坐标法在距离之和最小问题中的应用

<正>求解距离之和最小值问题，可以通过建立直角坐标系将几何问题代数化，从数量关系的角度重新认识原问题，然后转化为求函数的最小值问题，或者再次转化为几何问题去处理.这是“数形结合”思想和“转化与化归”思想的典型应用一、求动点到两定点距离之和的最小值(系数相等型)例1 在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为线段B₁D₁上的一个动点，     

“新定义”型创新试题

中考数学试题坚持以能力为立意,全面考查学生的数学知识、方法和数学思想.以"新定义"为背景的创新试题,通过在试题中给出新的定义,考查学生的现场学习能力（即自学能力）、阅读理解能力、探究与猜想等创新能力,并考查类比迁移、数形结合和归纳转化等数学思想方法.一、在坐标系中新定义例1定义:平面内的直线l₁与l₂,相交于点O,对于该平面内任意一点M,点M到直线l₁,l₂的距离分别为a、b,则称有序非负实数对（a,b）是点M的"距离坐     

对一个数学问题的探究

在《数学教学》2008年第12期的数学问题与解答栏目中有这样一个问题： 题目 如图1，已知椭圆方程为x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）,切椭圆于点P的直线与圆O：x^2＋y^2=a^2相交于点M，N，圆O在点M，N处的切线相交于点Q，求证：PQ⊥x轴．     

例说空间中动点的轨迹问题

2008年高考数学北京卷理科第8题是一道典型的空间动点的轨迹问题： 如图1，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M、N．     

一道竞赛题的引申

2008年全同高中数学联合竞赛,湖北预赛试题第11题：设P为椭圆x^2/4＋y^2/3=1上的一个动点,过点P作椭圆的切线与⊙O：x^2＋y^2=12相交于M,N两点,⊙O在M．N两点处的切线相交于点Q,求点Q的轨迹方程．     

对“椭圆中由两垂直直线引出的‘包络’”再研究

<正>笔者在《椭圆中由两垂直直线引出的“包络”》一文中得到这样一个结论:在平面直角坐标系中,圆的方程是x²+y²=r²(r>0),由点M(x₀,y₀)引两条相互垂直的动直线MP、MQ,这族直线PQ的包络线是一个椭圆,以原点O(0,0)和点M(x₀,y₀)为焦点,长轴长是槡2r²-x₀²-y₀²．在此基础上类比椭圆,提出过这样一个猜想:在平面直角坐标系中,椭圆的方程是■,由点M(x₀,y₀)■引两条相互垂直的动直线MP、MQ,与椭圆相交于P,Q两点,这族直线PQ的包络线是一个椭圆,其以M(x₀,y₀)和点■为焦点,长轴长是■．显然圆中的结论是椭圆的猜想的特殊情况,所以只需要证明椭圆中的猜想即可．这个猜想之所以难以证明,是因为...     

2012年全国高中数学联赛加试平面几何题的另解

原题（2012年全国高中数学联赛加试试题）如图1,在锐角AABC中,.AB>AC,M,N是边BC上不同的两点,使得∠BAM=∠CAN.设△ABC,△AMN的外心分别为O₁,O₂.证明:O₁,O₂,A三点共线.文[1]对以上问题给出了三种证法,本文和』用反演变换给出另一证法.     

立体几何中常用的变形与变位技巧

移移是指将某图形移到适当位置,使不在同一平面的元素集中到一个平面内,再利用平面几何知识进行研究.利用“平移”可实现立体向平面的迅速转化.例1如图1所示.在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC₁、AD的中点,那么异面直线OE和FD₁所成的角的余弦值等于     

一道高考试题推广的类比

引题（2012年高考福建卷·理19）如图,椭圆E:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左焦点为F₁,右焦点为F₂,离心率e=1/2·过F₁的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF₂的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E的方程;（Ⅱ）设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且仅有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出M的坐标;若不存在,     

一道立体几何质检题的解法探究及思考

<正>一、问题呈现如图1,在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E为线段AD的中点,设平面A₁BC₁与平面CC₁E的交线为l, 则直线l与BE所成角的余弦值为__.二、解法探究探究思路1 这道填空压轴题考查的是立体几何问题,学生要想正确求解,既要能够找到两平面的交线,又要能够正确计算出异面直线的所成角,对学生的直观想象和数学运算两大数学核心素养提出了比较高的要求.     

