巧用伸缩变换 妙解椭圆问题

通过伸缩变换将椭圆转化为单位圆,把直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系,借助圆丰富的几何性质来避开繁琐的代数运算,简化解题过程,从而实现椭圆问题圆解决.     

判断直线和椭圆位置关系的又一方法

贵刊93年第4期《判断直线和椭圆位置关系的一种方法》一文中,给出了一种判断方法,该方法充分利用椭圆的定义,不失为一种好方法.但实际运用起来还是比较复杂了一点,下面介绍一种较为简单的方法.我们知道,判断圆和直线的位置关系比较容易.因此,我们将椭圆转化为圆,判断直线和椭圆     

两类黄金椭圆美的比较

椭圆就像是具有伟大的母性气息，它把诸如圆、抛物线、双曲线等圆锥曲线囊括于胸，形成统一的归宿．比如，星体轨道多为椭圆，当运动速度超过第一宇宙速度时，轨道会变成抛物线、双曲线等，既体现了椭圆是宇宙的韵律，又形成椭圆的统一美．不同类型的椭圆由于其“扁“圆”程度的不同，形成不同的美感，究竟什么形状的椭圆最美？     

椭圆问题的圆化处理

对于椭圆x2/a2+y2/b2=1,令x’=x/a,y’=y/b,则椭圆方程变为:x’2+y’2=. 1,此为单位圆方程.这样,椭圆问题就可充分利用圆的性质来解决了.举例说明. 例1若直线l:x+2y+t=0与椭圆C:x2/9+y2/4=1相交于两点,求t 的取值范围. 解:令x=3x’,y=2y’,则椭圆C和直线l分别变成圆C’:x'2+y'2= 1和直线l':3x’+4y’+t=0.     

圆与椭圆几何性质的类比探究

在椭圆方程b^2x^2＋a^2y^2=a^2b^2中,当a=b时,椭圆就变成了圆x^2＋y^2=b^2．因此,可以把圆看作是椭圆的一种特殊情形．椭圆的某些几何性质,利用“一般性寓于特殊性之中”,可以类比圆的几何性质而得到．事实上,圆的某些重要的性质推广到椭圆中仍然有类似的结论,这充分说明了椭圆与圆之间具有密切的内在联系．     

用坐标伸缩变换解决椭圆问题

正在高中数学新课标选修44中,介绍了平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.若在坐标伸缩变换下,椭圆就可以变为圆,二者有很多相似的性质,从而可将椭圆的有些问题用圆的知识来处理,比如研究直线和椭圆、椭圆和椭圆的位置关系、与椭圆有关的问题时,用坐标伸缩变换转化为相应的直线和圆、圆和圆的位置关系、与圆有关的问题来处理.这样做不仅可以方便理解,还可以避免较为繁琐的计算过程.下     

圆性质在椭圆中的推广及应用

在坐标轴上的伸缩变换ｘ＝ａｘ′ｙ＝ｂｙ′｛下,易得如下结论：１．直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｍ变为直线ｌ′：ｂｙ′＝ｋａｘ′＋ｍ,线段变成线段且线段中点对应线段中点;２．椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１变成单位圆Ｃ′：ｘ′２＋ｙ′２＝１;３．直线与椭圆的位置关系...     

用坐标伸缩变换解决椭圆问题

<正>在高中数学新课标选修4-4中,介绍了平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.在坐标伸缩变换下,椭圆就可以变为圆,二者有很多相似的性质,从而可将椭圆的有些问题用圆的知识来处理,比如研究直线和椭圆、椭圆和椭圆的位置关系、与椭圆有关的问题时,用坐标伸缩变换转化为相应的直线和圆、圆和圆的位置关系、与圆有关的问题来处理.这样做不仅可以方便理解,还可以避免较为繁琐的计算过程.下面分类举例予以说明.     

