怎样计算二重积分

二重积分是多元积分学的基础,计算二重积分是计算重积分的基础,所以是教材的重点。由于二重积分是一种和式的极限,用定义来计算它是比较困难的。初学二重积分的计算时往往感到有些问题困惑不解,不得要领。因此,计算二重积分也是学习中的一个难点。为此,本文将着重谈谈怎样计算二重积分,谈谈计算二重积分的方法、步骤和应注意的问题。计算二重积分的方法是:从几何上,把二重积分理解为曲顶住体的体积,将二重积分的计算问题转化为求累次积分的问题。计算二重积分应注意哪几个问题呢?首先,要分析积分区域和被积函数的性质,决定采取哪一种积分次序化为累次积分才合理。     

几种特殊类型二重积分的计算技巧

二重积分是高等数学的重点,也是难点,计算较为繁琐,有的二重积分需要一定的技巧才能求出.探讨了积分区域关于坐标轴对称、关于直线对称、积分区域是圆的一部分等特殊区域上二重积分的计算技巧,讨论了几类特殊被积函数二重积分的选择积分顺序的问题,研究了如何用轮换法求二重积分.     

关于二重积分的定义和可积性

本文建立了直二重积分和等二重积分的定义,证明了它们与二重积分定义的等价性。建立了一个二重积分存在的充要条件。     

二次积分的一点注记

将二重积分转化为二次积分,是计算二重积分的关键.本文从分析的角度出发,推导了直角坐标系下二重积分转化为二次积分的计算公式.     

二重积分中值定理的推广

文章从二重积分中值定理的基本形式和几何意义出发,找出二重积分中值定理成立的必要条件,将二重积分中值定理的连续性条件减弱为可积性和界值性,讨论了二重积分中值定理,利用界值性给出了二重积分中值定理的推广形式.进一步在二重积分中值定理函数连续性的基础上,增加了函数对两个变量的单调性(单调递增,单调递减),给出了二重积分中值定理的其它的推广形式,最后给出二重积分中值定理特殊情形,即定积分中值定理的推广形式.     

利用物理意义推导二重积分的计算公式

二重积分化为累次积分是非常重要的公式,本文从实际出发,利用积分的物理意义推导二重积分的计算公式。     

二重积分计算方法的探究

在二重积分一般计算方法的基础上,着重讨论如何利用几何意义、对称性、交换积分次序来简化二重积分的计算。这对于数学理论的研究及二重积分的运算都有重要意义。     

“换元法”教学中一个值得注意的问题

本文所论“多元积分换元法”是指:在计算二重积分时,由直角坐标系下换为在极坐标系下的计算方法;还有,在计算三重积分时,由直角坐标系下换为在柱面坐标系下和球面坐标系下的计算方法。 从直角坐标(的二重积分)变换到极坐标的二重积分的变换公式是:     

二重积分换元法的另一种证法及推广

从二重积分的背景出发,以二重积分的微元面积为突破点,利用空间解析几何中外积求面积的方法,给出了对二重积分换元法的另一种证明,又对其进行推广,扩展到三维及N维的情况。     

对称性在二重积分中的应用

在探讨利用对称性计算二重积分的基础上,通过例题说明可以简化二重积分计算。     

广义积分:定积分在极限思想下的自然延伸

研究函数在某区间上的定积分时，总是假定区间为有限区间，并且函数为该区间上的有界函数。如果去掉这两个限制，则得到无穷区间上有界函数的广义积分与有限区间上无界函数的广义积分。一般对这两类广义积分概念的引入缺乏直观性。     

一类Henstock可积而非Lebesgue可积的函数

通过讨论(L)积分、(IR)积分及(H)积分三者的关系,给出一类(H)可积而非(L)可积的函数.     

概率积分的几种计算方法

文章给出计算概率积分∫-∞^∞e^x^dx的几种简便方法。     

积分概念一致性探究

积分概念来源于实践,通过具体的实际问题引入,而最终又应用它去解决实际的问题,“定积分”是高等数学教学中的一个核心内容,而多元函数积分则是教学中的一个难点.多元函数积分类型较多,学习起来容易混淆,所以我们从各积分的概念入手,将各种积分的概念进行研究比较,进而深刻理解     

《高等数学》和《数学分析》教材的注记

指出了高等教育出版社出版发行的通用教材《高等数学》和《数学分析》的几个值得注意的问题。     

有限元方法的Gauss积分和Hammer积分方案

研究了一致网格剖分下矩形单元的Gauss数值积分和三角形单元的Hammer数值积分;再利用有限元方法求解偏微分方程,且通过非奇异问题和奇异问题的数值算例观察解的l2范数误差;进而研究单元数值积分对有限元解的精度的影响,并给出了有效且经济的数值积分方案。     

一类特殊对称区域上二重积分的计算

利用对称性计算二重积分,可以大大简化计算过程．重点研究了在特殊对称区域上的二重积分,给出了相关的性质、性质的证明及例证．     

基于MATLAB数学实验的教学反思——以二重积分为例

MATLAB以其强大功能在高等院校的高等数学教学中起着重要作用.本文从高等数学及实验课的二重积分一节的教学目标设计、教学过程分析等几个方面,对利用MATLAB软件进行教学进行了反思.利用MATLAB软件进行高等数学实验教学具有提高学生课堂参与性、激发学生学习兴趣、有效培养学生思想方法等优点.     

Birkhoff系统积分不变量的构造

分别就等时变分和非等时变分情形下讨论了自由Birkhoff系统和约束Birkhoff系统的积分不变量的构造. 建立自由Birkhoff系统和约束Birkhoff系统的等时变分方程和非等时变分方程, 研究系统的第一积分与积分不变量之间的关系, 证明由系统的一个第一积分可以构造一个积分不变量.     

复积分的对比教学初探

工科复变函数是大学工科类专业的一门重要基础课,它是高等数学内容的延伸,在教学过程中采用对比教学法,充分阐述复变函数与高等数学在计算积分方法,积分性质等方面的异同,将加深学生对复积分的理解.