实数集中的几个问题

从初等数学的角度,避开集合论中的某些专业术语,介绍并证明了几个十进制数中人们比较关心的有理数与无理数的问题。     

两个分别与有理数及无理数的稠密性相关的命题

本处理了两个一般人视为当然而实则不易证明的，与有理数及无理数的稠密性分剐相关的命题。     

层层速递巧求无理数的整数、小数部分

无理数都可以由整数与纯小数两部分组成．而任何一个无理数都介于连续的两个整数之间．求无理数的整数部分和小数部分是学习中的一个难点，现举例分析其解法．     

浅谈无理数的整数部分、小数部分

无理数是无限不循环小数,因此任何一个无理数都由整数部分和小数部分两部分组成的．     

一道超范围试题带来的反思

最近，在一份四年级数学试卷中看到一道这样的题目：小亮每分钟可以走68．4米，小亮1小时可以走多少千米？小学六年制统编教材四年级第八册只讲了小数的意义和性质、小数的加法和减法两个单元，没有学习小数乘法。按照常规理解，应先将1小时转化成60分钟，再列乘法算式68．4&;#215;60，显然这道题属超范围题目。然而我在评卷中却发现了惊喜。     

一道集训队测试题的思考

问题 求实数λ的最大值,使得只要点P在锐角△ABC内部,∠PAB=∠PBC=∠PCA,射线AP、BP、CP分别交△PBC、△PCA、△PAB的外接圆于点A1、B1、C1,就有S△A1BC＋S△B1CA＋S△C1AB≥λS△ABC．     

用无理数的整数部分、小数部分求值

一个无理数可以表示成整数与小数和的形式,如我们把这个“1”称为无理数的整数部分,“0.4142…”称为的小数部分.一般地,我们先估算出它的整数部分,再求小数部分,用这个无理数减去它的整数部分就得小数部分.这类问题有一定难度,我们看下面几个有关的例子.     

一道集训队选拔考试题的推广

题目已知A为圆Γ外一点,直线AB、AC分别与圆Γ切于点B、C设P为劣弧BC(不含点B、C)上的一个动点.过P作圆Γ的切线,与AB、AC分别交于点D、E,直线BP、CP分别与∠BAC的平分线交于点U、V.过点P作AB的垂线,与直线DV交于点M;过点P作AC的垂线,与直线EU交于点N.证明:存在一个与点P无关的定点L,使得M、N、L三点共线.     

一道IMO试题的证明及相关结论

第41届IMO第6题是: 设AH_1、BH_2、CH_3是锐角△ABC的三条高线。△ABC的内切圆与边BC、CA、AB分别相切于点T_1、T_2、T_3。设直线l_1、l_2、l_3分别是直线H_2H_3、H_3H_1、H_1H_2关于直线T_2T_3、T_3T_1、T_1T_2的对称直线。证明:l_1、l_2、l_3所确定的三角形,其顶点都在△ABC的内切圆上。     

一道遗传学试题的相关练习

<正> 遗传学试题涉及的知识范围很广,而其中的系谱图试题对学生来说更是一个难点。笔者把学生在平时考试或练习过程中易出错的问题编成一题,通过在我校学生中进行实践,普遍反映很好,现推荐给同行以供参考。下图是甲病(白化病)和乙病(血友病)的遗传系谱图,假设白化病由 a 基因控制,血友病由 b 基因控制,其中Ⅱ_6是杂合     

一道IMO试题的证明及相关结论

第41届IMO第6题是: 　　设AH1、BH2、CH3是锐角ABC的三条高线.ABC的内切圆与边BC、CA、AB分别相切于点T1、T2、T3.设直线l1、l2、l3分别是直线H2H3、H3H1、H1H2关于直线T2T3、T3T1、T1T2的对称直线.证明:l1、l2、l3所确定的三角形,其顶点都在ABC的内切圆上.……     

求无理数的整数与小数部分

无理数是无限不循环小数．任何一个无理数都有整数部分和小数部分．学习了二次根式后,我们遇到了无理数的整数部分与小数部分的问题,不少同学对这类问题感到束手无策．其实,这类题并不难,只要你灵活运用不等式的相关知识,就可以迎刃而解．     

第五讲 无理数(之2)

（2）（2）^1/2,一个典型的无理数前面,我们已经证明:（2）^1/2不是有理数,也就是说:（2）^1/2既不是整数,也不是分数.那么,（2）^1/2是什么数呢?它同有理数有没有关系呢?让我们先做一些推算:因为1²=1,1比2小;2²=4,4比2大,所以（2）^1/2是介于1和2之间的数,即     

第七讲 无理数(之4)

（7）用连分数表示无理数我们知道1<2^1/2<2,这个不等式说明:2^1/2的整数部分是1,还有一个在0,1之间的小数部分.又因为2^1/2=1+(2^1/2-1)这个等式说明:2^1/2的小数部分就是2^1/2-1.     

一道中考试题的变式探究及启示

初中数学学业考试中有很多试题总体上呈现源于教材,又高于教材的特色,且具有灵活多变,旧题新出的特点.这样既满足水平性考试需求,同时也兼顾选拔性考试目标.这就传递了一个信息:无论是新授课还是复习课,教师都应挖掘教材中典型例、习题的教学功能,重视知识的应用、数学模型的建立和问题解决的思想方法,进行融汇贯通,使学生能触类旁通.本文以2014年浙江省衢州市初中毕业生学业考试第23题为例进行评析.     

一道“北约”自主招生试题的探究与推广

正题目求证:tan3°是无理数.(2014年北约自主招生数学试题)本题证法较多,但以反证法尤为突出.只要运用有理数的四则运算结果仍然是有理数就可容易完成证明,即a∈Q,b∈Q,则a+b1-ab∈Q.假设tan3°∈Q,则     

二次无理数的连分数

给出了以下几个结果：1.给出了√n（1/2）的连分数展式的简便算法.2.证明了√n（1/2）连分数循环节结构的中心对称性.3.给出了一般二次无理数（a＋√n（1/2））/b的连分数算法.     

实数性质及问题例说

本文针对初中各类数学竞赛题目及中考试题,总结出了多年教学经验中积累下来的有关实数计算与证明的一些教学经验,并主要以例子讲解的方式来阐述,以供读者参考。     

函数y=[x]及y=(x)的若干性质及应用

取整函数与小数部分函数既相互联系又有区别,各有一些独特的性质,在数学及生活中有着较广泛的应用。     

从一道模拟试题到一道联赛试题

1问题提出笔者所在学校的高三模拟试卷中有这样一道试题:已知点F是抛物线C:y2=x的焦点,S是抛物线C在第一象限上的点,且|SF|=5/4.(1)求点S的坐标;(2)以点S为圆心的动圆S与x轴分别相交于