1在数学解题中的作用

<正>1是数学中最重要的5个数之一(另外4个分别是0,i,π和e).它在数学及数学解题中扮演着非常重要的角色,这不仅因为它是单位元,还在于它有一些很好的特性与表达式,具有很多的可变性.例如,1·a=a,a/1=a,a~0=1(a≠0),a~1=a,a·1/a=1(a≠0),sin~2α     

学习向量八注意

注意1 由a·b=a·c(a≠0),不能推出b=c即消去律不成立.取 ,a与b的夹角为45°,|c|=1/2,a与c的夹角为0°.显然a·b=a·c=1/2,且a≠0,但b≠c.     

向量考题的三个交汇点

向量及其运算是高中教材的新增内容 ,它融数、形于一体 ,具有代数形式和几何形式的“双重身份” ,使它成为中学数学知识的一个交汇点 ,成为联系多项内容的媒介 .下面举例说明向量与三角函数、解析几何、立体几何的交汇 .一、向量与三角函数的交汇例 1　已知 ,a=cos32 x ,sin32 x ,b=cos x2 ,-sin x2 且x∈ 0 ,π2 .( 1)求a·b及 ｜a +b｜ ;( 2 )求函数 f(x) =a·b -4 ｜a +b｜的最小值 .解　 ( 1)按向量运算的意义 ,有a·b=cos32 xcosx2 +sin 32 x　· -sin x2=cos 32 x +x2=cos 2x .a+b =cos32 x+cos x2 ,sin32 x-sin x2 ,｜a +b｜ =cos32 …     

“1”和它的方根

“1”是自然数的排头数,它最为简单,却极为重要。判定圆锥曲线ρ=ep/(1-ecosθ)的类型,是用离心率e以1为界限区分的;描述指数、对数的性质,要从大于或等于1入手,|1|还是正、余弦和正、余割函数值域的边界数。在运算中,1也有很多特点。例如:a·1=a;a/1=a;a~1=a;a~0=1(a≠0);1~a=1(a∈R)等等。     

向量与三角函数交汇题的解题策略

当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性,重视知识的交汇性.向量是新课程中新增的内容,具有代数与几何形式的双重身份,它是新、旧知识的一个重要交汇点,成为联系这些知识的桥梁.向量与三角函数的交汇是当今高考命题的必然趋势,以下几例,重在为备考中的考生总结题型规律,探究解题策略.一、向量与三角函数性质的交汇例1已知向量a=(cos3x2,sin3x2),b=(cosx2,-sinx2),且x[0,π2].求:(1)a·b及｜a+b｜;(2)若f(x)=a·b-2λ｜a+b｜的最小值是-32,求λ的值.解(1)a·b=cos3x2·cosx2-sin3x2·sinx2=cos2x.｜a+b｜=(cos3x2+cosx2)2+(sin3x2-sinx2)2…     

用数量积证等腰三角形(高一)

题△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,若a·b=b·c,求证:△ABC为等腰三角形. 有以下证法: 1.定义解 a,b夹角为π-C;b,C夹角为π-A,所以 a·b=b·c,即|a||b|cos(π-C)=|b||c|cos(π-A), |a|cosC=|c|cosA,从而 |a|/|b=cosA/cosC,     

实数与代数式归类复习

(一)复习要点1.实数的概念(1)整数和统称有理数.(2)无限不循环小数叫做摇.(3)有理数和统称实数.(4)规定了原点、和单位长度的直线叫做数轴.实数与数轴上的点的关系是的.(5)只有符号不同的两个实数,叫做互为相反数.零的相反数是;实数a与b互为相反数圳a+b=摇.(6)1除以一个的数的商叫做这个数的倒数.没有倒数;实数a与b互为倒数圳a·b=.(7)数轴上表示数a的点与的距离叫做a的绝对值,记作.正数和零的绝对值是它摇,负数的绝对值是它的摇.若a=a,则a0;若a=-a,则a0;若a<0,则a=.(8)将一个数四舍五入所得到的数,叫做这个数的.四舍五入到哪一位,就说这个…     