我们的一千个梦

梦中,我来到了大山里,山洞变成一个奇怪的房间,我走进去,掉下的果子砸在我的头上,我就昏迷了。醒来后,我发现自己穿上了一套古代服装,觉得很眼熟,却又叫不出名字来。我疑惑自己是不是跌进时光隧道里了。     

用坐标伸缩变换解决椭圆问题简

在高中数学新课标选修4—4中,介绍了平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．在坐标伸缩变换下,椭圆就可以变为圆,二者有很多相似的性质,从而可将椭圆的有些问题用圆的知识来处理,比如研究直线和椭圆、椭圆和椭圆的位置关系、与椭圆有关的问题时,用坐标伸缩变换转化为相应的直线和圆、圆和圆的位置关系、与圆有关的问题来处理．这样做不仅可以方便理解,还可以避免较为繁琐的计算过程．下面分类举例予以说明．     

用坐标伸缩变换解决椭圆问题

在高中数学新课标选修4-4中,介绍了平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．若在坐标伸缩变换下,椭圆就可以变为圆,二者有很多相似的性质,从而可将椭圆的有些问题用圆的知识来处理,比如研究直线和椭圆、椭圆和椭圆的位置关系、与椭圆有关的问题时,用坐标伸缩变换转化为相应的直线和圆、圆和圆的位置关系、与圆有关的问题来处理．这样做不仅可以方便理解,还可以避免较为繁琐的计算过程．下面分类举例予以说明．     

直线与椭圆位置关系问题的换元解法

通过换元,可以把直线与椭圆位置关系问题转化为直线与圆的位置关系问题来解决,请看下面几题的全新解法.     

巧用伸缩变换解椭圆问题

椭圆x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）通过伸缩变换变成单位圆,其变换有两个常用性质：①直线仍变成直线,斜率为原来的a/b.②平行于横轴（或在横轴上）的线段仍平行于横轴（或在横轴上）,且长度为原来的1/a,     

通过伸缩变换 研究椭圆的性质

一、伸缩变换性质研究研究结论：若一直线与圆相交,经伸缩变换后所得直线与椭圆也相交;若一直线与圆相切,经伸缩变换后所得直线与椭圆也相切;若一直线与圆相离,经伸缩变换后所得直线与椭圆也相离。（分析过程略）     

直线与椭圆、双曲线位置关系的一种新的判定方法

我们知道 ,针对圆的特殊几何性质 ,可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定直线和圆的位置关系 .实际上 ,结合椭圆和双曲线的第一定义 ,直线和椭圆、双曲线的位置关系的判定也有类似的结论 .引理 1　平面上 ,两点Ｆ1 、Ｆ2 在直线ｌ的同侧 ,点Ｆ′1 和点Ｆ1 关于直线ｌ轴对称 ,点Ｐ在直线ｌ上 ,则 ｜ＰＦ1 ｜ + ｜ＰＦ2 ｜≥｜Ｆ′1 Ｆ2 ｜(如图 1) .(证明略 )定理 1　直线上一点到椭圆两焦点的距离的和的最小值 (1)小于长轴长 ,则直线与椭圆相交 ;(2 )等于长轴长 ,则直线与椭圆相切 ;(3 )大于长轴长 ,则直线与椭圆相离 .图 1　…     

直线与椭圆、双曲线位置关系的一种新的判定方法

我们知道,针对圆的特殊几何性质,可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定直线和圆的位置关系. 实际上,结合椭圆和双曲线的第一定义,直线和椭圆、双曲线的位置关系的判定也有类似的结论.     

我的遭遇

<正>我是一只个头中等、形状扁扁的橘子。我的一些同伴已落入人类的口中,而我威风凛凛地坐在一个人头上,玩了一个有趣的游戏。游戏开始了。老师把我递给一个小男孩儿。小男孩儿小心翼翼地把我放在头上。他的头又大又圆,我坐在一片黑“草地”上,望着下面的深渊,不禁打了个寒战,赶紧抓住他那又短又细的头发,闭上眼睛。“预备,开始！”老师一声令下,小男孩儿张开手臂,慢慢地朝前走去。     

利用伸缩变换巧解椭圆问题

伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容,是高中数学课程中的新增内容．椭圆在伸缩变换下可变成圆,圆在伸缩变换下可变成椭圆．笔者在文[1]中利用伸缩变换探究了椭圆有以下三个性质：     

例析椭圆问题圆处理

在椭圆方程中,令a=b=r,则椭圆方程变为圆方程;在椭圆面积公式S=πab中,令a=b=r,则椭圆面积公式变为圆的面积公式.以上说明圆可以看作是特殊的椭圆,它们有很多相似的性质,从而椭圆的有些问题就可以用圆的知识来处理,比如研究直线和椭圆、椭圆和椭圆的位置关系、     

椭圆还圆法

<正>解决椭圆复杂问题时,同学们往往觉得解题过程很繁杂而不愿意去做,如果掌握了椭圆还圆法,将椭圆变成圆,然后利用圆的性质解决这些问题,那么解决椭圆问题的时候就可以找到捷径.首先看复旦保送题:在四分之一的椭圆