2/b_2…=a_n/b_n,且b_1 b_1 … b_n≠0, 则(a_1 a_2 … a_n)/(b_1 b_2 … b_n)=(a_1)/(b_1)=…=(a_n)/(b_n). 这就是我们熟知的等比定理,关于该定理的应用在现行中学教材中涉及较少,然而它的应用还是很广泛的,兹举例予以说明。1 化简 例1 分母有理化:(3 2(2)~(1/2)-3~(1/2)-6~(1/2))/(1 2~(1/2)-3~(1/2))= __________.（1989年全国部分省、市初中数学通讯赛初赛试题）     

比和比例在三角中的应用

三角中的一类题目,若巧用比和比例将显得较为简捷,请看下面几例: [例1] 已知(cosx)/a=(cos3x)/b(cosx≠0,) 求证:(a-b)/(3a b)=tg~2x 证:设(cosx)/a=(cos3x)/b=1/k 则a=kcosx,b=kcos3x ∴(a-b)/(3a b)=(kcosx-kcos3x)/(3kcosx kcos3x) =(2sin2x·sinx)/(4cos~3x)=(4sin~2x·cosx)/(4cos~2x)=tg~2x [例2] △ABC中,求证:cosA cosB cosC>1 证:由射影定理得, a=bcosC cdosB,b=ccosA acosC 两式相加得:a b=(a b)cosC c(cosA cosB)。∴ (a b)(1-cosC)=c(cosA cosB)     

一个优美的不等式及其妙用

定理若x、y、a、b均为实数,且a>0,b>0,那么(x2)/(a)+(y2)/(b)≥((x+y)2)/(a+b)(※)等号成立当且仅当(x)/(a)=(y)/(b).证明不等式(bx-ay)2≥0显然成立,当且仅当(x)/(a)=(y)/(b)时取等号.     

关于方程(ax~2+b)/(cx~2+d)=((-dx+b)/(cx-a))~(1/2)的一个定理

在发表文[1]时,编者按中提出了方法的适用范围、可靠性、步骤等尚可探讨.下述定理完满地回答了这一问题.定理方程(*)(ax~2+b)/((cx~2+d)=(-dx+b)/(cx-a))~(1/2)(a,b,c,d∈R,ad≠bc)与方程 (1)(ax~2+b)/(cx~2+d)=x(x≥0)和(Ⅱ){(a~2+cd)x~2+(ad-bc)x+d~2+ab=0,(ax~2+b)/cx~2+d≥0,a~2+cd≠0}等价.