实数连续性等价性命题的证明

以戴德金分划说为基础来研究实数的连续性,对于实数连续性的九个等价性命题：确界定理、戴德金定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则以及Botsko定理,采用循环论证,从命题1出发,依次证明下一命题,最后由命题9证明命题1,从而组成一个环路,证明了它们的等价性。     

函数凹凸的等价定义与命题

根据微分学教材中函数凹凸的定义与定理,给出2个等价定义和3个等价命题,并试证明之.     

坎迪定理的有趣拓广

《坎迪定理的等价命题》[1]给出了平面几何中闻名数坛的蝴蝶定理的推广命题——坎迪定理的一个等价命题.认真研读,颇受启示.蝴蝶定理是初等几何的著名问题之一,是一颗璀璨夺目,熠熠闪烁的明珠.它像一只展翅腾飞的蝴蝶,以其美丽灵动的舞姿,吸引了众人的眼球,令人遐想,"为伊消得人憔悴".数学家、数学爱好者纷纷参与,围绕其探究的兴趣十分浓厚,诸多巧证、简证、推广屡见不鲜,坎迪(A.Kandy)定理的问世便是例证.受文[1]启发,本文将给出坎迪定理的几个有趣拓广,供读者参考.     

实数完备性定理的循环证明及其教学注记

本文论述了实数完备性定理在数学分析中的重要地位,给出了实数完备性定理七个命题等价性的一个较简洁的循环证明也提出了教学中的一些注记,对教学分析中实数完备性定理的教学有一定的参考价值.     

实数连续性的若干个等价命题

归纳罗列了反映实数连续性的十二个命题,并对其逻辑等价性给出一种比较简洁的证明。而且不加证明地给出了另外四个等价命题。这样我们就可以将十六个命题中的任一个命题作为实数的连续性公理(完备性公理),建立实数的公理体系。     

R~2上完备性定理的等价性

指出了有关实数完备性的六个基本定理中,只有四个可推广到平面R2上,并且证明了R2上四个完备性定理是相互等价的。     

海涅(Heine)定理的推广及其应用

给出了海涅定理条件减弱之后的等价命题.相应的海涅定理可表示为更强的形式.处理函数极限问题 时更加方便实用.     

用实数完备性证明闭区间上连续函数的有界性

用实数完备性定理（区间套定理、确界原理、单调有界定理、柯西收敛准则）,直接证明了闭区间上连续函数的有界性,从一侧面反映了实数完备性的6个基本定理是互相等价的。     

实数完备性六个等价命题的推广

在R^2上定义了极小上界、极大下界及单调点列,给出了极小上界、极大下界原理和单调有界定理．论证了极小上界、极大下界原理,单调有界定理,闭域套定理,有限覆盖定理,聚点定理,柯西收敛准则六个命题的等价性．最后将之推广到n维欧氏空间R^n上．     

凸函数与Lagrange中值定理的逆定理

本文运用凸函数的定义及其等价命题证明了Lagrange中值定理的逆定理。     

三元四次对称多项式的一个性质及其应用

本文给出了一个三元四次对称多项式恒不小于零的充分条件的加强命题,并给出这个加强命题的两个等价命题,最后用两道例题展示了这三个命题的应用.     

四色问题的一个等价命题

本文证明了一个四色问题的等价命题──四色方程存在全非零解。把四色问题归结为与图相关的齐次方程组（mod3）求解问题,为四色问题的研究提供了一条新的途径。     

Radon-Nikodym 性质和无条件基

在具有无条件基的Ｂａｎａｃｈ空间，下面三个命题等价：（１）Ｘ具有ＲＮＰ；（２）Ｘ具有ＫＭＰ；（３）ｃ０—→Ｘ     

与P＋3Q≥R等价的三角形不等式链

笔者曾建立“Ｐ—Ｑ—Ｒ”法，借以证明研究一类不等式，尤其是研究三角形不等式［１］［２］，张瑞蓉老师在研究该方法的基础上，得到了如下定理［３］： 本文提出与Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ等价的四个三角形不等式链：（Ⅱ）、（Ⅲ）、（Ⅳ）、（Ⅳ）． 定理１ａ，ｂ．ｃ为△ＡＢＣ三边，则注意到（ｂ＋ｃ—ａ）＝Ｐ—２Ｑ＋Ｒ，此时，定理 １不等式链（Ⅰ），又可写成为（Ⅱ）： 定理 ２在△ＡＢＣ中，有 ３（－Ｐ—２Ｑ＋Ｒ）≤－Ｐ＋Ｒ ≤（－ Ｐ＋ ６ Ｑ＋ Ｒ） ≤３Ｑ＜Ｐ＋６Ｑ—Ｒ，（Ⅱ） 显然，（Ⅱ）包含的 １０个不等式均可化为 Ｐ＋３Ｑ …     

逆否命题思想及应用

逆否命题是数学四种命题中重要的一个命题。在实际中应用＂逆否命题＂思想往往能开拓解题思路,简化运算过程。利用＂原命题与逆否命题等价（或逆命题与其否命题等价）＂,把那些从命题本身难以直接解答的数学问题转化成它们的逆否命题来考虑,往往可以使问题简化。本文主要阐述了逆否命题思想,并具体给出了逆否命题在数学分析、近世代数中的几个应用,旨在增强运用逆否命题的能力。     

四种命题和点的轨迹

一、知识要点1．四种命题的形式及其相互关系．2．点的轨迹的定义．3．六种基本轨迹二，4．轨迹作图．二、解题指导例1命题“若A成立，则B成立”的逆否命题是（）（常州市，1994年）（A）若B成立，则A成立；（B）若A不成立，则B不成立；（C）若B成立，则A不成立；（D）若B不成立，则A不成立．解（A）是原命题的逆命题，（B）是原命题的否命题，（C）不是原命题的逆否命题，故选（D）．例2下列定理中有过定理的是（）（A）全等三角形对应用相等；（B）对顶用相等；（C）平行四边形对角相等；（D）同弧或等弧所对的圆周角相等．解每…     

Euler定理的一个等价命题

Ｅｕｌｅｒ定理的一个等价命题马统一（甘肃煤炭工业技校７３０９１９）设△ＡＢＣ的外接圆、内切国半径分别为Ｒ、ｒ，其外心Ｏ到内心Ｉ的距离为ｄ．１７６５年，瑞士著名数学家欧拉（Ｅｕｌｅｒ）发现如下优美的结果［１］：ｄ２＝Ｒ２－２Ｒｒ①①式通常被称为Ｅｕｌｅ...     

关于凸函数的等价命题

文[1]、[2]中给出了凸函数的一般定义,讨论了不同条件下凸函数的一些基本性质及其判定定理。本文将在此基础上进一步地给出一般条件下凸函数的又一个等价命题及其若干简单应用。凸函数定义称函数 f(x)为区间Ⅰ上的凸函数。如果(?)x,y∈I,(?)λ∈(0,1)有(?)λx+(1—λ)y]≤λf(x)+((?)-λ)f(y)。在这个一般定义下,[1],[2]得到了凸函数的几个判定定理:定理1 下面几个命题等价:(1) f(x)为区间Ⅰ上的凸函数;     

一类等价性问题的求解

如果两个命题（或者条件）含有同一参数,那么它们的等价性问题,可以通过比较其参数的取值范围进行求解．     

一类等价性问题的求解（续）

如果两个命题（或者条件）含有同一参数,那么它们的等价性问题,可以通过比较其参数的取值范围进行求解．