角平分线的巧用

平分线除了课本介绍的性质外,还有如下两条性质: 性质1:角平分线 平行线(?)等腰三角形. 如图1,P是∠AOB的平分线OC上一点,PE∥OB,交OA于E,求证:EO=EP. 证明:∵OC平分∠AOB. ∴∠1=∠2. 又∵PE∥OB,∴∠2=∠3.     

用运动、变化观促进几何解题教学

事物是普遍联系的,又是运动的,也是变化发展的.几何是研究物体的形状、大小、和位置关系的一门学科,在教学中,运用唯物辩证法的观点,对学生进行解题能力培养,更好地学习几何,起着不可或缺的作用.1启迪联想,学会动变对于课本中的某些习题,教师应该发现它们之间的联系,挖掘它所具备的深层价值,如:在几何课本中有不在同一页的如下两个习题.11如图1,已知∠AOB=165°,∠AOC=∠BOD=90°,求∠COD的大小.21如图2,已知∠AOB=∠COD=Rt∠,∠AOD与∠BOC是否相等,为什么?我们有意把两题放在一起,让学生发现两题的图形有什么相同与不同.学生发现…     

采用“早渗透,多层次”的方法

1.结合概念教学,进行推理教学的早期渗透.例如在角平分线的定义教学中,可根据定义,画出图形,并写成表达式如下: ∵ OC是∠AOB的平分线,(已知) ∴∠1=∠2=1/2∠AOB.(角平分线定义)     

列方程求角的度数

几何中许多求角的度数的问题,可借助于列方程去解决.现举几例说明.例1如图1,OA、OP、OB是∠MON中的三条射线,OP、OB分别是∠MON、∠PON的平分线,∠AOP=13∠MOA,若∠AOB=45°,试求∠MON的度数.解:设∠AOP=x°,则∠MOA=3x°,∠MOP=4x°.又OP平分∠MON,∴∠PON=∠MOP=4x°.又OB平分∠PON,∴∠POB=12∠PON=12×4x°=2x°.∴∠AOB=∠AOP+∠POB=3x°.∵∠AOB=45°,∴3x=45,x=15.∴∠MON=2∠MOP=2×4x°=8x°=120°.例2如图2,OC、OD是∠AOB中的两条射线,且∠AOC∶∠COD∶∠DOB=1∶2∶3,OM是∠AOC中的射线…     

两条角平分线的夹角，有一个结论

在图形的初步知识中,学习了角平分线后,有一类题目,是求两条角平分线的夹角,有两种形式： 1．如图1,∠AOB=a,射线OC是∠AOB内部任意一条射线,OD、OE分别平分∠AOC、∠COB,则∠DOE=1/2α.     

例说证明两条直线垂直

证明两条直线互相垂直有多种方法,以下,列举5例.例1如图1,已知DA⊥AB,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,且∠1+∠2=90°.     

作图题浅析

作图题是中考题中经常出现的题型.对于这类题,可以结合草图进行分析,尤其是比较复杂的作图题,在作图之前应细心分析,寻求较佳的解题途径.中学作图题大致分为三类: 一、交轨法作图例1 如图1,已知∠AOB和点M,求作点P,使点P到OA、OB的距离相等,并使PM=PO. 分析(1)点P到OA、OB的距离相等,则P点一定在     

反射光路 镜“居”何处?

例1如图1所示,已知入射光线AO与其反射光线OB,请画出平面镜的位置.分析根据光的反射定律可知:反射角等于入射角,法线平分入射光线与反射光线的夹角,且法线与镜面垂直.过入射点O作∠AOB的角平分线(虚线)ON,过O点作ON的垂线     

平分三角形面积的直线的一种作法

本文给出的是初等几何尺规作图中,平分已知三角形面积的直线的一种作图方法,从而拓宽并丰富了平分已知三角形面积的直地的作图知识.     

尺规作图等分角、线段另有方法

题目1已知角作它的平分线已知:∠AOB;求作:∠AOB的平分线OP.作法:1·以O为圆心,分别以不同长为半径作两弧,交两边于M、N和E、F;2·连结MF和NE,相交于P;3·作射线OP;OP就是∠AOB的平分线.(图1)证明因为OM=ON,OF=OE,∠MON=∠NOM,所以△MOF≌△NOE.所以∠4=∠3.因为OM=ON,OE=OF,所     

构造基本图形灵活运用性质

如图1,若OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,则PD=PE;反之,若PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,且PD=PE,则点P在∠AOB的平分线上,即OC平分∠AOB.这就是角平分线的性质定理及其逆定理,图1是定理的基本图形,很多几何题都含有该图的“影子”,因而可以简捷地利用基本图形来解题.例1已知:如图2,BD平分∠ABC,AD=CD,求证:△ABD≌△CBD.分析:直接证明这两个三角形全等缺少条件,由BD平分∠ABC联想到角平分线性质定理的基本图形,过D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F,则DE=DF:由“HL”易证Rt△DFC≌Rt△…     

