一道竞赛题的又一解法

1987年全国初中数学联赛试题中,有这样一道题: 已知:实数a、b、c满足a+b+c=0,abc=8,那么1/a+1/b+1/c的值( )     

一道竞赛题的推广

在2000年全国奥林匹克数学竞赛预赛试题中有这样一道题：设a,b,c分别是△ABC的三边的长且a/b=a+b/a+b+c,则它的内角∠A、∠B的关系是（ ）     

重视和发掘习题的潜功能

正(数学(高二上册))达标训练二填空题第一题是这样的:已知a,b,c是△ABC的三条边,比较大小(a+b+c)24(ab+bc+ca).这道题的解答可以用特殊值法.取a=b=c=1,得(a+b+c)2=9,4(ab+bc+ca)=12,所以(a+b+c)24(ab+bc+ca).将这道题稍微变形,就是全日制普通高级中学教科书(实验修订本·必修)数学第二册(上)第31页B组题的第6题:设a,b,c为△ABC的三边,求证:a2+b2+c22(ab+bc+ca).这道题的解法紧紧围绕三角形的边的特征,依据不同的思维,不同的入口结合不等式证明的不同方法,可以得到不同的证法.并且依据已经证明的结论,还可以进行引申.     

一道奥赛题与一个数学问题的一脉相承

<正>赛题(第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题以下简称"赛题")已知ΔABC的三边长为a,b,c且满足a+b+c=3,求f(a,b,c)=a2+b2+c2+4/3abc的最小值.问题(《数学通报》问题1830以下简称"问题")已知a,b,c>0,且a+b+c=2,证明     

一道高考题的联想

2005年全国数学高考题中有这样一题： 若a=ln2/2、b=ln3/3、c=ln5/5则（ ） （A）a〈b〈c （B）c〈b〈a （C）c〈a〈b （D）b〈a〈c     

一道课本习题的探究

全日制普通高级中学教科书《数学》第一册(上)第136页的第7题是:已知a2,b2,c2成等差数列(公差不为0),求证:b+1c,c+1a,a+1b也成等差数列.此题的证明并不难,我们感兴趣的是该问题的逆命题成立吗?笔者发现:命题若b+1c,c+1a,a+1b成等差数列,则a2,b2,c2也成等差数列.证明由b+1c,c+1a,a+1b成等差数列可得b+1c+a+1b=c+2a,因此(a+b)(a+c)+(b+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),即a2+c2=2b2.所以a2,b2,c2成等差数列.于是,我们有:定理1设a,b,c∈(0,+∞),则a2,b2,c2成等差数列的充要条件是b+1c,c+1a,1a+b成等差数列.波利亚在《怎样解题》一书中这样写道:当你发现了一…     

几道课本习题的推广及应用

新版高中数学教材第二册 (上 )有这样几道习题 .第 1 1页习题 6 .2第 1题 ,求证 :(a + b2 ) 2 ≤ a2 + b22 可以改写成 a2 + b2 ≥(a + b) 22 .第 1 6页习题 6 .3第 1 (2 )题 ,求证 :a2 + b2+ c2≥ ab+ bc+ ca可以变形为 :3 (a2 + b2 +c2 )≥ a2 + b2 + c2 + 2 (ab+ bc+ ca) ,所以 a2+ b2 + c2≥ (a + b+ c) 23 .第 3 1页第 5题 ,求证 :3 (1 + a2 + a4 )≥ (1+ a + a2 ) 2 ,则是上题的一个特例 .由此 ,我们可以推广之 ,得 :定理 :ai∈ R,i =1 ,2 ,… ,n,则当 n≥ 2时∑ni=1a2i ≥(∑ni=1ai) 2n (1 )证明 :用数学归纳法n =2时 ,a21+ a22 ≥ …     

《数学教学》两个数学问题的简证与加强

文[1]给出了《数学教学》2011年第2期数学问题与解答中第814题和第815题的解答,其证明过程较为繁琐且具有技巧性,笔者在此给出其较为简单的证明,并对第814题进行加强,给出其上确界.第814题:设a、b、c、d>0,且a+b+c+d=1,求证:a/1+a+b/1+b+c/1+c+d/1+d<1/1+abcd.……(1)     

一道伊朗数学奥林匹克试题的拓展

正2002年第20届伊朗数学奥林匹克竞赛第三轮有这样一道代数不等式试题:题已知a,b,c∈R+,且满足a2+b2+c2+abc=4,求证:a+b+c≤3.安振平老师在文[1]中通过代数变形与三元均值不等式给出了一种代数证法;之后在文[2]中运用抽屉原理又给出了一个令人拍案叫绝的简证;张俊老师在文[3]中利用三角代换给出了该赛题的另一绝妙证法,并很好的揭示了该不等式的渊源.文[1]中由条件a2+b2+c2+abc=4出发,得到一系列有趣     

