美国数学竞赛题和解答

第四届(1975年) 1.(a)敲明 〔5刘弓一〔5川坏13洲一刃十〔3夕 刘,这里、,夕二0.其中「“〕表示不大于“的最大整数(例如〔丫丁]二1). (乙)利用(召)或不利用(a),敲明 (5,,2)乞(sn)1 而,:万汉不石呼一。)汉3,千石乃。’对任何正整数。,n均为整数。征(a)实际上我仍可以征明〔5刘十〔5夕〕)〔3、十y〕 厂3夕十劣〕详一〔万了 厅」 (1)祀了一二一〔刘,犷一,一[列,’那么O泛二‘<1,o《,‘(1. [5、〕 !5夕〕一[5[二] 5、,」 [5[y〕 5夕,〕 一5 tx}」一!5二‘〕 51,〕十15,‘〕, 〔3、十夕〕一于〔3夕斗一二〕 「劣〕 「夕〕 二3〔x} 〔y] 13.、‘ …     

数学奥林匹克高中训练题(1)

第试(C)f(3).(D)f(6).二、填空题(本题满分30分,每小题5 ‘_.__.__。、,,__,,~,__分)一、选弹越(不题满分3U分,母小赳b分)1.不等式-共二+ 了1+x芯1一x乙1十xZ>O的解集是1.函数y一试于五+丫飞亏二毛牙的值域是 ). (A)〔1,2〕。(B)(O,2〕. (e)(o,产厂丁〕.(D)以上都不对. 2·已知边长为。的菱形ABCD,匕,一晋·将菱形ABCD沿对角线折成二面角8,已知夕任 2‘已知空间三个平面a刀尽产y,召在a与7之间,“与月的距离为4a,夕与了的距离为Za,又边长为9a的正三角形ABC,A在平面a内,刀在平面月内,C在平面y内,AC交平面月于D.则△ABC所在平面与…     

高中解析几何能力训练

一、选择题(l)已知定点A(一l,2)、B(2,一3),P(x刁)是直②椭圆的准线方程是x一士a 1了a一2线,。上一{一1 Zx③椭圆的离心率是腐一3一2 Zy 3那么尸分有向线段BA所成的定比等于()(A,2(B,一2‘C,合(D,一合(2)PI(x;,少,)、PZ(x:,夕2)是倾斜角为8叨笋o,0笋粤)的直线上的两个点,设d一}Pl尸2},则乙(A)d-(B)d~(C)d=}xl十x:} leos夕llxl一x:} l:in夕l(D)d=}yl y:} Icos夕I!yl一y:} }sin夕l (3)直线x十yco刃一1一。(0任R)的倾斜角a的取值范围是()‘A,‘奇,音!)(C’(于,晋,U‘晋,譬‘B,〔令,寻;r〕(D,仁合,二,交) 〔4)圆xZ 少一4x 6y一。和…     

李代数~(Sl)(2,c)表示的一个注记

设五=对(2,C),它的根空间分解为L代数,La=C二,L一a=Cy,满足 〔戈,夕〕二几,〔h,戈〕=2戈,〔几,夕〕二H子La小乙一a,其中万二Ck为L的Carta”子=一Zy。设厂是m+l维不可约L一模,。。为厂的极大权向量,令儿一汁夕k一‘“一。,‘,一’,。贝(}。。,v.,…,。m是F的一组基,并且戈。、=(。一k+1)v卜:,yv、=(k+1),:十:,h口“(,一k+1)叭,存=0,1,…,。,,一:二。。千:二0。用数学归纳法容易证明 命题1 1)〔人,劣〕=Zn缺“ 2)〔h,夕)二一Zny” 3)〔劣,少”〕=”男”一‘h一粉(n一1)夕”一‘。 4)〔夕,灭”〕=一”男“一且h一n(”一1)义“一1 。。劣…     

武汉市高二数学竞赛试题

(1990年5月13日上午8:30—11:00)一、选择题(本题满分30分,每小题5分)1。给出如下的三个集合 k万,尸,、、:‘。,__。。八、。,以=气口I口一了,‘过‘I;‘v=气口!co万‘口=”I’厂二、口{“‘”‘以一‘f·则它们之间的关系是 (A)P二NcM.(C)PcN二肠.(D)P二万=M.x有公共点,则实数a的取宜范i一2 一一 y2.如果曲线C:: (B)PcN仁M.(x一a)’+2夕,=2与曲线C::围是(A)‘任〔了丁,井〕(C)a〔〔一了丁,斗〕(B)。。(一、二,号,.(D)a〔〔一侧丁,侧丁〕. 3.已知子(x)二8+Zx一xZ,g(x)二f(2一xZ),则g(尤) (A)在区间(一1,0)上是减函数.(B)在区间(…     

