例谈构造垂心证题

我们知道,三角形的三条高线交于一点,这点称为三角形的垂心.利用这一性质,适宜地构造三角形的垂心,在证明线段垂直,三点共线或多线共点这几类问题时,作用巨大.下面用典型实例加以说明.     

利用垂心证明垂直

三角形的三条高交于一点，此点称为三角形的垂心，由于垂心是三角形三条高所交唯一点，本文就以此为依据，证明线段互相垂直。     

利用构造法证题

有的数学题,若能结合题意,构结适当的模型,往往会使问题化难为易,化繁为简,收到事半功倍的效果。这种方法称为构造法。本文试想作些初步的探讨。一构造辅助函数     

善于利用面积证题

几何命题的证明技巧多种多样,以面积为媒介是其中之一,这种技巧有时显而易见,有时则十分隐蔽。如果我们有意识地去探索这种隐蔽着的方法,不仅可以使该问题得以解决,而且也开拓了学生的思路,使学生在复杂的几何证明面前自觉地寻求新的技巧。笔者仅就自己的教学心得,以例说明,与同行共     

利用数学归纳法证题

数学归纳法是一种重要的证明与正整数有关的数学命题的方法.一般先证明当n取第一个值n_0(例如n_0= 1)时命题成立,然后假设当n=k(k∈N~*,k≥n_0)时命题成立,并证明当n=k 1时命题也成立,那么就证明这个命题成立.因为证明了这一点,就可以断定这个命题对于n取第一个值后面的所有正整数也都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.     

利用三角函数证几何题

有些平面几何证明题,在证明中若能利用三角函数的计算,则证明过程较为简捷. 例 过正方形ABCD的顶点A任引一直线,交BC和DC的延长线于P、Q.求证:1/(AP)~2=1/(AQ)~2=定值. 分析正方形给定后,正方形的边长是定值.设正方形边长为     

利用中点证几何题

同学们大都有这惊的体会：在比问证明中．有的题目看起来似乎很你但在添加了辅助线后拐个小弯便会成为容易的证题．对于中点问题也一样．那么。如果题目中出现了中点．情况．会是怎样呢？我们就这个问题以一些典型例证作些分析，希望能给同学们提供一些思路和方法．例1如图1，四边形ABCop中．AL”上B（”．ADj．BD，P、Q分别是。；IB、C”D的中点．求证小Q上CD．分析由于Q是线段C”D的中点，根据等腰三角形的性质．要证广QI＿L”D．只须证明凸PCD为等腰三角形即｛为此，连结PC、PD．则PC”、PD分别是Rt凸。IBC”和Rt凸月，…     

利用直角三角形边角关系证题

直角三角形的边角之间具有四种特定关的对边的邻边系，即S斜边斜边／A的对边。／A的邻边＿L＿tgA一气工广淙古尔吉，CtgA一气二六悉后6若．又j于一“”““／A的部优”一”‘“／A的对切”””““些与直角三角形有关的线段证明问题，考虑利用上述关系，可取到出人意刚9效果．现以近年来的中考题为例说明．一、线段相等问题树1如图1，已知OABCD中，对角线AC”与BH相交手点O，AE入BD，CF上BD，垂足分别为E、F．求证：HE一CW．（199年，昆明市）简证设立AOE一。，那么／CrpF—a．在Rt凸AOE和Rt凸COF中，AEC7FSirtQ一天干…     

利用三角形中位线证题

三角形中位线定理说明了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系.利用这两种关系,可证明若于与线段中点有关的问题.例1 如图1,△ABC中,BD平分∠ABC,AD⊥BD于D,E为Ac的中点.求证:DE//BC.分析由E为AC的中点,若延长AD交BC于F,那么要证DE//BC,则只要证D为AF的中点.这只要证△BDA≌△BDF.∵AD⊥BD,∴∠BDA=∠BDF=90°.∵∠1=∠2,BD=BD,∴∠BDA≌△BDF.     

利用平移的方法证题

用直尺和三角尺画平行线的方法如图1所示,在画图过程中,三角尺沿着直尺的方向由原来的位置平行地移到另一个位置,我们把这样的移动简称为平移.三角尺的平移既可以看成是线段(三角尺的边)的平移,也可以看成是整个图形(三角形)的平移.在思考有关图形问题时,利用平移的方法,把部分图形"搬"到新的位置,使不规则图形变成规则图形,能使已知条件与待证结论之间的关系变得清晰明确,使解题过程变得妙趣横生.     

利用等对等定理证题

所谓等对等定理,指的是圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系定理,即在同圆或等圆中,相等的圆心角、相等的圆周角、相等的弧、相等的弦、相等的弦心距这五组量中,如果有一组量相等,那么其余的四组量也分别相等。     

利用面积证题一例

84年在贵州参加全国数学竞赛的命题工作,会议期间曾讨论过一道问题: 设在△ABC中,D为BC的中点,G为重心,过G任作直线分别交AB、AC于E、F。设AE/AB=h,AF/AC=k,求证我们不想局限于就解决这一个问题,所以,先作一些推广,考虑一下,D为BC上任意一点,G为AD上任意一点,这时的结论是什么? 设BD/DC=λ_1/λ_2,λ_1+λ_2=1,AG/AD=t,我们断言有为了证明(2),我们借助于三角形的面积。设△AEG,△AGF,△ABC的面积分别为S_1,S_2,S。则由于△ABD的高与△ABC的高相同,而     

利用卡尔松不等式证赛题

利用卡尔松不等式可以证明柯西不等式和均值不等式．     

利用西摩松定理证题

大家知道,西摩松(Simson)定理就是: 三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线。这就是说,如果P是△ABC外接圆上任意一点,X、Y、Z是P点分别在直线BC、CA、AB上的射影,那么X、Y、Z三点共线并且称直线XYZ是P点对于△ABC的西摩松线。西摩松定理不只是一个证明点共线的好题,而且可以用来来证     

利用中心对称巧证几何题

图形的轴对称性在折叠问题中应用广泛 ,同学们也能较好利用 ,但图形的中心对称性 ,许多学生虽然能掌握这一性质 ,但不能灵活运用。本文通过一些例子来说明中心对称性 (尤其是平行四边形的中心对称性 )在几何证明题中的应用。例 1　 (几何课本第二册第 136页例 2 )已知 :如图 1, ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O,EF过点 O与 AB、CD分别相交于点 E、F。求证 :OE=OF。(原证明是通过证△ AOE≌ COF得到的 ,所需条件繁多。)分析 : ABCD是中心对称图形 ,中心是 O,AB边与 CD边是一对对称边 ,而 EF过中心 O且分别与 AB、CD相交 ,由…     

利用面积关系证几何题

利用面积关系证明平面图形中的线段相等、成比例及线段的和、差、倍、半关系,有时比用一般方法要简便、巧妙。本文通过实例启发、开拓学生证几何题的思路,培养学生解题能力。     

要善于利用垂直平分线证题

在证角相等或线段相等时,同学们总习惯利用全等三角形.但对于含有线段垂直平分线的题目,直接利用线面垂直平分线的性质去证,比利用三角形全等要简单得多.请看例子. 例1 已知C、D是线段AB的垂直平分线上的点.求证:∠CAD=∠CBD.     

利用复数巧证一几何题

题 设I是△ABC的内心,角A、B、C的对边为a,b,c,求证:IA~2/bc IB~2/ac IC~2/ab=1。 这是《数学通报》94年第7期898号问题,原解答是纯平几证法,本文利用复数给出     

利用定比分点巧证题

《中学数学月刊》在1997年第6期刊登了沈红梅的《一道好题的作用》,又在第10期刊登了田正平的《一道好题的简证》,给出了下面这道题:“若a>b>0,求证:(asinx b)/(asinx-b)不能介于(a-b)/(a b)与(a b)/(a-b)之间”的四种解法,这道题如果利用定比分点公式来证将更巧妙。