把握整体,灵活解题

在解决有些问题的过程中,我们往往不知不觉地把注意力集中在一个局部上,甚至被一些假象迷惑,因而迷失了解题的方向,如能全面地观察、分析整体与局部、整体与结构的关系,则可把握问题的实质,灵活解题,现介绍几种方法如下:一、整体代入例1 巳知a、b、c为不等于零的实数,且a+b+c=0,则a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)的值为__.(1999年山东省初中数学赛题)解:求值式=a+b+c/a+a+b+c/b+a+b+c/c-3=-3二、整体换元例 2 已知实数a、b满足a2+ab+b2=1,求a2-ab+b2的取值范围.(1998年黄冈市初中赛题)解:设a2-ab+b2=t,由a2+ab+b2=1,得     

一道数学奥林匹克训练题的推广

<正>1原题再现《中等数学》2015年第7期数学奥林匹克高中训练题加试第二题是一道不等式证明题,题目如下:设正实数a、b、c、d满足a+b+c+d=1.证明a/a²+1≤16/17,其中"Σ"表示轮换对     

提高思维能力是解题教学关键

一、要善于转换例1已知a+b+c=1/a+1/b+1/c=1,求证:a,b,c中至少有一个等于1.分析结论没有用数学式子表示,很难直接证明,思维受阻.若能转换语言表达形式,即换一种方法,首先将结论用数学式子表示,转化成我们熟悉的形式.a,b,c中至少有一个等于1,也就是说a-1,b-1,c-1中至少有一个等于零,这样,问题     

一道陈省身杯竞赛题的推广解答

第三届陈省身杯数学奥林匹克第6题: 已知实数a,b,c＞1,且a+b+c =9,试证明:√ab+bc+ca≤√a+√b+√c. 贵刊2014年第12期文“对一道奥林匹克数学竞赛试题的证明及思考”中,把这个不等式加强为:正实数a,b,c≥k,且a+b+c=9,试证明:√ab+bc+ca≤√a+√b+√c该文验证了k=1/2的正确性,但是文末指出最小的k值如何求解呢?笔者试图找出最小的k值.     

一道不等式竞赛题的初等证明

题 已知a＞1,b＞1,c＞1,且a+b+c=9,试证:√a+√b+√c≥√bc+ca+ab(1)(第三届全国大学生数学竞赛预赛题) 这是一道大学生竞赛题,参考解答应用导数给出了她的证明.在数学竞赛辅导中本入向同学们推崇了如下优美的初等证法,现提出来与大家共享.     

解析以a+b+c=0为条件的求值题

<正>在初中数学中经常会遇到一类以a+b+c=0为条件的代数求值题,本文举例加以解析,以期使读者了解此类问题的解题思路.例1已知abc≠0,且a+b+c=0     

一个不等式结论的再推广

题1:设a>1,b>1,求证:a2/b-1+b2/a-1≥8.(第26届独联体数学奥林匹克竞赛题) 题2:已知实数a>1,b>1,c>1.求证:a3/b2-1+b3/c2-1+c3/a2-1≥9(√3)/2.当且仅当a=b=c时,等号成立(<数学通报>2000年第11期数学问题解答1284).     

我发现了一类填数规律

我们的数学课本上有这样一道思考题:把1,3,5,7,9,11,13填进摇摇摇里的7个空中,使每个圆圈里的四个数的和都相等。仔细观察摇摇摇这个图形,发现a空最关键,因为它是三个圆共有的,所以必须首先填出a空里的数。开始我是顺着下面思路去思考的:因为三个圆的总和为(a+b+c+f)+(a+b+d+e)+(a+c+d+g)=(a+b+c+d+e+f+g)+(b+c+d)+2a=1+3+5+7+9+11+13+b+c+d+2a=49+b+c+d+2a,又因为题目要求每个圆圈里的四个数的和都必须相等,所以49+b+c+d+2a的和一定是3的倍数。在1,3,5,7,9,11,13中挑4个数分别作为a、b、c、d的值,使49+b+c+d+2a的值能被3整除,那这道题就可…     

对一道不等式问题的推广的补充与证明

文[1]给出了数学奥林匹克司题高229题:"已知a,b,c∈R+,abc=1,求证:1/a+1/b+1/c+3/a+b+c≥4"的简证后,又将之推广为:"已知a,b,c∈R_+,abc=1,0<λ<9/2,则1/a+1/b+1/c+λ/a+b+c≥3+λ/3"·笔者探究发现,该推广对λ=9/2也成立,而且从λ=9/2入手证明之更加简便.现介绍于后,以供参考.     

巧用a＋b＋c=0的移项变形

对于某些与条件等式a+b+c=0有关的求值问题,巧用它的移项变形a+b=c,或b+c=-a,或c+a=-b,可找到很好的求值途径. 例1(1995年广州等五市初一数学竞赛试题)已知a+b+c=c,a2+b2+c2=1,那么a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=     

2014年日本数学奥林匹克不等式试题的推广

已知a/1+9bc+k(b-c)2+b/1+9ca+k(c-a)2+c/1+9ab+k(a-b)2 ≥1/2①,对满足a+b+c=1的所有非负实数a,b,c都成立,求实数k的最大值. 这是2014年日本数学奥林匹克高中决赛第5题,在式①中,令a=b=1/2,c=0,可得k≤4.关于该题的解答,可参考文[1],此处笔者拟给出式①的一个推广.