第33届 IMO 预选题解答(下)

12.解法1.对f(x)的次数作归纳. 首先,如果f的次数严格小于g的次数,那么f(工)一f(y)的次数严格小于g(x)一g(y)的次数.但g(x)一g(刃能整除了(x)一f(y),因此,f(x)二f(y),因而f为常数,所求之多项式h显氛、‘了在. 下设f的次数不小于g的次数.于是, f(x)=口(x)g(x)+r(x),其中:(x)的次数小于g(x)的次数,且 g(x)g(x)一g(夕)g勿)十r(二少一r(少) ~f(二)一f(y) 一a(工,夕)〔g(x)一g(夕)〕.从而r(x)一r(.y) ~t,(x,夕)g(x)+w(x,夕)g(y),其中,v(x,y)=a(x,y)一q(x), w(x,夕)~夕(少)一a(x,夕).将v(x,y)写成如下形式: .(x,y)一b(x,y)g(y)+‘(之,y),其中,‘(x…     

三角函数能力训练

一、选择题1.函数y一4‘。之二斗4‘。二一2的值域是((A)〔一2,6〕,(B)〔一3,6〕(C)〔一2,4〕(D)〔3,8〕下列函数中,哪一个既是区间(。,粤)上的增函 ‘┌───┐│一2火 │└───┘数,又是以二为周期的偶函数((A)y一尹(C)夕=cosZ呈(B)少二】sinx(D)y~e“凡J3.已知:a、月均为锐角,p=cosa·cos口,、一。052掣那么尸,Q的大小关系是( 乙‘A)尸Q(D)P)Q 4·tg“和tg‘于一“,是方程,XZ p了 、一。的两根,则P、q之间的关系是() (A)P一叮十l=0(B)P 叮 1=o (C)P 叮一l=0(D)P一夕一l一O 5.设a、刀是锐角三角形的两个内…     

1986年合肥市高中数学竞赛试题和解答

第试 一、选择题:(每小题5分,不选给1分) 1.等差数列{a。}的a:=3,a:。。=36,则a:+a。。等于(C), (A)36,(B)38,(C)39,(D)42。 2。设f(x)二xZ+x一z,A={。}1《n(200,n是整数,B={夕!夕=f(n),n〔A},jll.lJ集合Bn{2爪}m是整数}的元素的个数是(A),(A)100,(B)51,(C)36-(D)以上都不对。 f(。)二n么+n一2二(n+2)(n一1)丫(。+2)一(n一z)=3.,.f(n)必是偶数,又。。姜n时,f(m)羌f(n) 3.设a、日是两个平行平面,从a内取5点,从日内取4点,以这些点为顶点确定三棱锥,则这些三棱锥的最多个数是(i〕) (A)60,(B)80,(C)90- (D)120。 〔’考C二+C孟C幸+C孟…     

第37届美国高级中学数学考试试题及解答

1。〔:一(夕一习〕一〔(A)z夕;(B)2:;(C)一2夕; 2.:,平面上有直线少一(x一妇一习二(D)一22;(E)0若直线翟掣 乍一 十 劣 一23l的斜孚是它的斜率的一半,z在今轴上的截距是它在妇山上截距的两倍,则z的方程是 1气)夕=几二x一卜6; O‘B,,二告二+2;(C)y二·+‘;(D,;二告‘十‘;、E),一粤:+:. O 3.如图,△遭BC的匕C为直角,又乙A。=ZG“,若BD是匕ABC的平分线,则匕BDC二 (A)4C。;(B)45“; (C)SG“;(D)55“; (E)60“. (A)28时;(B)2‘口寸;(C)30时; (D)31时;(E)32时. 7.小于或等于劣的最大整数与大于或等于x的最小整数的和是5,则x的解…     

