对于初中平面几何中心对称一个定理的证明的商榷

现行初级中学课本平面几何关于中心对称的定理的证明为: 定理如果作一条线段的两个端点关于一个已知点的对称点,那末: (1)连结这两个点的线段平行于已知线段,并且和已知线段相等。 (2)已知线段上任何一点的对称点,都在所作的线段上。求证(2) AB上任何一点的对称点都在所作的线段上。证明(2) 在AB上任取一点M,连结MO,并且延长MO交B′A′于M′。在ΔA′OM′和ΔAOM中∠2=∠1(平行线的内错角相等)。∠4=∠3(对顶角相等)OA′=OA;     

初中数学教材中关于线段公理的表述应该统一

关于线段公理的表述 ,在各册数学教材中 ,说法不够一致 ,给教和学带来了许多困惑。《九年义务教育三年制初级中学几何》第一册 (人教版 2 0 0 1年 5月第 1版 )第 2 1页的表述中说 :“所有联接两点的线中 ,线段最短。”在几何第一册《教师教学用书》也作了说明 :“注意 ,这里的‘联接’不是‘连结’ ,‘连结’是专在连成线段 (不是其它线 )的时候用的。”可见 ,联接两点的线 ,可直可曲。“联接”不同于“连结”。而《九年义务教育三年制初级中学几何》第二册(人教版 2 0 0 1年 6月第 1版 )第 9页引用公理时说 :“联结两点的线中 ,线段最短。…     

也谈圆外切闭折线的优美性质

贵刊文[1]揭示了圆外切闭折线的一个优美性质,读后得盖匪浅.本文试对该性质作进一步的推广. 我们约定:符号()An表示外切于⊙(,)Ir的任意一条闭折线1231nAAAAAL. 在闭折线()An的两条边上各取一点M和N,为了确定起见,不妨设点M在边12AA上,点N在边1kkAA+上(1kn#,且1nA+为1A,如下图).于是 (i)M和N两点将()An分成两条开折线,即 23kMAAANL ① 和 121kknNAAAAM++L. ② 本文约定:这两条开折线的长分别记作1l和2l. (ii)在开折线①和②中连结MN,可以得到两条闭折线,即 23kMAAANML …     

“联接”与“连结”

三年制义务教材《几何》第一册第２０页有下面两句话：一是有关线段的公理：所有联接两点的线中，线段最短．二是两点的距离的定义：连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离．细心的同学会问：这两句话中，为什么第一句话用的是“联接”两字，而第二句话却又用了“连结”两字呢？是不是课本搞错了？回答是否定的，因为“联接”两点得到的线（注意这里是“线”），可以是曲线、折线，当然，也可以是线段，即泛指一切可沟通这两点的线，如图中的线ＡｍＢ、ＡｎＢ、ＡｔＢ、ＡｓＢ，以及线段ＡＢ，都是“联接”Ａ、Ｂ两点的线．在数学中，“连…     

关于证明两条直线互相垂直的一个定理

在现行的平面几何教材中,关于如何证明两条直线互相垂直,方法介绍了很多,但有一个定理,即“若点 P、Q∈a,点M、N∈b,且PM~2-PN~2=QM~2-QN~2,则a⊥b”(见梁绍鸿著《初等数学复习及研究(平面几何)》第118页习题12)却谈及甚少。本文介绍并证明该定理,并举例说明某些证明线段垂直的几何题,运用该定理,较为方便。定理:若点P、Q∈a,点M、N∈b,(P≠Q,M≠N)且 PM~2-PN~2=QM~2-QN~2,则a⊥b。     

一道课本学生自证定理的多种证法

定理:两条异面直线的公垂线长是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条(.人教大纲版高二下(B)第50页.)     

运用化归的思想解折线最值

高中数学教学中碰到求折线长度的最值或值域时,运用“化归的思想”将折线转化为直线,利用“在平面内连结两点的线段和折线中,线段最短”,借助图形进行直观教学,不但可加深学生对数量关     

连结·联接·连接

“连结”首先出现在义务教材《几何》第一册的第14页.书中指出:“我们说连结AB,就是要画出以A、B为端点的线段.”以后,这一词语在初中几何各册中曾多次出现. 义务教材《几何》第一册第20页有一公理,“所有联接两点的线中,线段最短.”联接这一概念仅在此出现一次. “连接”,则在义务教材《几何》第三册的第146页有叙述,“由一条线(线段或圆弧)平滑地过渡到另一条线上,这种平滑地过渡,通常称圆弧连接,简称连接.”“连接时,线段与圆弧,圆弧与圆弧在连接处相切.”     

从一道中考题谈起

20 0 3年北京市中考题第 2 2题 :如图 1 ,在 ABCD中 ,点E、F在对角线AC上 ,且AE =CF .请你以F为一个端点 ,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段 ,猜想并证明它和图中已有的图 1某一条线段相等 (只须证明一组线段相等即可 )连结 :　　　　 ;猜想 :　　　　 =　　　　 ;证明 :分析 　 若连结BF ,则可证明BF =DE ;也可连结DF ,证明DF =BE .证明 　 连结BF ,∵四边形ABCD是平行四边形 ,∴AD =BC ,AD ∥BC ,∴∠DAE =∠BCF ,又AE =CF .∴△ADE ≌△CBF(SAS) ,∴BF =DE .点评 :本题所给出的图形是一个平行四边形中…     

