有奖解题擂台(9)

设l是经过点A且平行于△ABC的边 BC的直线,D、E分别是 AC、AB上的点,连BD并延长交l于B_1,连CE并延长交 l于 C_l,BD、CE交于点 P.若 B_1D=C_lE,那么(1)当点P在△ABC的边BC的高上时,△ABC为等腰三角形;(2)当点P在∠BAC平分线上时,△ABC为等腰三角形.(注 第一位给出该命项直接证法者得奖全50元.奖由供题人设立)     

中考数学探索型试题例析

探索型试题可归纳为条件探索型、结论探索型、存在性探索型等三种类型。要解决此类问题,必须要求同学们能综合运用观察、分析、类比、分类、转译、化归等方法以及数形结合的数学方法,来达到问题的解决。下面举例说明各类问题的解法。一、条件探索型图1例1如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°;∠A<∠B,CM是斜边AB的中线,将△ACM沿直线CM折叠,点A落在点D处,如果CD恰好与AB垂直,那么∠A等于度。解析:在Rt△ABC中,CM是中线可知CM=12AB,即CM=AM,因此∠A=∠ACM1又由于将△ACM沿直线CM折叠,点A落在D处,CD⊥AB1可知:∠DCM=∠ACM=…     

“变”字当关,乐在其中——一道中考题的拓展思考

(2006·辽宁锦州)点P是△ABC中AB边上的一点,过P作直线(不与直线AB重合) 截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线最多有____条. 解析:画任意△ABC(三边互不相等,无直角),如图. 若以∠A为公共角,可画△APE～△ABC,△APF∽△ACB; 若以∠B为公共角,可画△BPG～△BAC,△BPH～△BCA; 所以满足题目条件的直线最多有4条. 拓展变式: 特殊化思考:如果△ABC是特殊三角形呢?     

从一道新颖的中考试题谈起

<正>一、试题呈现今年的无锡市中考试题中出现了一道比较新颖的几何试题:例1如图1,已知∠XOY=60°,点A在边OX上,OA=2,过点A作AC⊥OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC.点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PD∥OY交OX于点D,作PE∥OX交OY于点E.设OD=a,OE=     

一道中考模拟题的命制意图及考后收获

<正>笔者在2014年九年级数学一模考试中命制了这样一道试题:如图a,已知直线l1∥l2∥l3,且l1,l2之间的距离为1,l2,l3之间的距离为2,点A、C分别在直线l2,l1上,(1)利用尺规作出以AC为底的等腰△ABC,使得点B落在直线l3上(保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中得到的△ABC为等腰直角三角形,求AC的长;     

对一道美国国家队选拔考试题的探究

题目 已知不等边锐角△ ABC的外接圆为⊙O,T为直线BC上一点,且满足∠TAO=90°.以AT为直径的圆与△BOC的外接圆交于A1、A2两点,OA1＜OA2.类似定义点B1、B2、C1、C2.证明: (1)AA1、BB1、CC1三线共点; (2)AA2、BB2、CC2三线共点,且该点在△ ABC的欧拉线上.[1] (...     

警惕"陷阱"题

一、认真审题,发现陷阱例1在△ABC中,高BD、CE所在直线交于点O,若△ABC不是直角三角形,且∠A=60°,则∠BOC=().     

关于Brocard和的上下界估计

若点P是△ABC内一点,且∠PAB=∠PBC=∠PCA,则称P为Brocard点。 设P是△ABC的Brocard点,点P到各顶点的距离之和为l(以下称为Brocard和)。     

一道竞赛题的推广

第七届“给云杯”数学邀请赛试题六:“在已知△ABC内求作一点O,使凡和茄凡别c:s△仰A二1:3:4.”该题参考答案为:作法:1.在△A刀C的BC边上取两点 我们不妨从工出发考虑: 从工的①可知,只要BD:DC=l::(D在BC上),则过A、D直线上的任一点0都满足条件①,为了求得满足②的点O,我们先看     

点对称三角形的性质及其应用

P为三角形ABC内一点,点P关于△ABC的边AB、BC、CA的对称点分别为P_1、P_2、P_3,我们称△P_1P_2P_3为点对称三角形(如图1).将点对称△P_1P_2P_3与原△ABC结合起来研究,可以得到下面有趣的性质. 性质1 P_1P_2=PB(2(1-cos2B)(1/2)); P_2P_3=PC(2(1-cos2C)(1/2)); P_3P_1=PA(2(1-cos2A)(1/2)). 性质2 ∠P_1P_2P_3=∠BPC-∠A; ∠P_2P_3P_1=∠CPA-∠B; ∠P_3P_1P_2=∠APB-∠C     

突破半角问题

半角问题是旋转思想的一种完美展示,下面我们把初一所学的半角问题中的经典题目归纳梳理,以期抛砖引玉例1在等边三角形ABC的两边AB,AC所在直线上分别有M,N两点,点D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=CD.探究:当点M,N分别在直线AB,A C上移动时,BM,NC,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边三角形ABC的周长L的关系.     

