问题征解

【问题6】 x、y分别表示两个四位数。y用科学记数法表示为a×10~n时,a为正整数。x的千位数字与百位数字的和等于5a,且x比y小9。求这两个四位数。     

用化齐次法简证几道不等式

题目:设x+y+z=xyz,(x>0,y>0,z>0)求证:2(x2+y2+z2)-3(xy+yz+xz)+9≥0文[1]中用三角函数知识来证明,且证明繁琐,文[2]用换元的方法,然后利用第25届IMO试题的结论:若x≥0,y≥0,z≥0,且x+y+z=1,则xy+yz+xz-2xyz≤727来证明也是不简单,实际上利用拙文[3]中提出的证明不等式化齐次的策略可简单地给出证明.证明:因x+y+z=xyz,原不等式等价于2(x2+y2+z2)(x+y+z)-3(x+y+z)(xy+yz+xz)+9xyz≥02(x3+y3+z3)+2x(y2+z2)+2y(x2+z2)+2z(x2+y2)-3x(y2+z2)-3y(x2+z2)-3z(x2+y2)-9xyz+9xyz≥02(x3+y3+z3)-x(y2+z2)-y(x2+z2)-z(x2+y2)≥0(x+y)(x-y)2+(y+z)(y-z…     

智破毒案

一天,动物王国公安部截获并破译了一份密码电报： 9月14日,装有毒品的一箱货物在一艘货轮中,货轮将于下午5时抵达A港,这个箱子的编号是一个三位数,百位与个位上的数字相差7,交换这两个数字后,原数就扩大了4 1/8倍。     

多项式x~3 y~3 z~3-3xyz的分解及其应用

多项式护 y“十z“一3xyz分解方法如下: x“ y3=(x Jr)3一3xy(x y) (x y)3 23=(x y z)〔(x y)2一(x y)z 22〕 故有x3 y3 23一3xyz=(x y)3一3xy(x y) 23一3xyz =(x y z)〔(x y)2一(x y)z 22〕一3xy(x y z) =(x y z)(xZ yZ 22一xy一yz一xz) 即:x3七y3 23一3xyz=(x 了 z)(xZ yZ 22一xy一yz一xz) 如在复数范围内还可继续分解为: x3 y3 23一3xyz=(x y z)(x 。y 。22)(x 。Zy 。z) .。是1的三次虚根(1)式是个很重要的公式,应用广泛,现仅举几例说明之。 1.因式分解 公式(1)中如果x y z=0,则(1)式变为 x3 y3 23二3xyz(3)式说明:任意三数之和如为0…     

一道IMO试题的简证

题目已知 x,y,z≥0,且 x y z=1.求证:0≤xy yz zx-2xyz≤7/(27)这是第25届 IMO 试题,文[1]给出的“巧证”,巧在将“1”整体代入,但过程较繁,其实,灵活运用有关三角公式来证明此题将较为简捷.     

巧用换元证明一道不等式

题目:设 x y z=xyz,(x,y,z∈R~ ),求证:2(x~2 y~2 z~2)=3(xy yz zx) 9≥0(《数学通报》1991年第12期“数学问题解答”749题.文用三角函数知识来证明,其过程较繁琐,且涉及了一些三角恒等式和三角不等式,一般人不易看懂.本文用换元及应用第25届 IMO 试题便可证出.     

怎样判定一个数能被11整除

如果一个数的个位、百位、万位……上的数字和与这个数的十位、千位、十万位……上的数字和相等,或它们的差是11的倍数,就可以判定这个数能被11整除。例如,412632这个数的个位、百位、万位上的数字和是2 6 1=9,而十位、千位、十万位上的数字和是3 2 4=9,这两个和相等,因此41263     

一道美国数学月刊征解题的新解与推广

题目设x,y,z∈(0,+∞)且2 2 2x+y+z=1,求函数f=x+y+z xyz的值域.这是一道《美国数学月刊》征解题,文[1]运用三角代换及导数给出了此题的一个解法,文[2]给出求f上界的抽屉原则的解法,文[3]给出了幂平均不等式的解法.此题运用初等数学的知识来解难度都比较大,下面以高等数学中的拉格朗日乘数法为突破口,给出此题的一个简单解法.解设拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=x+y+z2 2 2xyzλ(x+y+z 1),对L求偏导数,并令它们都等于0,则有1 2 01 2 0L yz x x L xz yλλ====,,2 1(1)yz xλ+=,,     