错在哪里

一、浙江丽水中学胡进新来稿题:已知且二!(一,)1{戈二seeoy“tgo’。(”<2“}刀二{(:,,)!二一5/3>二,,。尺},的双曲线弧(如图) (x,夕)〔D,:.一2(戈《一1, 一了丁(夕(了丁故2一了丁(少一2x C={(x,夕)!夕空(3(x 3)},当(二,妇任D=A自B自C时,求y一2x的最小俄。馨4 丫补称 因此,y一Zx的最小值是2一侧丁。 解答也是铃的,错在哪里?解答一由!苏暮0知“是双曲线,由二一5/3>二解得。<二<1错在:1。{一2(戈《一1一丫丁(夕(、/丁劣2一夕艺=1 故知A日B=小,因此本题无解。 解答是错的,错在哪里?错在万5/3>丫的解不是0<“<1,由幂函数性质可知,x一劝>:的…     

关于复合函数的极限

求复合函数的极限,常用其连续性定理。 定理一 若u=g(x)在x_0连续,且u_0=g(x_0);y=f(u)在u_0连续,则复合函数y=f〔g(x)〕在x_0连续。即 lim f〔g(x)〕=f〔g(x_0〕=f〔 lim g(x_0)〕,于是,在f(u)和g(x)都连续的条件下,可利用交换极限号lim和函数号f,求复合函数f〔g(x)〕的极限,如     

05年全国初中数学竞赛试题(初三)

一、选择题 1.如图1,有一块矩形纸片ABCD,A刀一8, 八D=6.将纸片折登,使得八1〕边落在AB边上, 折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与 仪二的交点为F,则△〔卫F的面积为() 离分别为OA、(沼,且满足 〔处3〔)A 2一_二,,‘,, 一了,则m的位宁丁—· 。.D。 口)一“骂{ L B 一…了” 图1 (A)2.(B)4.(C)6. 2.若M=sx,一8却 9夕2 13(x,y是实数),则M的值一定是( (D)8. 一4x 6, ) (A)正数.(B)负数.(C)零.(D)整数. 3.已知点I是锐角三角形ABC的内心, A,,Bl,C,分别是点I关于边BC,〔姚,月刀的对 称点.若点B在△AIB:C;的外接圆上,则 匕…     

一九八八年辽宁省高等师范院校招生考试数学试题(理工类)

一、选择题(本题满分30分,共10个小题,每小题3分) (1)若二任R,P二{(x,一3x一1)+(xZ一sx一6)i,2,1},口二{109‘64,一3},当P门Q={3〕时,则x的值为() (A)6或一1;(B)一1; (C)4或一1;(D)4或6。 (2)下列公式中不正确的是()(遵)。。S夕Sina=告〔55,1(刀+a〕+sin(a一幻〕;(幻eos夕eosa二专〔eos(夕+a)+eos(夕一叮)〕,(C)Sin尽eosa二专〔sin(吞+a)一sin(口一a)〕,(D)Sin夕s呈na二专〔eos(夕+a)一eos(a一夕)〕。 (3)一个大球球面面积是小球球面面积的26倍,那么大球体积是小球体积的() (月)5倍;(B)25倍;(C)125倍; (D)625倍。 (4)当0<日<二/2时,…     

1985年上海市初中数学竞赛试题

12月8日8:30一10:30一、选择题(共30分。每小题只有一个答案正确。答对得6分,不答得1分,答错得0分) 1。设二次方程护+Px+q=0的两根为p、q,则Pq的值是〔〕 (A)0。(B)一2。(C)0或一2。(D)非上述答案. 2.x,,一,,z+z,x一x,:+,,x、z’,一Zx,:因式分解后的结果是〔〕 (A)(封一z)(x+封)(x一之)。(B)(,一之)(x一万)(x+之)。 (C)(夕+z)(x一g)(x+2)。(D)(夕+之)(x+夕)(x一之)。 s。已知只有一个x的值满足方程(x一1‘’a)x,+(3+lga)x+2二o,则实数a等于〔〕 (A)x/粼而。(B)10。(C)1/10,‘D)非上述答案. 4。设n为自然数且,)4。又设凸,边形中出现锐…     

四川音乐学院 一九九三年招生附中高一 视唱练耳试题

A·口试部分:一、音高听辨模唱(任选一组,限二遍) 〔包括旋律音程、分解和弦、多音模唱及和声音程与和弦。〔固定唱名加5分’,模唱不加分)〕二、a1节奏模仿:(任选一组,限三次)一牛,听、印j,卜J,口},{娜号一,行,勺】夕,刁,明},帅,甲!尹J (5分)n〔8分).......、、、b:一之件犷1 4,护,刀土万月,勺}J之}(月卜田月}明,,日},甲声!} 3!了2一4 八/.︸川左甘四川音乐学院 一九九三年招生附中高一 视唱练耳试题~~     

