探索点到直线距离公式的七种方法

问题 已知点P（x0，y0）是直线l：Ax＋By＋C=0外一点，求点P到直线l的距离.思路1 先由方程思想求出过点P向直线l作垂线时垂足Q（m，n）的坐标，再根据两点间的距离公式求｜PQ｜．     

让公式的推导思路来得自然些——浅谈新教材中点到直线的距离公式的推导设计

全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）《数学》第二册（上）第51页“点到直线的距离”在引入中这样写道：“在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为（x0，y0），直线l的方程是Ax+By+C=0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？根据定义，点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长（图7-17，这里略）设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q。由PQ⊥l可知直线PQ的斜率为BA（A≠0），根据点斜式可写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离d…     

辅助圆来帮忙(高二)

圆是最简单的二次曲线,它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用.对一些数学问题, 若能作一个辅助圆,可以沟通题设与结论之间的关系,从而使问题得解,起到铺路搭桥的作用. 例1 求直线l的方程,使点A(1,1),B (5,3)到l的距离都等于1. 解如图1,分别以A、B为圆心.作半径为1的辅助圆,于是原问题就转化为求两圆的     

2010四川卷20题的探究

2010高考数学四川卷理科第20题在结论探究上很有价值,现将探究过程整理如下:已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=1/2,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,     

求直线方程的几个误区

误区1忽略直线斜率不存在的情况 例1直线l经过点P（-2,1）,且点A（-1,-2）到l的距离等于1,求直线l的方程．     

对一道高考数学压轴题的研究

<正>2014年高考数学湖北卷文科压轴题(理科次压轴题)如下:在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(Ⅰ)求轨迹C的方程;(Ⅱ)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.本题立足课本上的通性通法,考查求轨迹方程的基本方法、直线与抛物线的位置关系,考查     

探索“用向量方法求点到直线的距离”的思维过程

传统的求点P到直线ι的距离的方法是:先由点P和直线ι的垂线ι′的斜率求垂线方程;解由直线ι及垂线ι′的方程组成的方程组,求出直线上的垂足Q的坐标;再利用两点距离公式,求得点P、Q的距离,即为点P到直线ι的距离．与传统的代数方法相比较,运用向量知识推     

聚焦直线方程与圆的方程中的数学思想

<正>直线与圆是高中数学的重要内容之一,在直线与圆的解题中蕴含着重要的数学思想,如函数与方程思想、分类讨论思想、化归与转化思想等。下面例析直线与圆中的数学思想的具体应用。一、函数与方程思想例1过点P(2,1)作直线l,分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B,当PA·PB取得最小值时,求直线l的方程。     

高考热点扫描之平面解析几何综合题

解析几何包括直线和圆以及圆锥曲线有关问题．其中,直线和圆这部分内容在高考中主要考查以下三类问题：一是求直线和圆的方程;二是运用坐标公式求距离、求角度、求面积及圆的切线、弦长等问题;三是直线和圆的综合问题．圆锥曲线这部分的主要题型有：求圆锥曲线的轨迹方程、圆锥曲线的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、最值问题、范围问题、对称问题、探索性问题以及圆锥曲线的综合问题等．     

直线与圆位置问题面面观

直线与圆位置关系的试题,其解法涉及"方程思想""数形结合思想"等重要思想,其内容涉及直线、圆以及平面几何等知识,备受命题者的青睐.下面结合近年高考试题作一综述,供大家参考. 一、参数问题 即已知直线与圆的位置关系,求待定系数. 其解决途径有三种: (1)利用圆心到直线l的距离d与圆的半径r的大小关系:①圆C与直线l相离(≒)d>r;②圆C与直线l相切(≒)d=r;③圆C与直线l相交(≒)d相似文献   

是强调方程思想，还是突出向量方法？——谈“点到直线的距离”处理两难的教学设计

一、对教材的分析与思考 “点到直线的距离”是“坐标平面上的直线”一章的最后一节内容．作为直线方程和向量方法的应用，在上海教材中，点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C=0的距离公式的推导经过了以下过程：（1）作出点P到直线l的距离PQ；（2）利用向量的数量积以及｜PQ→｜=｜PQ→·n→｜/｜n→｜（其中｜n→｜是直线l的法向量），再利用Q点坐标满足直线l的方程，求出｜PQ→｜，得到公式d=｜ax0＋by0＋c/√a^2＋b^2｜．推导中有两个要点：一是应用数量积的几何意义计算两点之间的距离；二是应用“若点在直线上，则点的坐标满足直线方程”进行整体代换．     