皮克定理的推广

由[1]我们知道格点多边形的面积公式,即:皮克定理如果格点多边形A1A2A3An面积为A,内部格点数和边上格点数分别为N和L,则12A=N L?.本文试将上述公式推广到格点广义回形折线.定义若广义回形折线的顶点全是格点,则称之为格点广义回形折线.(关于格点广义回形折线及其面积等概念,请参看文[2])定理若k环n边的格点广义回形折线A1A2A3An A1(简记为A(n)k)的同侧域至少包含一个格点,则该广义回形折线的面积为1()(1)2njk jjLA n N=?=∑ ?其中N j、L j分别为A(n)k的第j层多边形内部和边上格点数.证明如图,设格点M是封闭折线A(n)k的同侧点.由文…     

《三角形中位线定理》教学案例

一、创设问题情境,诱导学生发现结论(1)怎样测算操场中被一障碍物隔开的两点A、B的距离?小明测量的方法是:在AB外选一点C,连结AC、BC、取AC、BC的中点M、N!连结MN,量出MN=20m,这样能算出AB的长吗?AB与MN有何关系?经观察,你猜测AB与MN的关系是?(2)MN这条线段既特殊又重要,我们把它叫做△ABC的中位线.即连结三角形两边点的线段叫三角形的.(3)一个三角形有条中位线,画出图2所示三角形的所有中位线,经观察、测量可发现:()//(),()=21();()//(),()=21();()//(),()=21().用语言叙述上述结论:三角形的中位线并且.图1(4)再画出图2的△…     

对一道“希望杯”试题的讨论(初二)

第十四届“希望杯”初二第2试第23题:两条直线上各有n个点,用这n对点按如下规则连结线段:①同一直线上的点之间不连结;②连结的任意两条线段可以有共同的端点,但不得有其它的交点.(1)画图说明当n=1,2,3时,连结的线段最多各有多少条?     

《极坐标》中一道习题的探讨

在高中教学第二册《极坐标》一节中,有一道习题:长为2a的线段,其端点在两个直角坐标轴上滑动,从原点作这个线段的垂线,垂足为M,求点M的轨迹的极坐标方程(ox为极轴),再化为直角坐标方程。(189页第12题)这一道习题的解答,在供教师教学使用的参考书上,写得比较含糊,有的地方尚不够完整,现把它摘录在下面:解如图一,设AB(=2a)的端点A、B分别在x轴和y轴上滑动。先考虑AB在第一象限的情况。设点M为适合条件之点,     

注重数学理解 凸显数学本质——一道中考试题的深度解读

<正>一、试题呈现(2021舟山中考第24题) 小王在学习浙教版九上课本第72页例2后,进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α≤90°),得到矩形AB′C′D′,连结BD.探究1 如图1,当α=90°时,点C′恰好在DB延长线上.若AB=1,求BC的长.探究2 如图2,连结AC′,过点D′作D′M//AC′交BD于点M.线段D′M与DM相等吗?请说明理由.     

浅谈高等几何在初等几何中的应用

高等几何对中学几何,特别是对解析几何有重要的指导作用。本文拟就如何用高等几何的方法解决中学几何,特别是初等几何中的一些问题进行了初步探讨。一、仿射变换的应用1、利用平行射影证明几何题平行射影是最简单的仿射变换,利用两条直线间的平行射影将图形中不共线的点和线段投射成共线的点和线段,可使一些命题的证明简化。例1(menelaus定理)在三角形的边或其延长线上,三个分点共线的主要条件是顶点到分点与分点到这边上另一顶点的有向线段的值的比的乘积等于-1。已知:如图,在△ABC中,点L、M、N分别是AB、BC、CA上(或延长线上)的点。…     

每期一题

题△ABC中,一个以O为圆心的圆经过顶点A及C,又和线段AB及线段BC分别交于点K及N,K与N不同。△ABC和△BNK的外接圆恰相交于B和另一点M。求证;∠BMO=90°。(第26届国际数学奥林匹克试题第七题。本刊1986年第3期载有吴雪庐同志用位似变换证明这题的两种方法,又《科学画报》1986年第1期上载有两种方法。这里再介绍与上述方法不同的八种方法,以供参考。编者) 证法一如图1,延长BM至H,连接     

运用化归的思想解折线最值

高中数学教学中碰到求折线长度的最值或值域时，运用“化归的思想”将折线转化为直线．利用“在平面内连结两点的线段和折线中，线段最短”，借助图形进行直观教学．不但可加深学生对数量关系的认识。而且在寻找动点变化规律的同时．为学生提供动手实践的机会．使他们逐步掌握各种教学思想和方法，学会思考，提高理性思维能力．     

遵循学生的认识规律组织课堂教学——“三角形的中位线”一课的几点做法

多年来。我教学“三角形的中位线”一节的做法是:(1) 引导学生在三角形的两边分别取中点,然后连结两中点得出线段,引入三角形中位线的定义。(2) 指导学生通过度量、观察抽象概括出三角形中位线的命题,然后进行推理论证得出定理。这样安排,学生由中点、线段这两个小概念形成三角形的中位线这个新概念,感性基础强,因而     

一道全国竞赛题的别证与探析

2005年全国初中数学竞赛试题的第12题：如图1，半径不等的两圆相交于A，B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C．D两点，连结BC，BD，设P，Q，K分别是BC．BD，CD的中点，M，N分别是弧BC和弧BD的中点．求证：     

抓住联系 类比学习

教科书第130页有这样的描述：“点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的中点,”第139页又讲道：“从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线。”怎样理解这两句话呢？它们之间有什么联系吗？