以形助数巧解题

题目:一根铁丝,第一次用去了它的2/3,第二次用去了余下的40%,第三次用完。已知第三次比第二次多用了8米,这根铁丝长多少米。[通常解法]把这根铁丝的总长看作“1”,第二次用去总数     

变“数”为“形”巧解题

<正>面对一个比较复杂、抽象的代数问题,如果我们能构造几何模型,变"数"为"形",用图形的办法,把它描述刻画出来,会使这个对象简明、形象,更容易理解,有助于探索解决问题的思路,以下举几例说明.一、变多元等式问题为两条曲线的位置关系例1(2014年浙江高考题)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,求a的最大值.解由已知,存在实数a,b,c,满足方程     

浅谈“以形助数”解题

我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事非.”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,     

巧借“插数”解题

[题目]试比较1/2×3/4×5/6×7/8×…×(99)/(100)与1/(10),哪个更大,为什么? [分析与解]这是一道估算题,估算一般是以确定得数的上限和下限来解答的,即常用的放缩法。这道题在运用这一思路时,更要结合本题的实际情况,采用独特的方法来分析,读者可以观察题中的数字特征:分母为连续偶数,分子为连续奇数,而     

尝试“以形助数”获得解题思路

数形结合，不仅是数学研究的重要手段，也是数学解题的重要技巧。本文从两方面举例说明“以形助数”会使问题直观形象、解法灵活简便、思路清晰。     

构造辅助圆数形结合巧解题

在解一些几何问题时,常会遇到一些用常规方法很难解决的问题.这时,如果构造适当的图形来给以辅助,往往能促使问题转化,使问题中原来隐晦不清的关系和性质在新构造的环境中清晰地展现出来,从而简捷地解决问题,这种解题方法称为构造法.对于在已知条件的线上找点与已知点构成一定的角的问题,如果能根据题目的题设和     

构造辅助圆 数形结合巧解题

在解一些几何问题时,常会遇到一些用常规方法很难解决的问题.这时,如果构造适当的图形来给以辅助,往往能促使问题转化,从而简捷地解决问题.对于有些求角度、求线段长度、证线段相等问题如果能根据问题的题设或结论或图形中某些与圆的性质相似的信息,构     

“以形辅数”解题的若干途径

“以形辅数”是数形结合的一个重要方面,从思维角度看,“形”有助于人们对问题作直观的分析,所以“以形辅数”是一种重要的解题方法。一、借助不等式对应的区间或区域进行不等式组和集合运算。例1 (1988年全国高中联赛试题)有三个集合M、N、P,其中M={(x,y)||x|+|y|<1}, N={(x,y)|((x-1/2)~2+(y+1/2)~2)~(1/2)+((x+1/2)~2+(y-1/2)~2)~(1/2)<22~(1/2)},P={(x,y)||x+y|<1,|x|<1,|y|<1},则下列正确的为: (A)M(?)P(?)N;(B)M(?)N(?)P;(C)P(?)N(?)M;(D)以上均不成立。解:在平面上作出M、N、P的区域,见图1。 M是正方形ABCD内的点集, P是六边形DAEBCF内的点集,     

尝试“以形助数”获得解题思路

数形结合，不仅是数学研究的重要手段，也是数学解题的重要技巧，本从两方面举例说明“以形助数”会使问题直观形象，解法灵敏简便，思路清晰。     

“以形助数”巧解代数问题

数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学,数和形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一个重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.华罗庚先生曾指出:“数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合百般好,隔裂分家万事休.”数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面本文仅就“以形助数”解决代数问题作粗略的探讨.§1.以形助数解决代数问题的途径1.1通过坐标系.如:直角坐标系中,由sinα-2cosα-1可联想到两点连线的斜率;复平面中｜z1-z2｜为复数所对应的两点间的距离.1.2转化.把正数a看成距离,a2(或ab)看成面积,a…     

“以形辅数”巧解代数问题”

本文从构造数式的图形与实施解析法表示两大方面论述了代数问题的几何解法，这种数形结合的思想是中学数学的一种重要思想．     

巧构图形解题

题目:α,β为锐角且满足cosα=4/5,tg(α-β)=-1/3。求cosβ之值。这是91年云南等三省高考试题中的一道解答题,其三角解法可达十种以上。这里根据三角函数与几何的相互联系、巧构图形给出几何的简单解法,避免了繁琐的三角恒等变形,并揭示了本题的实质和命题意图。     

以形辅助数 解题辟新路

数形结合思想是数学解题的一个重要思想,因为数学本身就是研究现实空间中数量关系和空间形式的科学,数与形在内容上互相联系,在方法上互相渗透,并在一定条件下互相转化。对于数与形的关系,D·希尔伯特有一句名言:“算术记号是写下来的图形,几何图形是画下来的公式”,把数与形结合起来,就给数学赋予了新的活力。数形结合是指两个方面的内容,一方面是用数研究形,比如解析几何就是通过方程来研究曲线;另一方面是用形来研究数。下面主要研究如何用图形帮助解题,即通过构造图形、分析图形的方法来解一些高考试题。     

以形助数，以数辅形—浅析数形结合在解题中的应用

“数形结合”既是数学学科的重要思想,又是数学研究的常用方法。教师在教学中经常引导学生创设“数形结合”的情境,不仅可以沟通数与形的内在联系,把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来,从而在这种结合中寻找到解题的思想与方法,而且有利于开拓学生的解题思路,发展学生的形象思维能力。     

以水为“媒”巧解题

利用水的组成，电离特征和某种性质为桥梁，可以快速求解一类试题。现列举几例，供大家参考。     

巧补形 妙解题

对于一些表面上无从下手的几何图形,如果充分挖掘题设的内涵,巧妙地进行补,形,就可寻找出最佳的解题途径.下面举例析之,供同学们参考.一、补成直角三角形例1如图1,将Rt△ABC绕点C按顺     

以形助数 巧解数学竞赛题

华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难人微；数形结合百般好，隔裂分家万事非”．数和形是数学的两块基石，在内容上互相联系，在方法上互相渗透、互相转化，数形结合是竞赛数学中最重要的思想方法之一．     

例说以形助数巧处理

具有直观性的图形简洁明了,图形的直观性也是直觉思维活动中重要组成部分,在此基础上的数形结合思想更是重要的数学思想之一.本文简析以图助数的作用.一、借助图形,易记公式例如,同角三角函数关系式中有平方关系、倒数关系、商数关系及其等价关系式,巧用图形记忆事半功倍.如右图,六边形中,任一对角线上的三数构成倒数关系式,阴影三角形的三顶点之数表示平方关系式,任一顶点上的数等于与它相邻两顶点之数的乘积,导出了商数关系式.又如几何中的定义、定理及公理的记忆抓住其图形特征记收效颇佳.二、借助图形,可得捷径例1、已知x~2 y~2-2x-2y l=0,求x~2 y~2的最值.解:由已知方程可得(X-1)~2 (y-1)~2=1,这表示圆心在(1,1),半径为1的圆,如右图可见OC=2~(1/2),则X~2 y~2的最值为(x~2 y~2)_(max)=OA~2=(2~(1/2) 1)~2=3 2(2~(1/2))(x~2 y~2)_(min)=OB~2=(2~(1/2)-1)~2=3-2(2~(1/2))