关于三角形的等圆点问题

设点P是△ABC内任一点，使△PAC，△PAB，△PBC内切圆半径均相等的点，称为△4BC的等圆点，有关杂志对这种“等圆点”问题作了研究，受此文启发，本文考虑使△PAC，△PAB，△PBC外接圆半径相等的点P的性质问题，得出以下结果：     

一道IMO平面几何题溯源

正原赛题如图1,△ABC为锐角三角形,AB≠AC.以BC为直径的圆分别交边AB和AC于点N和M.记BC的中点为O,∠BAC和∠MON的角平分线交于R.求证:△BNR的外接圆和△CMR的外接圆有一个公共点在BC边上.证明:如图1,连结MN、BM、CN,则∠BMC=∠CNB=90°.记BM与CN的交点为H(△ABC的垂心),即知A、M、H、N四点共圆(记为⊙O_3).设∠BAC的角平分线交BC于点W,则AW经过     

巧用圆的一个几何性质,速解一类立体几何题

我们知道:在圆中一条弦(在弦的同侧)所对的圆周角大于圆外角.本文将利用这个性质先证明一个定理,再举例说明该定理的应用.图1定理如图1,若PA⊥平面ABC,则∠BAC>∠BPC.证明作△ABC外接圆,又因为BP>BA,CP>CA,所以若将△PBC翻折到与△ABC共面,则A点在圆上,P点必在圆外,且A点、P点在弦BC的同侧.由圆的性质可知:∠BAC为圆周角,∠BPC为圆外角,且这两个角都在弦BC的同侧,故∠BAC>∠BPC.下面举例说明该定理的应用.图2图3例题如图2所示,A是△BCD所在平面外一点,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,E是BD的中点.(1)求证:平面AEC⊥平…     

构造正多边形解题的策略

正多边形不仅本身的内容丰富多采,而且在相当多的问题中可借助这些美丽图形得以顺利解决。其中的奥妙是无穷尽的,试看以下举例。1 构造正三角形 例1 如图1,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P为形内一点,∠PBC=10°,∠PCB=30°,求∠PAC的度数。 分析因为∠BAC=80°,要求∠PAC,必须求∠BAP,由已知可求∠ABC=∠ACD=50°,又∠PBC=10°,可求∠ABP=40°,现在只要求∠APB的度数或从直观上看是否有AB=BP,由此     

第42届IMO试题5的三角解法及一般结论

第42届IMO试题5为: 在△ABC中,AP平分∠BAC,交BC于P,BQ平分∠ABC,交CA于Q,已知∠BAC=60°,且AB+BP=AQ+QB.问△ABC的各角的度数的可能值是多少?     

“变”字当关,乐在其中——一道中考题的拓展思考

(2006·辽宁锦州)点P是△ABC中AB边上的一点,过P作直线(不与直线AB重合) 截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线最多有____条. 解析:画任意△ABC(三边互不相等,无直角),如图. 若以∠A为公共角,可画△APE～△ABC,△APF∽△ACB; 若以∠B为公共角,可画△BPG～△BAC,△BPH～△BCA; 所以满足题目条件的直线最多有4条. 拓展变式: 特殊化思考:如果△ABC是特殊三角形呢?     

第45届IMO试题解答

1 .已知△ABC为锐角三角形 ,AB≠AC ,以BC为直径的圆分别交边AB、AC于点M、N ,记BC的中点为O ,∠BAC的平分线和∠MON的平分线交于点R .求证 :△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在边BC上 .图 1证明 :(根据彭闽昱的解答改写 )如图 1,首先 ,证明A、M、R、N四点共圆 .因为△ABC为锐角三角形 ,故点M、N分别在线段AB、AC内 .在射线AR上取一点R1,使A、M、R1、N四点共圆 .因为AR1平分∠BAC ,故R1M =R1N .由OM =ON ,R1M =R1N知点R1在∠MON的平分线上 .而AB≠AC ,则∠MON的平分线与∠BAC的平分线不重合、不平…     

第47届IMO试题解答

1.设I为△ABC的内心,P是△ABC内部的一点,满足 　　∠PBA ∠PCA=∠PBC ∠PCB.……     

关于三角形垂心的探讨

三角形的重心、外心、内心的性质 ,大家都比较熟悉 ,但对于三角形垂心的性质未见介绍过 ,本人在教学中偶有发现 ,在此介绍并证明如下 ,供同行参考并指正。命题　三角形的重心到各顶点的距离与对应顶点内角余弦值的绝对值的比都相等 ,都等于三角形外接圆的直径。设△ABC的垂心为H ,外接圆的半径为R ,设A、图 1B、C为△ABC的三个内角 ,则HA|cosA|=HB|cosB|=HC|cosC|=2R。下面分三种情况证明 :( 1 )设△ABC为锐角三角形 (如图 1 ) ,作直径BD ,连结AD、DC ,则∠BDC =∠BAC①在Rt△BDC中 ,cos∠BDC =DCBD=DC2R ②又DA⊥AB(…     

