横看成岭侧成峰,远近高低各不同——一道题目的多种解法

题目经过点P(4,3)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,当△AOB的面积最小时,求直线l的方程.解法1:利用直线的点斜式方程.     

一类最值问题集萃

在近几年中考中,屡屡出现求最值的题目,其中一类题目蕴含的数学模型如下:基本数学模型:已知点A、B在直线l外,在l上求作一点C,使AC+BC最小.分类一如图,若点A,B在直线l的两侧,在l上求一点C,使得CA+CB最小.     

对一道课本典型例题的探究与思考

<正>一、问题呈现在学习不等式这一章内容时,苏教版(必修5)课本上安排了一道例题,题目如下:问题过点P(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,当ΔAOB的面积S最小时,求直线l的方程.本题是一道基本不等式和直线方程的交汇问题,主要意图为借助于求直线方程,以考查基本不等式的应用.基本不等式是不等式部分一个非常重要的内容,是高考必考知识     

一道解析几何习题的多种解法

题目 已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，O为坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程,这是一道典型的研究直线方程的问题，见于多种习题集,解题的关键是选择适当的变量，建立△AOB的面积函数，求出最小值，并根据△AOB面积取最小值的条件，确定直线l的相关元素，求出直线l的方程．而变量的选取有以下几种方法．     

关于一次和二次曲线以外的点的讨论

众所周知,平面直角坐标系中任何一个二元一次方程的图象是一条直线.该直线上所有的点(所表示的 x、y 值)都能使这个方程成立.如果将该直线以外(即直线两侧)的点代入这个方程,结果将怎样呢?我们规定,直线 l 的右侧的点是指 l 在 x 轴的正方向一侧平面上的点,而 l 的左侧的点是指 l 在 x 轴相反方向的一侧平面上的点.若 l 平行于 x 轴,则以 l 的上方(在 y 轴所指方     

深入探究 必有所得(高二、高三)

题过定点尸(2,3)作直线l,分别与x轴、y轴的正方向交于A、B两点,求使△AOB的面积最小时的直线方程. 经过求解,我的答案是 3x Zy一12- 若将尸点坐标改为(2,1)线是x Zy一4一0. 于是我猜想:O.,满足条件的直即m:a一n:b. 在一本参考书上有这么一道题: 已知直线x一y一O,x y一O,点尸(1,2).过点尸作直线l与这两条直线交于x轴上方的两点A、B.当S△AoB面积最小时,求直线l的方程. 如图1所示,直线l过定点尸(m,n),分别与x轴、y轴的正方向交于A(a,o),B(o,b)两点,当△AOB面积最小时, 书上给的参考答案很繁琐,下面我用上述结论和坐标变换来解: 如图2…     

“PA+k·PB”型线段和的最值问题

<正>动点问题是初中数学阶段的难点,它贯穿于整个初中数学,自数轴起始,至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值,函数的综合类题目等,其中尤以带系数的线段和的几何最值问题是近几年中考考查的热点更是难点.而带系数的线段和的几何最值问题最终可转化为"PA+k·PB"型的最值问题.本文就此类问题作归类探讨.此类问题的处理通常以动点P所在图象的不同来分类,一般分为两类问题.一类是点P在直线上运动,另一类是点P在圆上运动.一、当点P在直线上     

一道高考题的别解与推广

[题目] 如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于A,B两点.一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线l:y=-c交于点P,Q.     

无图无头绪 有图有真相——从一道中考压轴题谈起

<正>2019年安徽省中考数学第14题是一道客观题中的压轴题.从阅卷情况来看,学生对此题的作答很不理想.本文先详细分析学生在解题中的思维障碍,再探究本题的解题思路,供大家参考.一、真题再现题目在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点.若平移直线l,可以使点P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是___.本题涉及两个不确定解析式的动态图象与垂直于x轴的动直线的相交问题     

数列中的最值问题及其求法

<正>数列中的最值问题是高考和模拟考中的常考问题,这类试题主要有数列中的最值项问题和数列的前n项和最值问题两种题型.一、数列中的最值项问题数列是自变量取值为正整数的离散型函数,因此在求数列的最值项问题时,可先将问题转化为自变量取值不小于1的正实数的连续型函数来处理.这样便于运用导数工具来研究函数的单调性,进而对函数获得整体的把握,然后回到特殊情形即数列问题,从而求出数列的最值项.这是一种从特殊到一般,又     

函数零点的判断与应用

本文在研究近几年高考导数真题的基础上，将端点自变量的选择归纳为四种类型，即选择计算方便的自变量、使用极值点或其附近的自变量、利用不等式放缩寻找自变量、求极限等方法，并指出零点个数问题还可转化为函数图象与直线的交点个数问题，导函数的零点也可以用来判断函数的单调性及函数值的取值范围.     