找规律填空

一、找规律填补等式数字例1 下列算式中,每个方框□代表一个数字,问这6个□?中的数字总和是多少?(第三届华罗庚金杯少年教学邀请赛)分析与解:由于两个数码之和最大为18.先确定百位,再定十位两行中的数字都是9,后再推断两个个位数字之和为12;故数字和为:4×9+12=48.例2 把0～9这10个数填入□中,使等式成立.     

智力过山车

1.一只小狗五天吃100块饼干,如果它每天比前一天多吃六块饼干,那么,它第一天吃多少块饼干呢?(冉阳推荐)2.小明的妈妈有一个密码箱,妈妈让小明打开:密码是六位数。介于800000到900000之间。千位上是0,十位上是4,百位和个位数相同。密码的十万位、万位、千位上的数字组成的三位数除以百位、十位上的数字组成的两位数,商是35。大家快帮小明想想,密码是多少?(付岳推荐)     

速算一法

十位数字相同,个位数字的和等于10的两个两位数相乘,可迅速写出其结果．方法是：个位上的两个数字的乘积放在结果的个位和十位上（积是一位数则十位上享零）,十位上相同的数字乘以比它大1的数的8放在结果的百位（或百位和千位上）,即为最方结果．例如,对24X26,它们的十位数字相同,叶位数字的和等于Ic,根据上面介绍的方法可直接写出结果：个位上两数字的乘积4X6＝24①在个位和十位上,十位上相同的数字2乘以四2大1的数3的积6放在结果的百位,故24x2的结果为624．又如,siX89,个位上的两个数字的乘积｛放在结果的个位和十位上,由…     

五年级第一学期期末数学参考试题

基础题 一、城空。 1。0。7x15表示( 15x0.7表示( 2.0.32的小数一单位是(个这样的一单位,再添_L()是1。 饰1 3.9.8保留两位小数是(),它有个这样的小数单位 10.在一块长10米,宽6米的长方形地里种120棵树苗,已知株距0.5米,行距是()米。 二、判断下面各肠是否正确,正确的画“侧”,错误的画“又”。一:一冬1.两个三角形的而积相等,它们一定是等底等高。() 2。a“可以写成Za。() 3.方程一定是等式,等式一定是方程‘。.6口52召0.了(保留一位小数口中能填的数有()在O里填上“>”、“<”或,.号3。1403。140 .9 x4。504.55。在4。57、4 .57气), 6。…     

第11届美国数学邀请赛(AIME)解答

1.728. 首先数一下符合要求且以4或6为千位数字的数.这时千位数字有2种选法,则个位数字有4种选法(从。,2,4,6,8中),对百位数字有8种选法,对十位数字有7种选法.所以共有2x4x8x7~448个这样的整数. 同理,若千位数字为5,有lx5x8x7二280个偶数符合要求. 所以,共有448+280一728个. 2.580. 以候选人出发点为原点建立笛卡尔坐标系,正实轴x指向东,正y轴指向北,第40天晚上候选人在点 留盆岁- ...(二,y)一(1,,3)或(二,y)~(3,31). 第一种情形 (a,b,c,d)~(a,a+1。a+93,a+94),a“1,2,一,405. 第二种情形 (a,b,c,d)=(‘,o十3,。+31,a十34),a~l,2,一,465. 这…     

方程(之10) 一元二次方程之1

1.简单的一元二次方程先提出一个问题: 什么数的平方等于9? 用字母x表示“什么数”,上面的问题就可以表示为下面的等式x2=9.这个等式中含有一个未知数x,并且它是二次的,这就是一个最简单的一元二次方程。因为3和-3的平方都等于9,所以这个一元     

究竟什么是“位置值”?

