求体积的七种方法

求体积是立体几何的难点,也是高考考查的重点.因此有必要专题剖析.一、公式法基本几何体(柱、锥、台、球)都有体积公式,求他     

用运动变化的观点看几何体的构造——谈“球的体积”教学中难点的处理

运用祖暅原理推导球的体积是立体几何中教学的难点. 教材为了减少教学的难度省略了半球参照体构造的思维过程. 如何构造半球的参照体呢?这一直是同行们探讨的一个问题. 不少文章对半球参照体的构造进行了一些探索,但大多是从宏观上对"体"进行"猜想、演示、实验、验证"等来完成的. 本文想用运动变化的观点来谈谈如何抓住"面"的特征来突破"体"的构造这一难点.     

和算与中算求球体积方法的演进及比较

对球体积公式的证明一直是中日两国古代数学家所共同关注的问题.和算中的球体积证明方法承接性较好,通过几代人的工作得出球体积公式,中算家却是用几种不同的方法证明了球体积公式.     

巧用等效法妙解浮力题

例题某同学在研究物体浮沉条件时,将一个空心金属球放入一个足够大的盛满水的容器中.当球静止时,露出水面的体积是它体积的1/3;将球空心部分注入5×10-5m3的水时,球恰好悬浮在水中,球内水的体积是球空心部分体积的2/3;将球空心部分注满水,球沉入容器底.取g=10N/kg,求:     

用运动变化的观点看几何体的构造——谈“球的体积”教学中难点的处理

运用祖日恒原理推导球的体积是立体几何中教学的难点.教材为了减少教学的难度省略了半球参照体构造的思维过程.如何构造半球的参照体呢?这一直是同行们探讨的一个问题.不少文章对半球参照体的构造进行了一些探索,但大多是从宏观上对“体”进行“猜想、演示、实验、验证”等来完成的.本文想用运动变化的观点来谈谈如何抓住“面”的特征来突破“体”的构造这一难点.1考察截面置半球的底面于平面α面内,用平行于平面α的平面β去截半球则得到图1的一个截面,随着平面β依次由下而上平移,截面圆的面积逐渐变小,由πR2变为0.设截面到平面α的距离…     

多面体的外接(内切)球半径的求法举要

<正>求三视图还原而成的几何体的外接(内切)球的表面积或体积的问题在2016届各地的高考模拟题中大量出现,这是高考的重点,也是学生学习的难点.困难表现在两个方面:一是根据三视图如何准确还原几何体;二是依据画出的几何体的特征如何采用适当的方法求外接(内切)球的半径.现就此类问题的常见求法举例分析如下.     

用极限推导球体积公式(高一、高二)

在立体几何中,证明球体积公式V=4/3πr3时,用的是祖暅原理.我联想球表面积的证明方法,用极限思想证明球体积公式. 证明取上半球为研究对象,大圆在平面α上,O为球心,A在球面上,且AO⊥α,AO=r.以AO所在直     

两个“三棱锥”猜想的提出、证明及应用

已知棱锥的底面面积、各侧面面积和体积,怎样求它的内切球（如果存在）和外接球（如果存在）的半径是一个难点．对这些问题,学生容易困惑．本文对这些问题进行探讨,供参考．     

两个“三棱锥”猜想的提出、证明及应用

<正>已知棱锥的底面面积、各侧面面积和体积,怎样求它的内切球(如果存在)和外接球(如果存在)的半径是一个难点.对这些问题,学生容易困惑.本文对这些问题进行探讨,供参考.平面几何中的任意三角形存在唯一的内切圆和外接圆.根据类比思想,得到下面的两个结论.结论1任意三棱锥存在唯一的内切球.结论2任意三棱锥存在唯一的外接球.     

密度问题的几种解法

一、假设法例1某铜球的体积为8 cm~3,质量是26.7 g,问此铜球是空心的还是实心的?分析求出同体积的实心铜球的质量m宴,再跟题中已知的铜球质量m_球相比较,若m_实=m_球,则球是实心的;m_实>m_球,则球是空心的.解假设铜球是实心的,则铜球的质量m_实=ρ_铜V_球=8.9 g/cm~3×8 cm~3=71.2 g.因为m_实>m_球,所以铜球是空心的.二、列方程组法例2有一件铜、金两种金属做成的工艺品,体积是0.9 dm~3,质量是10 kg,求这件工艺品中铜、金的质量各是多少?分析工艺品的质量是铜、金的质量之和,工艺品的体积是铜、金的体积之和.     

