对数平均不等式的证明与应用——由2018年全国Ⅰ卷理科21题想到的

<正>不等式的证明是高中数学的重要内容.近年来,以对数平均不等式为背景的试题经常活跃在各类考试中,2018年全国I卷理科21题(文中例1)再次考了这类问题,值得大家引起重视.本文给出对数平均不等式的有关结论及其证明,并例析其应用,供大家参考.一、对数平均数与对数平均不等式     

例谈对数平均不等式在高考中的应用

高中数学教材上的算术几何平均不等式是大家最熟悉的常用不等式,对这个不等式加强之后的对数平均不等式大家可能见得比较少,笔者在此借助近几年的高考题及自主招生题,谈谈这个不等式的简单应用．对数平均不等式的基本内容如下：     

巧用飘带不等式 妙解三类压轴题

<正>文献[1]在证明对数平均不等式■时得到另一组不等式：当x>1时,有■;当0相似文献   

对数平均数不等式的证明与应用

已知a,b为两不等的正实数,我们称a-b/lna-lnb为a,b的"对数平均数".它与a,b的"几何平均数√ab"及"算术平均数a+b/2"之间有如下不等关系:√ab相似文献   

不等式题常见错解剖析

1 准确理解不等式的基本性质，不断深化不等式的基础知识 中学数学教材中，依次贯穿了一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式、三角不等式，它们都有各自不同的特点和性质．不等式的核心问题是同解变形，而不等式的性质是不等式变形的理论依据，所以，深化理解不等式的性质是学好不等式知识的前提．     

对数幂平均

在这编文章中,我们定义了两相异正数的对数幂平均,并从它的分解式得到对数平均分隔幂平均的不等式.     

一堂关于“解指数不等式”的教学案例与启示

1背景 学生在解指数型或对数型不等式时，通常会在变形过程中对“不等号方向是否改变”这个问题采取漠视的态度，不会作出主动选择，总是习惯性地沿用原来的方向．笔者在学生开始接触解指数不等式时已对这一要点予以充分强调，并在学习对数不等式时又帮助学生加强了不等号方向意识，以为学生在解此类不等式时已能充分关注并正确处理方向何时改变的问题．这节课我原定的教学目标为：学生能应用指数、对数函数模型解决简单问题．教学过程中，     

巧用同构思想妙解一类指对混合压轴题

<正>对方程或不等式进行变形转化,使其左侧和右侧具有相同的结构形式,再通过构造单调函数处理．对于具有混合指数对数的问题,通常可以通过指数和对数的相互变换实现局部同构．问题可以转化为相应函数单调性或函数最值,这大大降低了计算和求解（证明）的难度．它是数学核心素养如逻辑推理和数学建模的有效媒介,受到高考命题者的青睐．本文提出了指数与对数等式（不等式）的同构方法,并对含指数对数压轴问题的同构解法进行了梳理．     

一道函数不等式引发的指对数跨阶变形的思考

<正>不等式恒成立问题一直为高考热点,尤其是指数和对数相交叉的隐零点问题,本文主要介绍通过指对数跨阶变形可将复杂函数转换为两个简单的函数复合,再运用指对数的常见不等式情形有助于解决不可分参恒成立问题．原题已知函数f(x)=x+alnx(a∈R).     

对数换底不等式及其应用

对数换底公式在对数计算和对数怛等式证明中有十分重要的作用.本文介绍一个对数不等式,它在比较两个对效大小时有很大方便,由于此不等式有换底作用,我们把它称为对数换底不等式.     

关于“双零点”数量关系的探究

<正>导数是研究函数性质的一个非常重要的工具,是学习中的重点,也是难点,在高考中占有重要的地位。在导数的学习中,我发现有一类"双零点"数量关系问题在2016年及2018年全国新课标卷中均有所涉及,这引起了我极大的兴趣。下面是我对这一类问题的一些粗浅认识,希望能给同学们一些帮助,不足之处,再商榷。我们先来熟悉一下对数平均不等式,对数平均不等式:当a>0,b>0且a≠b时,     

数学竞赛中的解不等式问题

解不等式是高中数学联赛一试中的常见问题,且考查的主要内容有一元二次不等式、高次不等式、分式不等式、含绝对值不等式、指数不等式和对数不等式的解法．本文通过一些实例的求解,介绍解不等式的常见题型及其求解方法．     

指、对数函数考点清单

指数函数与对数函数是中学数学五种函数中非常重要的两种，是高考必考内容．主要考查定义域、值域、图象以及指数函数与对数函数的主要性质，应用性质比较两个数的大小，以及解指数不等式与对数不等式等．下面分类加以说明．     

对数均值不等式的证法及应用

<正>在近年高考及各地的模拟考试中,形如f(x)=aex+bx+c或f(x)=alnx+bx+c的函数零点、方程的根、不等式的相关问题成为考查的热点,常出现在高考压轴题中且大有愈演愈烈之势.这里通过探讨"对数均值不等式",给出解决这类问题的一种简化策略.1 对数均值不等式     

一个平均值不等式

利用指数平均与对数平均的基本性质,证明了指数平均与对数平均的几何平均与Seiffert平均的大小关系,得到的结果改进了一些已知的不等式.     

一高考不等式的精彩演绎

正2013年陕西高考压轴题最后一问要求证明不等式①ea+b2eb-ea b-aea+eb2(ab)(文科证左半部分,理科证右半部分),式①的精彩之处在于其有优美而丰富的背景,如它有较为明显的导数、积分背景及算术平均—对数平均—几何平均值不等式背景,     

妙用对数均值不等式解题

<正>在近几年的高考试题中,特别是函数的综合题中经常出现函数ln x,以及与之相关的不等式恒成立问题.此类问题直接用函数、导数处理有时是比较复杂的,而运用对数均值不等式,可以使得解题思路清晰,过程简洁.本文举例说明,以期抛砖引玉.一、对数均值不等式结论对任意两个互不相等的正实数     

解几类问题的先后原则

解几类问题的先后原则河北省乐亭二中赵春祥有一些数学问题，必须严格遵循这样一条解题原则，即谁“先”谁“后”原则．倘若不注意，不是解错就是难以获解．下面介绍几例．一、解指微不等式时，“先固定底，后取对数”例１解关于Ｘ的不等式Ｓ＿ｌｏｐａ”＞Ｍ（ａ＞０，ａ...     

来自答卷中的信息及其对教学的启示

今年高考数学得分普遍低,学生失误较多．现将阅卷中反映出的学生在解题、思维中存在的问题总结如下．理第（１９）题：１．学生存在的问题：（１）无理不等式解法的基本模式没有掌握,如何把无理不等式转化为等价不等式组,表达不全面;（２）对数概念不清（或对对数概念理解差,不会应用）,不能正确地转化为指数式;（３）对集合中的交、并概念不清,符号记不住,虽然解求对了,但表示成集合的形式却错了;（４）对对数函数的单调性掌握不牢,对底数ａ的讨论混乱,没有条理;（５）学生应用数学的综合能力、逻辑推理能力较差．２．教学启…     

“三角不等式”及解题应用摭谈

<正>“三角不等式”是数学解题的重要工具，在求最值、证明不等式或求取值范围等诸多方面有着很好地渗透应用，重视对“三角不等式”解题应用的挖掘很有必要．为此，从以下几个方面举例说明“三角不等式”在解题中的应用．一、三角不等式把形如|α-|β||≤|α±β|≤|α|+|β|的不等式称为“三角不等式”，其几何背景是“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．“三角不等式”的具体表现形式主要有: