自然数有多少——走进无穷

在数学学习中,同学们常常会遇到"无穷"这个概念。比如,自然数有多少?答案是无穷多个。整数有多少?答案也是无穷多个。设想一个人一生不做其他事,专心从数字1开始数自然数,无论他的寿命有多长,工作多么勤奋,他都不可能把自然数数完。     

关于■的无穷多个■次方的学习证明

在求2~(1/2)的无穷多个2~(1/2)次方时,发现用简单初等数学方法无法推广到所有自然数,这说明初等数学方法求解存有漏洞,本文采用导数方法对这一类问题给出严密的解法。结论是对任何自然数M>1,■的无穷多个■次方是存在的,但它不等于M,而等于■这个方程中有且仅有二实根中的左根,而~(1/2)的无穷多个~(1/2)次方作为本文的一个特例,确实等于2。     

关于无穷大量的无穷乘积与无穷和

通过几个实例说明了无穷多个无穷大量的乘积以及无穷多个无穷大量的和不一定是无穷大量.     

自主探索合作交流—“无穷递缩等比数列求和”教学设计

1教学总体设想“无穷递缩等比数列求和”是在学生学习了数列及数列的极限等知识的基础上提出来的.它与数列、方程、函数和极限等知识有内在     

集合论悖论与辩证逻辑

从辩证逻辑视角出发，对无穷集合论的基本思想、认识论背景、悖论表现形式、矛盾消除方案及悖论实质作了系统的评述。指出无穷集合既是最大的集合(即实无穷集合成完全的集合)，又不是最大的集合，而是潜无穷集合或不完全的集合。其辩证本质即在于此。     

数列求和的常用方法

数列求和是数列中的一种重要题型,是高考常考的内容之一．下面介绍几种数列求和的常用方法供大家复习时参考．一、直接法如果给定的数列是一个特殊数列,可直接应用等差数列、等比数列求和公式或自然数的平方和及无穷等比数列求和公式等求和的方法．     

利用函数定义解数列题

现行课本指出,一个无穷数列可以看作定义在自然数集合上的函数。这种思想方法可以应用在一类特殊数列的求前n项和或其通项公式上,我们首先引进几个命题,得出统一的方法和步骤,然后举例说明应用此法解题的方便和巧妙。     

无定义的实无穷概念是第三次数学危机的真正根源

从新构建的基础理论学的角度，以全新的基础理论学的方法，讨论同时存在于现有集合论中两种性质上截然不同的“无穷集合”概念：潜无穷式的与实无穷式的无穷集合．指出现有集合论中通常所使用的“无穷”概念极端的模糊不清，其直接的后果就是：一方面混淆了原来的“有穷”概念，另一方面使人们无法理解与解析数学中与“无穷”相关的许多数量形式的性质，因此导致许多错误的数学行为．集合论基础理论中这个致命缺陷是导致第三次数学危机的最根本原因．得出明确的结论：迄今为止，所有与无穷小、无穷大相关的问题与悖论在现存的含有潜无穷与实无穷概念的无穷理论体系中是不可解的，只有对现有的“无穷”概念进行修正，构建新的“有穷-无穷”理论体系及相关的数量体系才是构建健康的无穷集合论的唯一途径．     

基于APOS理论的无穷级数概念认知分析

文章利用APOS理论研究了学生关于“无穷级数是部分和数列”这一概念的认知建构程度.结果显示,绝大部分的学生对无穷级数概念的认知处在一个中低层面上,这一研究结果没有达到教育者所期望学生该达到的认知建构水平.最后对无穷级数概念认知建构的困难进行了分析,并有针对性地对教学提出了一些建议.     

浅谈数列中的“定义域”误区——读二文有感

从函数观点看，无穷数列{an}就是定义在正整数集N^＋上的一个函数．而函数的首要性质是它的定义域，给出数列的一般方法是递推公式．所以，学习数列首当其冲的是对确定无穷数列{an}的递推公式的定义域的深刻理解和把握．不然，陷入“定义域”误区还自以为然．     

无穷乘积形式的递推数列极限的一个注记

通过对无穷乘积形式的递推数列的极限问题的探讨,从无穷乘积的角度给出了这种类型的极限的求法。     

新构建的无穷理论体系与经典无穷理论体系之间的本质性区别

用全新的基础理论学的方法，深入揭示、分析了经典无穷理论体系（无穷观）中所存在的三个本质性缺陷，进一步介绍了新构建的无穷理论体系的特点，得到明确的结论：1）人类沿用了几千年的经典无穷理论体系不管从宏观或微观的角度都无法真正从质上与量上描述与认识客观世界中存在的无穷事物；2）现有人类知识大厦中所有与“无穷”、“无穷小”、“无穷大”概念相关的悖论与难题在经典无穷理论体系中是不可解的．     

无穷积分的比值判别法及其推论

借助数列的单调有界定理 ,利用正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界 ,将正项级数的D’Alembert判别法推广到无穷积分     

一类无穷数列的通项公式

现行中学数学教材中涉及到这样一类无穷数列: 若α为无理数,将α依次精确到个位,十分位,百分位,千分位,……的不足(或过剩)近似值所构成的数列. 例如,按以上精确度依次取π的不足近似值所得的无穷数列为 3,3.1,3.14,3.141,3.1415,…… 在教学中,我们常听有些教师称这样的数列不存在通项公式.有的数学书刊也以上述数列作为找不出通项公式的数列的示例. 这里,我们仅用大家熟知的函数{X}(表示     

二分之一等于零吗

大数学家欧拉这天很兴奋,因为他终于求出了这个无穷数列的和.问题是这样的:求无穷数列an=(-1)n+1的和.欧拉的解法是:设和为S=a1+a2+…+an+…     

一类无穷数列的通项公式

在人教社高中数学新教材 (试验修订本·必修 )第一册 (上 )《数列》一章的开头 ,就提到如下无穷数列 :2的精确到 1,0 .1,0 .0 1,0 .0 0 1,…的不足近似值构成的数列1,1.4 ,1.4 1,1.4 14 ,… .实际上 ,像这样的数列在中学数学教学中经常遇到 ,可以统一归结为以下一类无穷数列 :若α为无理数 ,将α依次精确到个位 ,十分位 ,百分位 ,千分位 ,…的不足 (或过剩 )近似值构成的数列 {ｕｎ} .在教学中 ,我们常听到有的教师称这样的数列不存在通项公式 .有的数学书刊也以上述数列作为找不出通项公式的数列的示例 .其实 ,我们仅用大家熟知的函数 {ｘ}…     

无穷递降法的应用

无穷递降法是费尔玛为证明不定方程x4 y4=z4无正整数解而创立的一种数学方法,无穷递降法大多用在不定方程解的讨论方面,本文通过几个例子阐述了无穷递降法在其它方面的应用     

第46届IMO两道试题另解

题1 设a1，a2，…是整数序列，其中有无穷多项为正整数，也有无穷多项为负整数．假设对每个正整数n，数a1，a2，…，an被n除的余数都各不相同．证明：在数列a1，a2，…中，每个整数都刚好出现一次．     

无理数集与实数集的一一对应解析式

本文讨论了上的全体无理数所成集合与之间的一一对应解析式,由此得到有关无穷集合的一些结论;并利用结论讨论了全体无理数集合与实数集合的一一对应解析式。     

无穷区间上可积函数列逐项积分的条件

指出无穷区间上一致收敛的函数列未必可逐项积分，并给出无穷区间上可积函数列可逐项积分的一个充分条件。