为什么要这样画——对“作一个角等于已知角”的探索

在《用尺规作线段和角》一节中,学习了利用尺规作图作一个角等于已知角.它的操作步骤如下所示:已知: ∠AOB,求作: ∠A′O′B′=∠AOB.作法:(1) 以点O为圆心,任意长为半径(用圆规)作弧,分别交 OA,OB于点C, D.(2) 作射线O′A′,以点O′为圆心, OC 的长为半径作弧交O′A′于点C′.(3) 以点C′为圆心, CD长为半径作弧,交前弧于点D′.(4) 作射线O′B′过D′点.∠A′O′B′即为所求作的角.图1　　　　　　　　　　　　　　图2我们大都用模仿复制的方法记住了这个操作步骤,那么,怎么会想到这样画呢? 下面我们一起来探索这个作图的操…     

“截长补短法”在角的平分线问题中的运用

人教八年级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而＂截长补短法＂又是解决这一类问题的一种特殊方法,在无法进行直接证明的情形下,利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BC〉AB,AD=DC,BD平分∠ABC.求证：∠BAD＋∠BCD=180°.     

有感课本一道习题的处理

在八年级上册课本的等腰三角形一章中有这样一道习题：已知：如上图,点E是∠AOB平分线上一点,EC⊥OB于C,ED⊥OA于D。求证：（1）∠ECD=∠EDC;（2）OC=OD;（3）OE是线段CD的垂直平分线。     

怎样求角的度数

在遇到求角的度数问题时,对于不同条件的题目,可以采用以下几种不同的方法求解现举例说明一、直接计算法例1 如图1,O是直线AB上一点,∠AOC=27°38′,OC平分∠AOD,求∠BOD的度数解：由OC平分∠AOD、∠AOC=27°38′得∠AOD=2∠AOC=27°38′×2=55°16′因∠AOD与∠BOD的和等于平角,故∠BOD=180°－55°16′=124°44′二、分析推理法例2 如图2,∠AOB是直角,∠AOC为锐角,ON平分∠AOC,OM平分∠COB,求∠MON的度数     

一道作图题的命制及反思

<正>笔者有幸参与了南京市建邺区一模试卷的命制工作,其中解答题第22题作图题给笔者留下深刻印象,以下是笔者的一些思考,以期对读者有所启发.1 试题呈现题目如图,已知点P为∠AOB内一点,利用直尺和圆规确定一条过点P的直线,分别交AO、BO于点E、F,使得OE=OF.(不写作法,保留作图痕迹)2 命题过程2.1 初步方案在初中数学中,尺规作图被分为两类:一类是"基本作图":作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作     

一道几何证明题在"三角形"复习中的作用

为了引导学生巩固“三角形”全章的重点知识和内容 ,使学生能够总结出证明角相等、线段相等和线段中垂线的方法 ,进一步提高分析问题和逻辑推理的能力 ,本文通过对一道课本例题的讲解 ,让学生了解这类题的解证方法 .图 1原题　如图 1,已知E是∠AOB的平分线上的一点 ,EC⊥OA ,ED⊥OB ,垂足分别是C、D ,OE交CD于点H .求证 :( 1)∠ECD =∠EDC ;( 2 )OC =OD ;( 3 )OE是CD的垂直平分线 .(人民教育出版社《几何》(第二册 )P97B组第 3题 )证明 :( 1)因为E是∠AOB的平分线上一点 ,且EC⊥OA ,ED⊥OB ,所以EC =ED .故∠ECD =∠E…     

第42届IMO试题5的三角解法及一般结论

第42届IMO试题5为: 在△ABC中,AP平分∠BAC,交BC于P,BQ平分∠ABC,交CA于Q,已知∠BAC=60°,且AB+BP=AQ+QB.问△ABC的各角的度数的可能值是多少?     

尺规作图等分角、线段另有方法

题目1 已知角作它的平分线 已知：∠AOB； 求作：∠AOB的平分线OP。 作法：1．以O为圆心，分别以不同长为半径作两弧，交两边于M、N和E、F；2．连结MF和NE，相交于P；3．作射线OP；OP就是么AOB的平分线。（图1）     

新法比较角的大小

几何课本中教了我们两种比较角的大小的方法,还有没有别的方法呢?请试试下面的方法. 角的大小是由它的两条边张开的程度而确定的,可利用这个规律在比较两个角(如图1中之∠AOB与∠COD)的大小时,分别