擂台题(9)的评注

擂台题(9)设l是经过点A且平行于△ABC的边BC的直线,D、E分别是AC、AB上的点,连BD并延长交l于B_1,连CE并延长交l于C_1,BD、CE交于P.若B_1D=C_1E,那么(1)当点P在△ABC的边BC的高上时,△ABC为等腰三角形;     

三角形内等斜角三角形及其性质

已知△ABC,∠A、∠B、∠C所对的三条边分别记作a、b、c。今从三顶点A、B、C分别引对边的斜线AA_1、BB_1、CC_1,使得在保持同一顺序之下,有∠AA_1C=∠BB_1A=∠CC_1B=θ。则由三斜线AA_1、BB_1、CC_1相交所得的三角形△HJK称为原三角形△ABC的等斜角三角形。(图1) 定理1 设△HJK是△ABC的等斜角三角形,S_(△HJK)与S_(△ABC)分别表示△HJK与△ABC的面积,则有     

平面图形及其位置关系单元检测题(二)

一、选择题1.下列说法中,正确的是().A.过一点能作已知直线的一条平行线B.过一点能作已知直线的一条垂线C.射线AB的端点是A和BD.点可以用一个大写字母表示,也可用小写字母表示2.如图1,直线a、b相交于点O,若∠1等于40°,则∠2等于().A.50°B.60°C.140°D.160°3.如图2,△ABC中,     

相似三角形的一个基本图形及其应用

如图1，△ABC中，点D为AB上一点（异于A、B两点），连接CD，此时，图中共有三个三角形．其特征：△ACD和△CBD分别与原三角形ABC有一条公共边（AC和BC），一个公共角（∠4与∠B）；三条边AD、BD、AB均在一条直线上．在这里我们把它们称为“共角共边”三角形．[第一段]     

多边形的内角和与外角和的应用

<正>例题呈现例1如图1,一张三角形ABC纸片,点D,E分别是△ABC两边上的点.研究(1)：如果沿直线DE折叠,使点A落在CE上的点A′处,则∠BDA′与∠A的数量关系为_____.研究(2)：折成如图2所示的形状,猜想∠BDA′,∠CEA′和∠A的数量关系.研究(3)：折成如图3所示的形状,猜想∠BDA′,∠CEA′和∠A的数量关系是什么,并说明理由.     

巧用圆的一个几何性质,速解一类立体几何题

我们知道:在圆中一条弦(在弦的同侧)所对的圆周角大于圆外角.本文将利用这个性质先证明一个定理,再举例说明该定理的应用.图1定理如图1,若PA⊥平面ABC,则∠BAC>∠BPC.证明作△ABC外接圆,又因为BP>BA,CP>CA,所以若将△PBC翻折到与△ABC共面,则A点在圆上,P点必在圆外,且A点、P点在弦BC的同侧.由圆的性质可知:∠BAC为圆周角,∠BPC为圆外角,且这两个角都在弦BC的同侧,故∠BAC>∠BPC.下面举例说明该定理的应用.图2图3例题如图2所示,A是△BCD所在平面外一点,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,E是BD的中点.(1)求证:平面AEC⊥平…     

另解一道中国国家集训队选拔考试题

题目如图1,在锐角△ABC中,已知∠A〉60°,H为△ABC的垂心,点M、N分别在边AB、AC上,∠HMB=∠HNC=60°,O为△HMN的外心,点D与A在直线BC的同侧,     

正射影下角与射影角的大小关系探究

有这样一道立体几何题:已知∠B AC的两边与平面M相交于B、C两点,∠B AC所在的平面与平面M斜交,点A在平面M内的射影为A1且A1、B、C不共线,试比较∠B AC与∠B A1C的大小.此题中两个角的大小关系与△ABC的形状有关(或者说直线AB、AC与平面M所成的角有关),还与△ABC与平面M所成的角     

对一道经典题目的教学思考

<正>在初中数学教学生涯中,相信大部分数学老师都会遇到下面的这个题目:(1)如图1,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O.求证:∠BOC=90°+1/2∠A;(2)如图2,△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点P.