有关球的考点

球是立体几何中重要的几何体,是高考中的必考内容.球在高考中基本上以客观题的形式出现,考查方式比较灵活,主要涉及到球的截面、球面距离、球的表面积、球的体积以及球的切接问题等.     

从定义出发,体现数学思想与方法的探究课——对课例“球的体积和表面积”的点评

课例“球的体积和表面积”是一节从定义出发,体现数学思想与方法的探究课,也是一节公式推导课,展现了公式课教学的一般过程,突出了本节课的重点内容,化解了难点.文章着重介绍本课例的一些教学特点和改进建议.     

“球的体积”一节教学设计

1.实验——观察——发现组织学生分组实验,探索球的体积是它的外切圆柱的体积的几分之几,用水或沙子进行。通过实验,学生发现:球的体积大约是它的外切圆柱体积的三分之二。 2. 假设——猜想设 V_c=2/3V_c,而 V_c=πR~2.2R (V_c为球的体积,V_3为球的外切圆柱的体积,R为球的半径)猜想球的体积计算公式是V_c=4/3πR~3。进行实验的目的就是要得到这一猜想。     

踏破铁鞋无觅处 锁定球心有方法

<正>近年来,与多面体相关的外接球的表面积或体积问题频繁出现在高考试卷中,风头正劲,其难点在于确定球心的位置,学生普遍对这类问题信心不足,本文结合实例,全面介绍确定球心的方法,希望对大家的学习有所借鉴.1球心为长方体对角线的中点例1如图1,在正三棱锥S-ABC中,M是SC的中点,且AM⊥SB,底面边长AB=槡2 2,则正三棱     

多面体外接球问题的解法策略探究

关于多面体外接球的表面积、体积的计算问题成为这几年高考题型中的一个热点和难点问题,也是很多考生最为头疼的问题,往往感到无从下手。而解决这一问题的难点就在于正确找出球心,算出球的半径。本文通过对近年高考试题的大量研究,以及连续多年高三一线的教学经验,就这一问题总结一些自己的经验,希望能使广大在高三苦战的莘莘学子拨云见日。     

利用电脑辅助 攻克教学难点——关于《球的表面积》的教学设计

《球的表面积》和《球的体积》都是高中立体几何教学中的一个难点，同时也是增强学生创新意识、发展创新思维、学习掌握新的教学思想方法，培养分析问题和解决问题能力的极好教材。作为教师决不可因“难”而心生畏惧，轻而视之，在教学中，或偏离目的，或降低要求。     

中西未合璧 异曲仍同工

正求复杂几何体的体积问题一直是数学中的一个难点.如果所求几何体是柱、锥、台、球中的一种或与之相关的组合在一起的几何体,我们可利用公式解决.如果公式解决不了时,就需要另辟蹊径,这里从理论上介绍两条途径:中国的祖暅原理、西方的微积分.一、什么是祖暅原理南北朝时代南朝的数学家祖暅求球体积时,使用一个原理:"幂势既同,则积不容异"."幂"是截面积,"势"是立体的高.意思是两个同高的立体,如在等高处的截面积恒相等,则体     

有内切球的旋转体的两条性质

设Q为旋转体(圆柱、圆台、圆锥、球缺),且存在内切球,则 (1)Q体积与表面积数值相等时,内切球半径为3,反之亦然. (2)Q体积与表面积数值相等时,内切球体积与表面积数值相等,反之亦然.     

祖暅原理与一类几何体的体积

高中《立体几何》课本中、构造了从圆柱中挖去同底等高的圆锥这一可求体积的几何体,利用祖（日恒）原理,求出了球的体积.球是圆锥曲线旋转体中特殊的一种,利用祖（日恒）原理同样可以推导出椭圆、抛物线、双曲线绕对称轴旋转所得几何体（以下简称椭球体、抛物体、双曲体）的体积.     

直击多面体的外接球的球心及半径

近年来,与球有关的问题经常出现在各地高考题中,而且难度比较大,大多数放在选择题和填空题的压轴位置"常见的题型是求多面体的外接球的体积或者表面积"它是立体几何中的一个重点与难点,也是高考考查的一个热点,考查同学们的空间想象能力及化归能力。研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,解决这类问题的关键是抓住球心到多面体的顶点的距离等于外接球的半径这一特征。