拜读了本刊1991年第9期中的《“数字值”与“位置值”浅议》一文后,我有一些不同的看法,现提出来愿与作者商榷。 1.究竟应该怎样理解“位置值”?在人教社编写的中师《小学数学基础理论和教法》一书中写道:“这种记数法,每个数字除了它本身所表示的数值以外,还有位置值,这样记数原则叫做记数的位值原则”。从这句话中,不难看出:位置值本身并不包含有数字的值。比如,356中的“3”,它本身的数值是“3个”,“百位”的位置值是“百”,把两者结合起来才可说成:“3记在百位上,表示3个百。”因此,位置值实质上是指用数位来表示与它相应的计数     

亿以内数读法教学琐谈

在亿以内数的教学中,有些学生在读数时不是把数字中的“0”读重了,就是把数字中的“0”读漏了,而且读的速度又十分慢。例如:把301400读成“三十万零一千四百”,把100007503读成“一亿七千五百零三”等等。 为什么会出现如上错误读法呢?究其原因主要是:对我国读数规则中的数级概念不清;对一个数中每级各包含哪几个数位,它们分别在各级的哪个位置上不明确;对处于各级中的“0”的读法理解不透。 按照我国“四位一级,按级读写”的规律,从一个数的个位起,每四个数位组成一级:个位、十位、百位、千位组成个级;万位、十万位、百万位、千万位组成万级;亿位、十亿位、百亿位、千亿位组成亿级……在每一级里,除了级名外,它们都有自己的个、十、百、千,见下表:     

数学竞赛单元训练题（初中）——十进制整数的性质

一、选择题1 .x表示一个两位数 ,y表示一个三位数 ,若把x放到y的左边组成一个五位数 ,那么这个五位数可表示为 (　　 ) .A .x y　　　　　B .1 0x yC .1 0 0x y　　 D .1 0 0 0x y2 .若一个两位数x5与一个三位数 3 yz的乘积等于785 0 ,则数字x、y、z分别是 (　　 ) .A .x =2 ,y =1 ,z =2　　B .x =2 ,y =1 ,z =4C .x =3 ,y =1 ,z=2　　D .x =4,y =1 ,z=23 .一个两位数中间插入一个一位数 (包括 0 )就变成一个三位数 ,例如 72中间插入 6后成了 762 .有些两位数中间插入某个一位数后所成的三位数恰好是原来两位数的 9倍 ,这样的两位数…     

智力测验

一、有个四位数,其个、十、百位数字和为25,千位、十位数字和等于百位数字减去千位数字之差。你知道这个四位数是多少吗?二、六位数 abcabc 乘以6,即得 cccccc。你能求出这个六位数吗?三、你能用运算符号把三个5连起来,使其得数分别为0、1、2、5吗?四、你能用简便方法迅速而准确地在下列各式中的括号里填上适当的数吗?     

四位数翻筋斗问题

人翻筋斗,动物翻筋斗,数也会翻筋斗.下面一段顺口溜就是讲的这种稀奇事情: 有个四位数, 将它乘以九, 前后各数字, 翻个大筋斗, 将这段顺口溜用字母表示出来,就是一道乘法竖式: A B C D × 9 D C B A 其中每个字母表示一个数字,相同字母表示相同数字. 这四位数是多少呢? 解:首先,从原数的千位数是A,得 A≥1.9A≥9. 四位原数乘以9以后,仍得四位数,其千位数字是D,所以 A=1,D=9.     

活用均值不等式巧解数学题

平均值不等式是高中数学的重要内容 ,熟练掌握二元和三元均值不等式及其变形应用 ,可以巧妙地解决许多数学题 .1　证明不等式这是最为大家常见问题 ,问题解决的关键是怎样根据题目提供的隐含条件去构造二元或三元均值不等式 .例 1　已知 x,y,z∈ R+且满足 xyz(x +y + z) =1 ,求证 :(x + y) (y + z)≥ 2 .证明 :(x + y) (y + z) =xy + xz + y2 + yz =y(x + y + z) + xz =y . 1xyz+ xz =1xz+ xz≥ 2 1xz. xz =2 .证毕 .此题从“2”这个数字 ,提示我们构造二元均值不等式 .2　求最值高中数学很多地方涉及求最值 ,利用均值不等式中等号成立的条…