这个条件完整吗

在人教版数学第十一册教科书第27页练习七中有这样一道题: “如果a是一个自然数,(1)1/3÷a等于多少?(2)1/a÷3等于多少?(3)你能用一个具体的数检验上面的结果吗?”新大纲、新教材已明确提出“0也是自然     

探索规律 巧填妙补

(1)a,3,4,6,8,12分析与解:我们发现规律:3×2=6,4×2=8,6×2=12 即所给的一列数中,某个数的前一个数乘以2,得后一个数.于是a×2=4,从而得出a=2.我们还发现将两个相邻的数相乘后,分别除以2,3,4,得下一数;如:(3×4)/2=6,(4×6)/3=8,(6×8)/4=12.故a×3除以1得4,从而得出a=4/3。说明:依据不同的规律,填写的数字不同,有多种规律和方法,开拓同学们的探索创新思维能力.(2)0,2,8,18,a分析与解:我们发现规律,各个数是偶数,分别除以2后得到数0,1,2,3,4……的平方.从而可得:每个数等于它的项数(n)减去1的平方的2倍.即2(n-1)2,如:8=2(3-1)2,18=2(4-1)3,于是得a=2(5-1)2=32.     

学习向量数量积的几点提示

正确理解和运用平面向量的数量积有助 于利用向量这一强有力的数学利器。笔者以 下着重谈一谈学习平面向量的数量积时需要 注意的几个问题,提醒同学们在学习中加以 注意. 提示1.注意区别向量的数量积a·b与 实数乘法a·b 向量的数量积a·b与实数乘法a·b有 许多不同之处,而要正确区分它们,关键是以 公式a·b=｜a｜·｜b｜cosθ为依据…     

构造向量证明不等式

新课程教材中增加了向量的内容,其中两个向量的数量积有一个性质:a·b=｜a·b｜cos(其中为向量a与b的夹角),则｜a·b｜=｜｜a·｜｜b｜cos｜,又-1≤cos≤1,则可得不等关系式:①a·b≤｜a·｜｜b｜;②｜a·b｜≤｜a·｜｜b｜;③｜a·b｜2≤｜a｜·2｜b｜2.而利用这些不等关系式,可使证明某些不等式,绕过魔幻般的配凑技巧,而得以简证.利用以上不等关系式证明,关键是构造恰当的向量,主要有两种方式,下面加以介绍.一、直接构造直接构造是指直接构造a·b或｜a·b｜或｜a·b｜2为不等式的一边,再利用不等关系式a·b≤｜a·｜｜b｜等即可解决.例1已…     

谨防分式运算中的“陷阱”

分式是初中代数的重点内容之一,有关分式运算的问题概念性强,方法灵活.有些问题因概念模糊,或考虑不周,或以偏概全,或思维定势,常常误入“陷阱”,导致解题失误.现就几类常见错误,简析如下.一、违背运算顺序致错例1化简分式1-23ba÷23ba·23ba.错解:原式=1-23ba÷1=2b2-b3a.简析:乘除是同级运算,应从左到右按顺序进行.正解:原式=1-23ba·32ba·23ba=1-23ab=3a3-a2b.二、忽视分数线的括号作用致错例1计算a3--6a÷(1-3a--26a).错解:原式=a3--6a÷a-6a--36-2a=a3--6a÷-aa--69=a3--6a·-(aa-+69)=aa-+93.简析:这是由于忽视了分数线的括号作用,分…     

例谈两向量垂直的充要条件的应用

高一数学第五章第六至第七节中提到两个向量垂直的充要条件、内容是:若a和b都是非零向量,则 (1)a⊥b(?)a·b=0. (2)a⊥b(?)x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1), b=(x2,y2). 以上两个结论在本章占有很重要的地位,而且应用很     

构造一元二次方程解竞赛题

一元二次方程是初中数学的重要内容,在数学竞赛中经常出现.它是解决高次方程和其他方程的基础.有些从表面上看不是一元二次方程的问题,通过变形等手段,可以构造一元二次方程来解决.下面以竞赛题为例,介绍构造一元二次方程的4种方法.一、根据方程根的定义构造例1若a·b≠1,且有5a2+2001a+9=0及9b2+2001b+5=0,则ab的值是().(A)95(B)59(C)-20015(D)-20019(2001年全国初中数学竞赛题)解:5a2+2001a+9=0.(1)因为b=0不是方程9b2+2001b+5=0的根,故可得5·(1b)2+2001·1b+9=0.(2)由(1)、(2)和方程根的定义可知a、1b都是方程5x2+2001x+9=0的根,31200…     