三角函数检测题

一、选择题(5分x 22=60分) 1.若8是一个锐角,且sin28=a,slJ sin夕+eos夕二 (A)了a十l~、.a,~、.石耳不万叼土话拜示L切士一~,万一-(B)(C)(D)2.若(了月百一1)a+1丫万干丁一了石砚二石丫1一aZ 8.如果f(x+的二f(x),且f(一x)-f(x),则满足条件的f(x)只能是 (A)sinZx(B)eosx (C)sin:x!(D)卜anxl 9.要得到函数y一sinx一cosx的图象,可以把函数y一sinx+cosx的图象向右平移 ,打。、,二.。、了万~,_eos吸二一一口)eos L.丁十口)=一二一LU<{ 任生b,‘、3汀,。、,。、汀,~、厅L八夕下尸LO夕兀气七)二丁L曰少气一 ‘乙任“<晋,,则sin28~夸鱼。 、,…     

幂函数的巴兑逼近

设二与n是非负整数,对在x。的邻域内定义的函数,厂(x),若P二(x)一习a,x ,一0q,(x)二习b,x’钾0满足1 im 二一xop,(x)一f(x夕q。(x夕一一牙二丁一不落一U 气再一Xoj’(k二0,1,…,次+n(1)(2)则说P二(x)/ q.(x)二〔。/n〕(x)是f(x)在点x。的巴兑(pad。‘)逼近.巴兑逼近的所有元素构成一个东面和南面可以无限延伸的方阵,其第一行元素〔仇/o〕(x)就是f(x)在x。的戴劳(T四101)级数第二部分和,所以巴兑逼近是戴劳展开的自然拓广.不难证明,当f(x)的幂级数系数{C,}(对护<0令C,一。)对一切非负整数召,,都满足dot(C.+;一,) 幂函数。“.,‘,一:笋0,…     

关于达到最小距离的点对数

一、引言 对于平面上n个点组成的集合 F。={P。}‘止、,令D二maxP‘p,,d二min尸‘P,, M。={(p‘,p,);p‘p,二D,p‘,p, 任F。}, 二。={(P‘,P,);P‘P,=d,P‘,P, 任F。},}M,}、}二。!表示集合M二、二二的元素个数. 关于}M二},即n点组成集合F。的直径条数,已有结论〔1〕:IM。!簇:,且确有尤个点使{M。}二n. 本文讨论!m,、!,即达到最小距离的点对数,得到!从,1《3,},n;!(5,},n。}成7,1,n6!镇9,{m,1提12,!。2。}(24,!m。}蕊26,)二,。}(19,而且上述上界不能改进,即确有点集,使等号成立.对于n妻9,我们证明: !M。I成3n一11. 二、几个引理 对…     

无限区间上ХЛОДОВСКИЙ算子的局部渐近估计

1937年,苏联H。H。X月O月OBCKHn曾经考虑别里斯津多项式算子的一种变形,使之可用以逼近半实轴上的一类无界连续函数。 设b。==o(。)(,,co),6。t+oo,p。。(二)二C饭X,(l一x)“一‘,称。·〔,‘“一,,命〕一三。,(牢),一(责)川为X月O旦OBCKH认算子,文〔1〕第三章怪2中证明了以下两个结论。定理1,:设b。二o(,)(,一co),f(二)在半实轴〔o,。)上有界,则在函数f(x)的下f:一连续点戈处,有定理2”11!n;LmOO。。〔,(。·,,,沂〕一了‘二);设b。二o(。)(。,oo),M(b。)==护I名Q劣0《二《b。}f(二)},且对每个。>0,有-今C洲,M(6。)·。xP《一。…     

复合函数教学札记二则

一、复合函数夕二扛卯(幻〕的定义域和 函数”二甲(幻的定义域之间的关系 例.设,=f(。)=19。,。任R+,。=甲(:)二成n才,劣任R.试讨论复合函数 夕二了〔甲(x)〕的定义域。 解:要使函数李二f(耐=19“有定义,须有‘>o,即sin:)o,就是:任(2无叮, (2无+1)叮),论任J- 因此,复合函数军=了〔甲(:)〕二lgsin:的定义域为:{:12无二<:<(2无+1)”, 无任J}。 而u=甲(幻=sin:的定义域为::任R. 由此可知:复合函数夕二了〔甲(幻〕与切(幻的定义域有可能不相同。 又如夕二f〔甲(幻〕=。‘一与甲(幻=‘“的定义域是相同的,都是劣任R。 可见,复合函数万二六甲(…