圆中常用的辅助线

在解决与圆有关的问题时，常常需要添加辅助线，下面加以归纳，供同学们学习参考． 一、作半径，构造等腰三角形 在圆中涉及角的计算或证明角相等时，常常作半径，利用两条半径相等构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质来寻找解题途径．     

初中数学同圆或等圆问题的解答

<正>初中数学中,同圆或等圆问题是一种常见的题型．解决同圆或等圆问题的关键是利用“半径相等”,主要涉及圆的性质和相关定理的运用,重点考查同学们对圆的认识和理解能力．这类问题通常要求同学们判断两个或多个圆是否为同圆或等圆,并给出相应的证明或解释．一、在同圆或等圆中求角的度数例1如图1,已知⊙O的直径为AB,弦为CD,AB,CD的延长线相交于点E,若DE=■AB,∠E=18°,求∠AOC的度数．解析:本题利用“同圆的半径相等”的性质构造等腰三角形,然后利用三角形的边角关系进行计算求解．我们可以连接OD,圆心与圆周上任意一点的连线就是半径,同圆或等圆中所有的半径都是相等的,圆上的任意两点和圆心组成的三角形都是等腰三角形,所以连接半径,构造等腰三角形是解答圆中角的度数的常用方法．     

圆中作半径的方法例析

半径是圆中常见的线段,它有一些重要的特征或性质:如半径的一个端点是圆心,另一个端点在圆上;在同圆或等圆中,半径相等;半径等于直径的一半;切线垂直于过切点的半径等.这些特征、性质对解决有关圆的问题很有帮助.现本文举例说明圆中作半径的常用方法.一、连弦端点,作半径,构造等腰三角形例1(天津市中考题     

巧作辅助线 判定圆切线

<正>直线与圆位置关系的判定是初中数学的重点内容之一.笔者观察近几年中考试卷,发现涉及圆的切线性质与判定成了热点问题,本文将解决这类问题的常用方法总结如下,供大家参考.一、利用切线定义,作垂直,证半径过圆心作直线的垂线,若能证明圆心到直线的距离(垂线段长)等于该圆的半径,则直线就是圆的切线.例1如图1,ABC为等腰三角形,AB=AC,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切     

构造辅助圆,架起探求中考综合题的桥梁简

在解一些中考综合题时,常会遇到一些用常规方法较难解决的问题.这时,如果构造适当的图形来给以辅助,往往能促使问题转化,从而简捷地解决问题.本文以2013年的中考试题为例,例举构造出与题目相关的辅助圆将原问题转化为与圆有关的问题加以解决,与读者共享.一、构造辅助圆,探究坐标系中等腰三角形的个数例1（2013山东莱芜）在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为（1,3~（1/2））,M为坐标轴上一点,且使得△MOA为等腰三角形,     

构造等腰三角形解题的五种途径

等腰三角形是一类特殊的三角形,它的性质和判定在几何证明和计算中有着广泛的应用.有些几何图形中不存在等腰三角形,可根据已知条件和图形特征,通过添加适当的辅助线,巧妙构造等腰三角形,然后利用等腰三角形的性质使问题获解.一、利用角平分线+平行线,构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线,我们可以通过作平行线构造等腰三角形.如图1,AD是△ABC的角平分线.     

“两圆一线确定等腰三角形”的研究

<正>“两圆一线确定等腰三角形”是指如果平面中有两个点A,B,分别以这两个点为圆心,以AB长为半径作圆,然后作线段AB的垂直平分线,此时在两个圆和垂直平分线上的点与A,B两点组成的图形是等腰三角形,如图1,同学们在解题时可以利用此思路．例1已知在矩形ABCD中,AB=4,BC=7,点E是AD上的一点,且AE=3,连接BE,点F是矩形边上的一点,如果△BEF是等腰三角形,求腰长．     

8.2 特殊的三角形

考测点导航 1.用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定来确定三角形中的边角关系; 2.通过等腰三角形的判定定理来证明在同一个三角形中的两条线段相等; 3.利用勾股定理进行计算等。     

例析与圆的半径有关的定值问题

在圆的一些问题中,当某些条件按一定规律在确定的范围内变化时,而圆内一些线段与圆的半径的关系却始终不变,我们称它为“定值”．本文将与圆的半径有关的线段定值问题进行归纳、整理,供同学们学习时参考．     