功也在0,过也在0

看起来很平常的0,实际上它的功用极大,“陷井”也最多.了解它的“脾气”,会很有益于提高我们的数学素质.1.0的功用极大哲人恩格斯说过:“事实上,零比其他一切数都有更丰富的内容.”他说:零“作为一切正数和负数之间的界线”,是“唯一真正的中性数”,“把它放在其他任何一个整数的右边,按我们的记数法就使该数增至十倍.”当然,我们还可说:a+0=a,a×0=0,0÷a=0(a≠0),a0=1(a≠0)等.测量的结果写成1.7m,或1.70m,或1.700m,就表示测量的不同精确度.“a、b、c中至少一个为零”,可表示为abc=0;“a、b、c中至少一个为1”,可表示为(a-1)(b-1)(c-1)=0;…     

直角三角形若干判定条件的统一

定理在△ABC 中,D 在 AB 上 ,AD=λ·AB,BC=a,CA=b,CD=m,则∠C=90°的充要条件是 m~2=λ~2a~2+(1-λ)~2b~2(0<λ<1).证明:设(?)=b,(?)=a,则(?)=a-b.(?)=λ(?)=λ(a-b),(?)=(?)+(?)=λa+(1-λ)b,((?))~2=[λa+(1-λ)b]~2.∴m~2=λ~2a~2+(1-λ)~2b~2+2λ(1-λ)a·b.∠C=90°的充要条件为 a·b=0,即 m~2=λ~2a~2+(1-λ)~2b~2.当λ=1/2,a~2/b~2,a/(a+b)时,CD 分别为 AB 边中线、高     

数学问题(九)

1.证明,八个相邻正整数乘积的四次方根必非整数,而它的整数部分是 x~2+7x+6,这里 x 是这些相邻整数的起始者.2.设 k 和 l 为给定的实数,对任意两个实数 a,b,定义运算 a_ob=ab+k(a+b)+l.试问这种运算满足结合律(a·b)·c=a·(b·c)的充要条件是什么?3.设 o<λ_1≤λ_2≤…≤λ_n,a_i≥0(i=1,2,…,n).证明不等式sum from i=1 to n λ_ja_i sum from i=1 to n a_i/λ_i≤1/4((λ_1/λ_n)~(1/2)+(λ_n/λ_1)~(1/2))~2(sum from i=i to n a_i)~2.4.作一凸闭曲线,它并非圆,但它的周长等于πD,这里 D 是它的直径,即它所围成的闭区域内两点间的最大距离.     

一个不等式的证明及其推广

<正> 本文介绍一个典型的条件不等式的多种证法,从中看到证明不等式的一些常用方法和技巧。另外,我们给出这个不等式的一个推广。 题目 已知a·b>0,且a+b=1,求证: (a+1/a)(b+1/b)≥25/4 证一 作差比较法。     

一道竞赛题的演绎

题目(1991年“希望杯”竞赛试题)已知两数a、b,ab≠1,且2a2+1234567890a+3=0 (1)3b2+1234567890b+2=0, (2)则b/a=____. 解:显然b≠0,由(2)得, 2(1/b)2+12345678901/b+3=0,(3)∵ab≠1,∴a≠1/b.由(1)、(3)可得,a、1/b分别是一元二次方程2x2+123467890x+3=0的两个根,因此b/a=a·1/b=3/2.     

先求每束还剩几朵

同学们都知道,运用二元均值不等式a+b/2≥(ab)~1/2(或a+b≥2(ab)~1/2)可以求出以下两种情况下的最值:①若a·b为定值P,则当a=b时,a+b有最小值2(P)~1/2;②若a+b为定值S,则当a=b时,a·b有最大值1/4S2.初学这部分内容时,不少同学常常出现这样或那样的错误.牢记下面的三条纪律,有助于提高解题的正确率.