一类值得注意的函数:分段函数

分段函数在金融、科技、日常生活等方面具有较广泛的应用价值 .应用的广泛性正是数学的特征之一 ,在深入改革、开放的当代中国 ,在建立市场经济的大背景下 ,强调数学应用及培养应用数学的意识还有其现实意义 .因此 ,高考与竞赛中出现分段函数有关的问题 ,就顺理成章了 .本文举例介绍分段函数的一些常见类型及解法 ,供大家参考 .1 .求分段函数的最值例 1　函数 ｙ =2ｘ 3,ｘ≤ 0 ;ｘ 3,0 <ｘ≤ 1 ;-ｘ 5,ｘ >1的最大值是　　 .( 1 998年上海高考试题 )方法 1 :先求每个分段区间上的最值 ,后比较求得 .当ｘ≤ 0时 ,ｙ =ｆ(ｘ) =2ｘ 3,此时…     

“3＋x”高考教学试题的命题特点与应考复习策略

“3+ｘ”高考科目设置的改革 ,从 1999年由广东省率先进行试点 ,2 0 0 0年试点省扩大到 5个 ,2 0 0 1年又扩大到 18个 ,2 0 0 2年开始在全国普遍实行 .同时数学科试内容的改革也在不断深化 .为了帮助广大考生作好应考准备 ,适应“3+ｘ”这一高考科目设置的新变化 ,我们根据《考试说明》和近几年全国高考数学试题及部分省市的“3+ｘ”试题 ,谈谈“3+ｘ”高考数学试题的基本特点 ,同时为高考考生的复习应考提供一些建议 ,以供参考 .1　“3+ｘ”高考数学试题的基本特点1999年广东版的《考试说明》中明确提出 ,数学科高考的考试目标是“发挥数学…     

2002年高考中蕴含的分类讨论思想

分类讨论是数学解题的重要思想 ,绝大多数数学题 ,其解答都要涉及到分类讨论思想 ;用分类讨论解题 ,最困难的是分类标准的确定 ,即如何进行分类讨论。本文通过对 2 0 0 2年高考理科试题中蕴含的分类讨论思想的挖掘 ,谈谈如何进行分类讨论 .1 蕴含概念型分类讨论问题所谓概念型分类讨论题 ,是指含有数学概念 (例如绝对值等 ) ,而且必须分类讨论的问题 .2 0 0 2年高考试题中蕴含着概念型分类讨论题 .例题 1　不等式 (1 ｘ) (1 -｜ｘ｜) >0的解集是 (　　 ) .Ａ {ｘ｜ 0 ≤ｘ <1 }Ｂ {ｘ｜ｘ<0且ｘ≠ -1 }Ｃ {ｘ｜-1 <ｘ<1 }Ｄ {ｘ｜ｘ<1且ｘ…     

由高考解题谈函数思想

函数是贯穿于高中数学全课程的主干 ,也是高考数学命题的主要内容 .许多问题 ,如能用函数的观点去认识和处理 ,将更为深刻 ,运用起来更为灵活 .本文由高考解题浅谈函数思想 ,以提高对函数思想的认识和运用 .一、什么是函数思想请看下面的试题 :试题 1 :设 ｆ(ｘ) =ｌｇ1 2 ｘ … (ｎ -1 ) ｘ ａｎｘｎ ,其中ａ是实数 ,ｎ是任意给定的自然数 ,且ｎ≥ 2 .如果 ｆ(ｘ)在ｘ∈ (-∞ ,1 ]时有意义 ,求ａ的取值范围 .(1 990年高考试题 )分析 :如果 ｆ(ｘ)在ｘ∈ (-∞ ,1 ]时有意义 ,则1ｎ[1 2 ｘ … (ｎ -1 ) ｘ ａｎｘ]>0 1 2 ｘ … (ｎ -1 …     

品味函数y=Asin(ωχ+φ)+B的交汇性

以能力立意是高考数学命题的指导思想 ,在知识网络交汇点处设计试题是高考数学命题的新特点和大方向 .与函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ) +Ｂ有关的综合问题正是在这种背景下“闪亮登场” ,频频出现在各级各类考试中 .下面笔者精选出两道典型题目予以分析解答 ,旨在引导同学们熟悉题型特点 ,掌握解题方法 .一、与一般函数的性质交汇例 1　已知Ａ( 2π ,1)和Ｂ 5π2 ,1在函数 ｆ(ｘ) =ａｓｉｎｘ +ｂｃｏｓｘ +ｃ(ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ)的图象上 .若定义在非零实数集上的奇函数 ｇ(ｘ)在 ( 0 ,+∞ )上是增函数 ,且 ｇ( 2 ) =0 ,求当 ｇ[ｆ(ｘ) ]<0且…     

重视逻辑推理方法的训练--对2001年高考数学试题的反思

培养学生的逻辑思维能力 ,是中学数学的教学目的之一 ,是高考对思维能力考查的主要对象 ,尤其在 2 0 0 1年的高考数学试题中更加突出了这一点 ,只有培养学生具有逻辑思维 ,才能提高数学的解题能力 .逻辑思维能力的培养首先应从逻辑思维方法的训练入手 ,而逻辑推理是逻辑思维的一种形式 .本文将结合 2 0 0 1年的高考数学试题来探讨逻辑推理方法的训练谋略 .1　演绎推理的训练所谓演绎推理 ,就是以一般的原理原则为前提 ,推到某个特殊的场合得出结论的推理方法 .它具有三段论法的形式 ,使用时应遵守三段论法的规则 .例 1　 (试题 2 2 )设ｆ(ｘ…     

审题思考与解题设计

高考数学解答题从题设到结论 ,从题型到内容 ,变化多端 ,这就决定了审题思考的复杂性与解题设计的多样性 .1　审题思考1.1　明确目的性首先 ,要了解问题的叙述 ,仔细分析问题的主要部分 ,再联系整个问题进行思考 ,尽量使其清晰明了 .其次 ,应剖析已知条件与未知求解 (证 ) ,既要逐个剖析 ,又要把它们联系起来整体考虑 .再次 ,对有关的概念、公式、定理、法则和方法要尽可能地进行联想 ,以寻得最佳解题途径 .例 1　 (2 0 0 1年全国高考理科试题 )设定义在Ｒ上的偶函数 ,其图像关于直线ｘ =1对称 ,对任意ｘ1,ｘ2 ∈ [0 ,12 ],都有ｆ(ｘ1+ｘ2 )…     

几个不等式问题的统一处理

1　几个不等式问题问题 1　设ａ >0 ,ｂ >0 ,ａ3 ｂ3=2 ,求证 :ａ ｂ≤ 2 . (1 986年宿州市初中数学竞赛试题 )《中学数学教学参考》2 0 0 2年第 7期发表的文 [1 ]专门对这一个问题的多种表述形式和多种解法进行了综述 .问题 2　设ｘ ,ｙ∈Ｒ ,ｘ ｙ =1 ,ｎ >0 ,λ >0 ,求1ｘ     

分式求值的代入技巧

代入法是数学中一种非常重要的解题方法 ,解题时 ,若能根据题设条件和求值式的特点 ,灵活运用代入法 ,则可巧妙地求出问题的解 .一、整体代入例 1　若ｘ - 1ｘ=1,则ｘ3 - 1ｘ3 的值为 (　　 ) .(Ａ) 3　 (Ｂ) 4　 (Ｃ) 5　 (Ｄ) 6(2 0 0 0年湖北省初中数学竞赛试题 )　解　∵　ｘ- 1ｘ =1,∴　ｘ3 - 1ｘ3 =ｘ - 1ｘ ｘ2 +ｘ·1ｘ+1ｘ2=ｘ - 1ｘ ｘ - 1ｘ2 +3=1× (12 +3) =4.故选 (Ｂ) .例 2　已知 1ａ - 1ｂ =2 ,则2ａ -ａｂ - 2ｂａ - 3ａｂ -ｂ 的值为. (江苏省第十五届数学竞赛初二试题 )　解　由 1ａ - 1ｂ =2 ,得 1ｂ - 1ａ =- 2 .视…     

点击一元三次函数

近几年来 ,在高考和各级各类的模拟试题之中 .也常常出现一些有关一元三次函数的内容 .以一元三次函数为载体设计的这类情境新颖的试题 ,可考查学生在新情景中吸收信息、处理信息的能力和综合运用数学知识分析、解决问题的能力 .一、以三次函数为蓝本 ,考查数形结合例 1　已知函数 ｆ(ｘ) =ａｘ3+ｂｘ2 +ｃｘ+ｄ的图象 (如图 1 ) ,问ａ、ｂ、ｃ、ｄ中有为零的数吗 ?并确定非零数的符号 .分析　由图知ｘ1 <0 ,ｘ2 <0 ,ｘ3>0 ,ｘ1+ｘ3<0 ,ｘ2 +ｘ3>0 ,ｆ( 0 ) =ｄ <0 .设 ｆ(ｘ) =ａ(ｘ -ｘ1 ) (ｘ-ｘ2 ) (ｘ-ｘ3) .由 ｆ( 0 ) =-ａｘ1 ｘ2 ｘ…     

“不动点”问题的解题思路

纵观近年全国各省市高考数学模拟试题 ,“不动点”问题悄然兴起 .这类问题通常以“不动点”为载体 ,将函数、数列、不等式、方程、解析几何等知识有机地交汇在一起 ,因而极富思考性和挑战性 .下面笔者精选出 5道典型例题并予深刻剖析 ,旨在探索题型规律 ,揭示解题方法 .例 1　对于任意定义在区间Ｄ上的函数ｆ(ｘ) ,若实数ｘ0 ∈Ｄ满足ｆ(ｘ0 ) =ｘ0 ,则称ｘ0 为函数 ｆ(ｘ)在Ｄ上的一个不动点 .(1)求函数ｆ(ｘ) =2ｘ + 1ｘ -2在 (0 ,+∞ ) 上的不动点 ;(2 )若函数ｆ(ｘ) =2ｘ + 1ｘ +ａ在 (0 ,+∞ )上没有不动点 ,求ａ的取值范围 .分析与解…     

二项式定理的四大热点考试题型

二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一 ,本文总结出了近年高考中的四大热点题型 ,供参考 .一、通项运用型凡涉及到展开式的项及其系数等问题 ,常是先写出其通项公式Ｔｒ 1=Ｃｒｎａｎ-ｒｂｒ,然后再据题意进行求解 ,有时需建立方程才能得以解决 .例 1　 (2 0 0 1年上海春招试题 )二项式 (ｘ 1ｘ) 6 的展开式中常数项的值为 .解 :展开式的通项为Ｔｒ 1=Ｃｒ6 ｘ6 -ｒ(1ｘ) ｒ=Ｃｒ6 ｘ6 - 2ｒ,由题意知 6 - 2ｒ=0 ,即ｒ =3,故展开式中常数项的值为Ｃ36 =2 0 .例 2　 (1999年上海高考题 )在 (ｘ3 2ｘ2 ) 5展开式中 ,含ｘ5的项的系数为 .…     

基础、方法与能力并举

为了更好的发挥高考的指挥棒功能 ,在认真分析研讨 2 0 0 3年全国高考试题之余 ,结合我们教学实践的得与失 ,特提出以下建议 ,以供 2 0 0 4届高考数学复习备考参考 .1　全面抓基础落实2 0 0 3年高考数学试题 ,在继承和发扬前几年高考命题成果与经验的基础之上 ,进一步加大了改革创新的力度 ,得到了社会各界的强烈反响 .笔者认为 ,试题难度过大会导致区分度的减小 ,不利于高校选拔优秀人才 ,也体现不出“宽进严出”的高校改革思路 .因此 ,我们认为在“整体稳定”的政治、经济形势影响下 ,2 0 0 4年高考必会以“立足基础”为前提 ,适当降低试…     

应用方程思想解题分类例析

方程思想就是把表示变量间的关系的解析式看作方程 ,通过解方程或对方程的研究 ,使问题得到解决 .尤其是近年的高考试题明确以能力立意 ,侧重考查学生的数学思想方法 ,培养学生应用方程思想解题则显得更为重要 .由于应用方程思想解决的问题并非独立成块 ,它分散于高中数学的各个分支 ,因而必须寓方程思想解题于平时教学之中 .下面分类例析方程思想的作用 .1　函数问题中的方程思想由于方程或不等式与函数是互相联系的 ,在一定条件下它可以互相转化 ,因此函数问题为方程思想的应用提供了广阔的空间 .例 1　设函数ｆ(ｘ) =- 12 ｘ2 +ｘ+ａ(ａ…     

2001年高考理科压轴题发散探究

20 0 1年全国高考理工农医类的压轴题是一个典型的函数问题 ,对这一试题的解答没有特别之处 ,但笔者认为 ,发散探究这一试题却妙趣横生 .试题 :设ｆ(ｘ)是在定义Ｒ上的偶函数 ,其图像关于直线ｘ =1对称 ,对任意ｘ1 ,ｘ2 ∈0 ,12 ,都有ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 ) ·ｆ(ｘ2 ) ,且ｆ(1 ) =ａ>0 .(1 )求ｆ 12 及ｆ 14;(2 )证明ｆ(ｘ)是周期函数 ;(3)记ａｎ =ｆ2ｎ 12ｎ ,求ｌｉｍｎ→∞(ｌｎａｎ) .下面对该题进行发散探究 .一、题设与结论的分析1 .题设分析本题题设包括 :(1 )函数的奇偶性 ;(2 )函数的对称性 ;(3)某区间上的函数模型及确定该函…     