浅谈定角对动线段的最值问题

<正>近年来,定角对动线段的最值问题常出现在各地的考卷中.较常见的有两类:一类是已经有圆的,另一类是无圆的,无圆的可转化有圆的来解决.解题思路是,利用圆周角定理把定角转化为定圆心角,然后确定以这个定圆心角为顶角的等腰三角形底边与腰的数量关系.这样,就将所求动线段长的最值问题转化为求半径长的最值问题,从而使问题得到解决.下面举例说明.例1如图1,∠BAC=60°,半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切,P为⊙O上一动点,以P为圆心,PA长为半径的⊙P交射线     

圆中常用辅助线的添加方法

在解决圆中的有关问题时,常常添加辅助线,使分散的条件相对集中,让图形的性质充分显露出来,从而找出解决问题的途径。添加的方法主要有以下几种:一、遇到弦时,常作弦心距或垂直于弦的半径(或直径),再连接圆心和弦的端点作用:1.利用垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质;2.利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系。例1在半径为10cm的圆柱形油管内装入一些油后,截面如图1所示。若油面宽AB=16cm,则油的最大深度为     

等腰三角形问题中常见辅助线作法

正辅助线是数学几何解题的基本途径,三角形常用辅助线主要有以下几种:构造中介三角形法、二倍中线法、截长(补短)法、折半(加倍)法等.在等腰三角形中,我们常用的几种辅助线的作法及应用举例如下:一到等腰三角形,可作底边上的高(或作底边中线、顶角平分线),利用"三线合一"的性质解题,思维模式是全等变换中的"对折".二到等腰三角形,常延长一腰至等长,构造全等三角形解题(或过顶角作底边的垂线).     

一道课后习题的多种解法与思考

一道普通的课后习题,只要我们深入研究,往往会发现多种解法."已知⊙O外一点P,你能用尺规过点P作⊙O的切线吗?你有几种方法?"对于这道课后习题,我们可以利用直径所对的圆周角是直角作图;也可以利用等腰三角形的"三线合一"作图;可以通过构造全等的直角三角形作图:(1)利用圆中的条件构造全等的直角三角形;(2)借助圆外任意直角构造全等的直角三角形.以上解法,丰富多彩,细细品味,每一种解法都有它的独到之处.     

倍半角 构等腰

我们知道:等腰三角形顶角的外角等于底角的两倍.利用这个性质,在一类具有倍半关系的角的题目中,构造相关的等腰三角形常常能使问题获得简捷的解法.     

浅议辅助圆试题的编制与专题课构建

<正>一、问题提出圆作为初中数学的重难点内容,历来都是中考考查的热点.除了有正面考察圆的试题,还有许多表面看来与圆毫无关系,实际上也隐含着圆的知识的试题,它们往往需要构造圆来辅助解题.辅助圆常常在寻找构成定长定角、直角三角形(两线一圆模型)、等腰三角形(两圆一线模型)的点时发挥重要作用.近几年广州中考在圆的考查中也涉及到了构造辅助圆的思想方法,较典型的有2012及2014年的压轴题,常规中又具创新.笔者尝试以中考真题为素材,编制一道试题,进而构建一节辅助圆解题的专题课,让学生能掌握构造辅助圆解决定长定角、直角三角形、等腰三角形等常见问题.     

直角三角形解法浅析

直角三角形的边角关系在实际问题中有着广泛的应用,是近几年来中考的必考内容.解决这类问题的关键在于发现或构造出直角三角形,以便利用直角三角形的边角关系使问题顺利得到解决．下面举例分析解这类问题常用的方法．     

构造等腰三角形解题的五种途径

等腰三角形是一类特殊的三角形,它的性质和判定在几何证明和计算中有着广泛的应用.有些几何图形中不存在等腰三角形,可根据已知条件和图形特征,通过添加适当的辅助线,巧妙构造等腰三角形,然后利用等腰三角形的性质使问题获解.一、利用角平分线+平行线,构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线,我们可     

等腰三角形一个性质的运用

容易证明,等腰三角形具有如下性质: 等腰三角形顶角的外角等于底角的两倍. 在解决角的倍半关系问题时,构造等腰三角形,利用上述性质非常有效,现举几例予以说明:     

正弦定理的变形及其应用

在△ABC中，正弦定理可以写成：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为外接圆半径），这个关系不仅揭示了三角形的边角关系，而且也表明了圆中的弦和所张圆周角之间的关系，因此利用正弦定理，我们既可以解三角形，又可以将三角形中边的关系及角的关系相互转化来证明几何问题。为了实现快速转化，请大家一定要熟练掌握正弦定理的如下变换形式：     

构造等腰三角形证题

等腰三角形是初中几何中的重要内容之一．借助等腰三角形的判定和性质．我们可以很方便地解决不少问题．当题目中没有明确给出等腰三角形时．我们可以通过作辅助线构造等腰三角形来解决问题．下面举例说明如何作辅助线构造等腰三角形．