把脉8大函数易错问题

函数是高中数学的重要知识,也是高考的重要考点.面对如此重要的内容,有些同学总会出现不该犯的错误.对此,本文特将8大函数易错问题归纳整理如下.易错点扫描1.函数具有"对一性",即一个自变量值有且只有一个函数值和它对应,即一条与x轴垂直的直线和函数图象最多只有一个交点.2.换元法求解析式和值域,要注意换元后参数的取值范围,求函数的     

点的距离之和(差)的最值问题

<正>解析几何中有一类题型是求解动点到两个定点(或动点)之间距离和或差的最值问题.遇到这类问题很多同学会摸不着头脑,本文将对这类问题进行梳理,以找到合适的求解方法.一、利用对称性求和的最小值例1已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),在直线上l求一点P,使     

利用不同知识分析同一条直线方程

题目过点A（1,4）作直线l,使它在x轴和y轴上的截距分别为0,b（a〉0,b〉0）,当a＋b最小时,求直线l的方程．     

用“切割法”比较函数值的大小

比较函数值大小的问题是近几年各地中考的热门考点,笔者认为“切割法”是解决此类问题较好的方法.所谓“切割法”,就是用垂直于x轴(或y轴)的直线(割线)切割同一直角坐标系的函数图象,通过比较割点(割线与函数图象的交点)的高低判断函数值的大小或确定自变量的取值范围,解决函数     

分类例析动点引发的最值问题

<正>由动点引发的最值问题是初中数学的常见题型.本文通过几道中考题,分类例析此类问题的求解策略,供大家参考.一、基于动点轨迹图形求解在几何中,由动点引发的最值问题,往往隐含着我们熟悉的若干个基本图形,因此,通过探究关键点的轨迹,可以明确问题的本质,使问题获解.这是处理此类最值问题较为常见的视角.例1 (2019年扬州中考题) 如图1,已知等边△ABC的边长为8,点P在AB边上,PB=6,直线l是经过点P的一条直线,将△ABC沿直线     

运用垂线段解决有关最值问题的研究

<正>当遇到下面的情况时可以运用作垂线段的方法求最值:第一,求点到直线距离的最小值;第二,求两条线段和的最值．主要涉及的题型如下:一、作垂线段求线段的最值作垂线段求线段的最值是指点到线段的最值,如点A是直线l外的定点,点B是直线l上的动点,     

简单线性规划的应用浅议

“简单线性规划”是高中数学新增内容,在高考中占有较重要的地位,考察线性规划的直接应用或间接应用,从近几年高考命题的情况分析,在高考复习中,有必要在教材内容的基础上,作出适当引申.其一是约束条件不限于一次不等式,可以是二元二次不等式或其它形式;其二是利用目标函数的几何意义解题,而且目标函数可以是非线性的.1联系直线在y轴或x轴上的截距解题例1已知实数x,y满足2│x-1│-y=0,求z=x+2y的最小值.解它的可行域的边界为一折线y=2│x-1│,目标函数z=x+2y的值就是直线x=-2y+z在x轴上的截距的值;令x+2y=0,它表示的直线为l,平移直线l到l′使l′过点M(1,0),此时,目标函数z取得最小值,zmin=1.例2已知实数x,y满足x2+y2=2x-2y+1≤0,求z=x-y-1的最大值和最小值.解它的可行域的边界是一个圆(x+1)2+(y-1)2≤1,(是非线性的可行域)目标函数z的值就是当直线y=x-z-1与可行域有公共点时,在y轴上截距的相反数再减1,因而截距最小时,z最大;截距最大时,z最小.图1令x-y=0,表示直线l:y=x.平移直线l到l′和l″,使l′和l″与圆(x+1)2+(y...     

一个最值问题引发的思考

以下是大家熟悉的一个传统解析几何题:题目已知直线l:y=4x和点R(6,4),在l上求一点Q,使直线RQ与l及x轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小.     

一道解析几何题的解法探究

题目 过点P（2，1）作直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，当｜PA｜&;#183;｜PB｜取得最小值时，求直线l的方程。