1986年第2期问题

96.已知P是△ABO内的一点,△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的外接圆均相等,求证:P是△ABC的垂心. (湖北叶年新供题) 97.求方程甲硕~ 甲乡了二甲飞f的所有正整数解. (江苏戴俊琪供题) 98.正六边形ABCDE刃,的面积为Se,对角线AD上一点尸在三边AF、万百、ED上的射影分别是p,、p:、p:,试     

1999年中国数学奥林匹克

第一天 (1999年1月11日上午8:00～12:30) 一、在锐角△ABC中,∠C>∠B,点D是边BC上一点,使得∠ADB是钝角,H是△ABD的垂心,点F在△ABC内部且在△ABD的外接圆周上,求证点F是△ABC垂心的充分必要条件是:HD平行于CF且H在△ABC的外接圆周上。     

由一道习题得出一个重要结论

如图1,已知△ABC,P是边AB上的一点,连结CP,当△ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?图1分析:∵∠A=∠A∴当∠ACP=∠ABC时,△ACP∽△ABC·于是AACB=AACP=CPBC·注意比例式AACP=CPCB中的四条线段,其中AP与AC是△ACP的∠1与∠2的对边,PC与CB是△PBC的∠3与∠4的对边,而∠1=∠3,∠2 ∠     

对一道平面几何竞赛题的研究

1992年第九届全国初中联合竞赛试题第二试的第2小题是:题1如图1,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,且∠BAC=∠BED=2∠CED,求证:BD=2CD.这是一道较难的平面几何题,究其原因在于所给的条件不是很容易联系在一起,组委会所提供的证明方法借助于△ABC的外接圆,在对这个题目的证法研究中,我们意外地发现几个等价的等式.图1图2题2如图2,在钝角△ABC中,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,满足∠BAC=∠BED,     

数学奥林匹克问题

本期问题初341在Rt△ABC中,已知∠A=20°,∠B=90°,AD是∠BAC的平分线,点E在边AB上,联结CE、DE.若∠DCE=30°,求∠ADE的度数.初342如图1,⊙O是△ABC的外接圆,⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃分别与△ABC的边BC、CA、AB切于中点D、E、F,分别与⊙O切于点G、H、I,记⊙O、⊙O₁、     

第42届IMO第五题的推广

第 42届IMO第五题是 :在△ABC中 ,AP平分∠BAC ,交BC于P ,BQ平分∠ABC ,交CA于Q .已知∠BAC =60° ,且AB +BP =AQ +QB .问△ABC各角的度数的可能值是多少 ?先求解 ,再给出更一般的结论 .图 1解 :如图 1,在AB的延长线上取点D ,使得BD =BP ;在AQ的延长线上取点E ,使得QE =QB .连结PD、PE ,则AD =AB +BP =AQ +QB =AE ,且　△ADP∽△AEP .故∠AEP =∠ADP =12 ∠ABC =∠QBC ,即　∠QEP =∠QBP .下面的证明中要用到如下的引理 .引理　等腰△ABC中 ,AB =AC ,平面内一点P满足∠ABP =∠ACP ,则点P在BC的…     

一个例题的推论及其应用

由几何第二册P85例1知道,当AD是△ABC的高,AE是△ABC外接圆直径时(如图1),它除了有结论AB·AC=AE·AD外,还可以得到 ∠BAE=∠CAD 或∠BAD=∠CAE, 易证这个结论对任何三角形都成立。于是得:图1 推论 过圆内接三角形的一个顶点的高和直径,分别与过这个顶点的三角形两边所成的角相等.     

分类讨论思想在圆中的应用

在解与圆有关的问题时,常常要考虑多解的情况,否则就会漏解,为方便学生的学习,特别举几种情况加以说明。一、一弦对两角例1.⊙O是△ABC的外接圆,OD⊥BC于D,且∠BOD=48°,则∠BAC=。分析：由于没有提供图形,△ABC可能是锐角三角形,也有可能是钝角三角形,     

第42届IMO试题解答

1.设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC 30°。证明: ∠CAB ∠COP<90°。 证明:令α=∠CAB,β=∠ABC,γ=∠BCA,δ=∠COP。 设K、Q为点A、P关于BC的垂直平分线的对称点,R为△ABC的外接圆半径。则     

数学问题与解答：2007年第10期问题解答

716.如图1,D是△ABC内一点,且∠ADB -∠ACB=∠ADC-∠ABC,AE是∠BAC的平分线.求证:DE平分∠BDC.     

一个几何不等式的证明

刘健和胡屏在《数学通讯》1992年第10期上给出了如下一道带“*”号的征解问题: 设P为△ABC平面上任意一点;△PBC,△PCA,△PAB的外接圆半径分别为R_a,R_b,R_a,△ABC的外接圆半径和内切圆半径分别为R和r。证明或否定: