一道IMO预选题的另证

题目 对于整数m,在{1,2,3}中存在唯一的一个数t（m）,使得m＋t（m）是3的倍数．函数f：Z→Z满足f（-1）=0,f（0）=1,f（1）=-1,且对于所有满足2n〉m的非负整数m、n,有     

一道IMO预选题的另一推广

题1设a,b,c是正实数,且abc=1,求证: ab/a5 b5 ab bc/b5 c5 bc ca c5 a5 ca≤1,并指出等号成立的条件. 题1是第37届IMO的一道预选题,文[1]对其进行了推广,下面,我们给出它的另一推广.     

浅析一道IMO预选题

这是第35届国际数学奥林匹克的一道预选题．     

谈一道IMO预选题

第31届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛中有这样一道预选题(南斯拉夫提供): 设I是△ABC的内切圆圆心,A_1,B_1,C_1分别是AI,BI,CI与△ABC的外接圆的交点,求证: IA_1 IB_1 IC_1≥IA IB IC。(1) 胡大同、陶晓永编《第31届国际数学竞赛预选题》一书(北京大学出版社,1991年7月)给出了这道试题的一个解答。本文将首先给出这一问题的一个简便证法,然后再作进一步讨论。     

一道IMO预选题探讨

1988年前苏联提供的一道IMO预选题是: 给定七个圆,六个小圆在一个大圆内,每个小圆与大圆相切,且与相邻两个小圆相切。若六小圆与大圆切点依次为A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,证明:     

一道IMO预选题的推广

下面是希腊提供的第28届IMO一道预选题: 试证:若a,b,c是三角形边长,且2s=a b c,则 (1) 本文给出它的推广如下:     

一道IMO预选题的简解

题目　已知x≥y≥z>0 .求证 :x2 yz +y2 zx +z2 xy ≥x2 +y2 +z2 .这是第 3 1届IMO的一道预选题 ,原解答较繁 ,且技巧性强 ,这里给出一个相对简洁的证法 .证明 :由Cauchy不等式 ,有x2 yz +y2 zx +z2 xyx2 zy +y2 xz +z2 yx≥(x2 +y2 +z2 ) 2 .观察上式知 ,如有x2 yz +y2 zx +z2 xy ≥x2 zy +y2 xz +z2 yx ,则问题得证 .通分移项 ,有x3 y2 -x2 y3 +y3 z2 -y2 z3 +x2 z3 -x3 z2 ≥0 .①故只须证式①成立 .x3 y2 -x2 y3 +y3 z2 -y2 z3 +x2 z3 -x3 z2=x2 y2 (x-y) +y2 z2 (y-z) +x2 z2 (z-x)=x2 y2 (x -y) +y2 z2 (y -z) +x2 z2 ·(z-y +y -x)…     

一道IMO预选题的简解

第二十九届国际数学奥林匹克竞赛有一道非常难的预选题: 命题 设a_i>0,β_i>0(1≤n,n>1),且sum from i=1 to n a_i=sum from i=1 to n β_i=π. 证明:sum from i=1 to n cosβ_i/sina_i≤sum from i=1 to n ctga_i　(1) （蒙古提供)     

一道IMO预选题的推广

巴西国提供的第34届IMO预选题如下：设锐角△ABC的外接圆半径R＝1,内切圆半径为r,它的垂足三角形A′B′C′的内切圆半径为r′,求证：r′≤1－（1＋r2）（1）本文将逐步消弱命题的条件,得到两个更简,更一般的结果。为叙述方便,约定a、b、c及a′、b′、c′分别为△ABC及△A     

一道IMO预选题的推广

题目:已知:x、y、z∈R~ ,且xyz=1。 求证:((x~3)/((1 y)(1 z))) ((y~3)/((1 z)(1 x))) ((z~3)/((1 x)(1 y)))≥3/4。 (第39届IMO预选题) 本文给出其两个推广。     

一道IMO预选题的推广

题目：设f是一个从实数集R映射到自身的函数，且对任何x∈R都有|f(x)|≤1，及f(x 13/42) f(x)=f(x 1/6) f(x 1/7).     

一道IMO预选题的引申

第36届IMO预选题中有如下一道题: A_1A_2A_3A_4是一个四面体,G是其重心,A_1A_2A_3A_4的外接球分别交GA_1、GA_2、GA_3、GA_4于A_1′、A_2′、A_3′、A_4′四点.证明:     

一道IMO预选题的加强

第34届IMO预选题2(加拿大提供): 设ΔABC的外接圆半径R=1,内切圆半径为r,它的垂足三角形A′B′C′的内切圆半径为ρ.求证:ρ≤1-(1/3)(1 r)~2。     

一道IMO预选题的推广

题目 设△ABC是锐角三角形，外接圆圆心为D，半径为R，AO交△BOC所在的圆于另一点A’，BO交△COA所在的圆于另一点B’，CO交△AOB所在的圆于另一点C’．证明：     

一道IMO预选题的推广

问题:设x、y、z是正实数,且xyz=1,证明x3/(1 y)(1 z) y3/(1 x)(1 z) z3/(1 z)(1 y)≥3/4.(39届IMO预选题)     

一道IMO预选题的探究

文[1]：在△ABC中,DE过A点且与BC平行,∠C、∠B的平分线分别交AB、AC于F、G;交DE分别于D、E,若DF=EG,求证：AB=AC．     

一道IMO预选题的探索

第37届IMO预选题的第16题[1]为:设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为O,半径为R,AO交△BOC所在的圆于另一点A′,BO交△COA所在的圆于另一点B′,CO交△AOB所在的圆于另一点C′.证明:OA′·OB′·OC′≥8R3.①并指出在什么情况下等号成立?由于不等式①即OA′·OB′·OC′≥8OA·OB·     

一道IMO预选题的推广

第37届(1996年)IMO中有如下一道预选题:若a,b,c,∈(0,+∞),且abc＝1.试证: (ab)/(a5+b5+ab)+(bc)/(b5+c5+bc)+(ca)/(c5+a5+ca)≤1.     

一道IMO预选题的探索

题目已知凸五边形ABCDE满足CD=DE,∠EDC≠2∠ADB.若点P在凸五边形内部,且满足AP=AE,BP=BC,证明:点P在对角线CE上当且仅当 S △BCD+S△ADE=S△ABD+S△ABP.[1] (第60届IMO预选题) 经过一番探索,笔者得到该问题的一般结论: 命题如图1,分别以△ABC边BC、CA、AB...     

一道IMO预选题的探讨

第46届IMO预选题几何部分的第7题为： 在锐角△ABC中，点A、B、C在边BC、CA、AB上的投影分别为D、E、F，点A、B、C在边EF、FD、DE上的投影分别为P、Q、R．记△ABC、△PQR、△DEF的周长分别为P1、P2、P3．证明：[第一段]