满足多个条件的存在性问题例析

纵观近年全国高考试题和各省市高考模拟试题,满足多个条件的存在性问题频频出现.它们构思精巧,新颖别致,极富思考性和挑战性,充当着“把关题”的重要角色,具有很好的区分和选拔功能,因而是考查学生数学素养和能力的极好素材,值得认真研究.下面精选出几道典型例题并予以解析,供同学们参考.例1　已知ｆ(ｘ)=ｌｏｇ3ｘ2+ａｘ+ｂｘ2+ｃｘ+1,请问是否存在实数ａ、ｂ、ｃ(-2<ｃ<0),使ｆ(ｘ)同时满足下列三个条件:①是定义域为Ｒ的奇函数;②在[1,+∞)上是减函数,在(0,1]上是增函数;③最大值是1.若存在,求出ａ、ｂ、ｃ;若不存在,请说明理由.解:假设…     

函数方程解法种种——从2001年全国高考数学压轴题谈起

今年全国高考数学最后一题〔理 (2 2 )题〕是 :设ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的偶函数 ,其图像关于直线ｘ=1对称 ,对任意ｘ1 ,ｘ2 ∈ 0 ,12 ,都有ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 )·ｆ(ｘ2 ) ,且ｆ(1 ) =ａ>0 .(Ⅰ )求ｆ 12 及ｆ 14;(Ⅱ )证明ｆ(ｘ)是周期函数 ;(Ⅲ )记ａｎ =ｆ 2ｎ 12ｎ ,求ｌｉｍｎ→∞(ｌｎａｎ) .这是一道涉及“函数方程”———含有未知函数的等式的试题〔见题中条件ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 ) ×ｆ(ｘ2 )〕 .此类题目在近些年全国高考中尚不多见 ,但在各类竞赛中却屡见不鲜 .寻求函数方程的解或证明函数方程无解叫做解函数方程 .下面…     

例谈数学竞赛中的求值问题

求值问题是初中数学竞赛的热点试题 ,它对参赛者提出了较高的要求 ,除要求学生具有灵活的应变能力外 ,还需掌握一定的数学思想和方法及一些常用的解题技巧 .下面以历年全国初中数学联赛试题为例 ,谈谈常用的一些解题方法 .1　构造方程法例 1　 (1999年试题 )设实数ｓ、ｔ分别满足 19ｓ2 99ｓ 1=0 ,ｔ2 99ｔ 19=0 ,并且ｓｔ≠ 1,求ｓｔ 4ｓ 1ｔ 的值 .分析　由ｔ2 99ｔ 19=0 ,知ｔ≠ 0 ,于是有19(1ｔ) 2 99ｔ 1=0 .又由ｓｔ≠ 1知ｓ、1ｔ 是方程19ｘ2 99ｘ 1=0的两个不相等的实根 ,于是有ｓ 1ｔ =- 9919,　ｓ· 1ｔ =119…     

构造平面向理 巧解最值问题

最值问题是数学奥林匹克中的热门试题 .它技巧性强 ,难度大 ,解法活 .本文利用高中数学新教材中新增的重要内容———平面向量 ,巧解一类最值问题 .1　求不等式恒成立时的参数最值例 1　 (1992年上海市高三数学竞赛试题 )若正数使不等式 :ｘ +ｙ≤ａｘ +ｙ对一切正数ｘ、ｙ成立 ,则ａ的最小可能值是＿＿＿＿＿ .解　构造向量 ａ =(ｘ ,ｙ) , ｂ=(1,1) .由 ｜ ａ· ｂ｜≤｜ ａ｜｜ ｂ｜ ,得　　ｘ+ ｙ≤ 2 · ｘ+ｙ.当且仅当 ａ与 ｂ同向 ,即ｘ =ｙ时 ,等号成立故ａ的最小可能值是 2 .例 2　 (2 0 0 0年第 11届“希望杯”全国数学邀请赛高…     

高考数学选择题解法例析

高考数学试卷分客观试题和主观试题两部分,其中客观试题所占分值的比例为40%.客观试题即选择题也分难、中、易三个档次,其解法灵活,多以计算加判断的方式解决,主要考查学生整体把握知识的能力以及从多角度、多层次分析问题和解决问题的能力.解选择题除基本的计算加判断以外,还多采用数形结合、特殊值法、代入验证、分类排除等技巧和方法,现举例如下.例1　(2001年高考题)若定义在区间(-1,0)内的函数ｆ(ｘ)=ｌｏｇ2ａ(ｘ+1)满足ｆ(ｘ)>0,则ａ的取值范围是(　　).Ａ.0,12　　Ｂ.0,12　　Ｃ.12,+∞　　Ｄ.(0,+∞)解法1:(直接法)　由ｆ(ｘ)>0,得…