动圆圆心的轨迹归类例析

求轨迹或轨迹方程是解析几何中的一个重要问题,而求动圆圆心的轨迹(或方程)贯穿于整个解析几何之中,其轨迹既可以是直线和圆,也可以是圆锥曲线.通过对这类问题的学习,可以帮助学生更好地理解圆锥曲线的定义和性质,帮助学生理清各种多变的动圆圆心的轨迹情形,做到心中有数,胸有成竹.1轨迹是直线若动圆与一定直线相切,且半径为定值时,圆心的轨迹是二条直线.例1一个动圆与直线x+y=0相切,且半径为2,则动圆圆心的轨迹方程是.分析根据直线和圆相切及点到直线的距离公式,不难得到动圆圆心的轨迹方程是y=x±2.2轨迹是圆若动圆与二个给定的同心圆中的…     

有关直线与圆位置关系问题综述

由直线与圆位置关系的试题,其解法涉及“方程的思想”、“数形结合思想”等,其内容涉及直线知识、圆知识以及平面几何知识等,故倍受命题者的青睐.下面作一综述,供参考. 一、参数问题已知直线与圆的位置关系,求待定系数.其解决途径有三种: (1)利用圆心到直线l的距离d与圆的半     

用△=D^2＋E^2-4F〉0求对称问题的参数范围

对圆锥曲线C上存在两点P，Q关于直线l对称，求参数的取值范围问题，可先求出以PQ为直径的圆的方程，再利用△=D^2＋E^2-4F〉0并注意到圆心在直线l上这一隐含条件，建立关于参数的不等式，常常能使问题得到有效地解决．[第一段]     

深入挖掘教材 认真领会设计意图——一道充分体现探究例题的教学实录

题目 已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x^2＋y^2＋4y-21=0所截得的弦长为4√5，求直线l的方程．     

2011年高考直线和圆的方程试题预测

考点一：求直线的方程直线是一种简单的几何图形，它在解析几何中处于重要的地位．高考对直线方程的考查主要涉及到直线的斜率、倾斜角、点对称、轴对称以及与圆的位置关系、圆的一些平面几何性质等问题，一般属于低、中档题，难度不大．     

圆的方程中的数学思想

一、函数与方程思想函数与方程思想在圆与方程中应用最广泛,求圆的方程,求直线与圆的交点,求圆与圆的交点都要运用到函数与方程的数学思想.例1已知圆C:x~2+y~2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的     

用圆锥曲线和直线系求无理函数值域

求无理函数值域的通常方法是“三角换元法”和“两边平方判别式法”．不仅计算麻烦，而且容易出错．本文采用圆锥曲线与直线系方程的图象直观地求无理函数值域，能使问题一目了然，收到事半功倍之效．例1求函数解原函数化为在直角坐标系xon中，由斜率为－1的平行直线系n＝－x＋y(y视为截距参数）与抛物有公共点的充要即为所求函数值域此题无需计算就得结果，图象给人直观之解原函数化为直角坐标系mon中，根据点到直线的距离公式和图2知，由斜率为2的平行直线系n＝2m＋b（为截距参数）与半圆n~2＋m~2有公共点的充要条件是故函数值域为由例1、…     

平面内的点到直线距离公式的应用例析

<正>在平面内,已知点P(x_0,y_0),直线l:Ax+By+C=0,则点P到直线l的距离公式d=|Ax-By+C|/(A²+B2+B²)2)^(1/2)。解析几何中的轨迹问题、最值问题、曲线与直线的位置关系等都与点到直线的距离有关。因此,应用点到直线的距离公式能够解决许多重要问题。一、求轨迹方程例1求两条直线l_1:3x+4y+1=0,l_2:5x+12y-1=0的交角平分线方程。     

点到直线距离公式的一个证明

在平面解析几何里,求点到直线距离一般是将直线方程化成法式方程,然后再导出点线距离公式。学生记住了公式,常忘记了这个公式的来源。下面我们介绍点线距离公式的另一征法。如直线方程为x=a或y=b,则不须用公式。今设直线方程为y=kx+b(k≠0)。先求原点(0,0)到直线y=kx+b的距离。以原点为圆心,作半径为r的圆x~2+y~2=r~2,如图1所示。若此圆与直线仅有一个公共点,即直线与圆相切时,则圆