一道南京市高三调研试题的探究

题目(2021年南京市高三数学调研试题第21题)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A,B,F是椭圆C的右焦点,且AF=3 FB,AF·FB=3.(1)求椭圆C的方程;(2)不过点A的直线l交椭圆C于M,N两点,记直线l,AM,AN的斜率分别为k,k₁,k₂,若k(k₁+k₂)=1,证明直线l过定点,并求出定点的坐标.     

介绍三组“双内切圆”的性质

已知小圆⊙O与两大圆⊙O₁、⊙O₂分别切于点N、M,且三圆圆心不共线.设⊙O₁与⊙O₂交于A、B两点,MN与AB交于点K,O₁O₂的中点为P.性质1 K、O、P三点共线.证明:显然,点O₁、O、N,O₂、O、M分别三点共线.如图1,联结O₁N、O₂M,设直线MN与⊙O₁、⊙O₂的另一交点分别为C、D.联结CO₁、DO₂并延长交于点Q.     

对一道中考题的思考——例谈初、高中数学教学的契合点

题目（2011年江西省中考试卷第24题）将抛物线c₁:y=-3^1/2x²+3^1/2沿x轴翻折,得抛物线c₂,如图1所示.（1）请直接写出抛物线c₂的表达式.（2）现将抛物线c₁.向左平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A,B;将抛物线c₂向右也平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为N,与x轴交点从左到右依次为D,E.①当B,D是线段AE的三等分点时,求m的值;②在平移过程中,是否存在以点A,N,E,M     

抛物线特殊内接三角形的一个结论及应用

<正>文[1]介绍了抛物线内接三角形的一个结论及其应用．本文在此基础上得到抛物线特殊内接三角形的一个结论，并运用此结论速解相关中考题．一、结论延伸如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c(a>0)与x轴交于点A(x₁,0),B(x₂,0)，其中x₁2．若点M为x轴下方抛物线上一动点，连结AM,BM，则tan∠MAB+tan∠MBA为定值．     

空间向量解题时数学思想的运用

用空间向量来解决空间立体几何问题非常得心应手,比如证明平行、垂直以及求角、求距离等.但是,我们不能把眼光仅仅限制于这些问题的证明与求解.在运用空间向量解决问题时,也包含着许多数学思想运用于其中.一、方程思想求值例1已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点.在直线CC₁上是否存在一点N,使得MN⊥AB₁?若存在,请你求出它的位置;若不存在,请说明理由.     

夹角公式的推广

人教版第二册（上）第52页给出了两条非垂直的直线斜率都存在时的夹角公式tanα= |（k₂-k₁）/（1-k₂k₁）|,随后又以例题的形式给出一般式方程表示的直线在限制条件B₁≠0,B₂≠0,A₁A₂+B₁B₂≠0下的夹角公式tanθ= |（A₁B₂-A₂B₁）/（A₁A₂+B₁B₂）|,这两个公式都受一定条件的限制,那么有没有一个不受条件限制的夹角公式呢?回答是肯定的,这就是以下的     

巧用空间向量 妙解课本习题

题目已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,求直线AC与A₁D的距离.这是人教版高中数学第二册（下B）第50页习题9.8的第4题,它是典型的求两条异面直线距离的问题,本文结合此题用空间向量求异面直线距离的思路.     

几个立几试题的向量解法

在历届高考试题中，立几试题占有一定的份量．对某些立几试题如用向量方法来解，常常是方便的．现以92年和93年高考试题中几个立几题为例来说明之．例1（92年文、理科（14）题）在棱长为1的正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，M和N分别为A_1B_1和BB_1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是解我们来计算向量AM与CN的内积（数量积），一方面有其中cosθ就是题中所要求的AM与CN所成角的余弦值．又另一方面，因为比较（1）、（2）两式，即知例2（92年文科（26）题）如图，已知ABCD-A_1B_1C_1D_1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA_1…     

理解数学本质，强化学科能力——我最欣赏的一道高考题

1试题解答 解法1：（定性分析法）容易证明，当M、N分别是AA1、CC1的中点时，满足条件，此时MN最大，且最大值点是唯一的，由此可排除A、C；设E是CC1的中点，由图形的对称性知，N点在平面BCC1B1内的轨迹为BE，故∠PBN为定值，所以图象是直线型的，故选B．     

用参数的几何意义巧解圆锥曲线问题

<正>平面内经过点M0(x₀,y₀)且倾斜角为α(α∈[0，π))的直线l的参数方程为■(t为参数)．当直线l上动点M(x,y)在点M0上方(即y> y0)时，t>0；当M(x,y)在点M0下方(即y 0M|．鉴于参数的几何意义是常见的解题切入点，本文以2022年高考题为例，展示直线参数方程在求解圆锥曲线问题时的神奇魅力．