一个不容忽视的结论

我们知道,首项为 a_1,公差为 d 的等差数列{a_n}前 n项和 S_n=na_1 ((n(n-1))/2)d,从本质上看,S_n 是关于 n 的函数,本文试图通过对 S_n 的研究,加深对等差数列的进一步的理解.对此有如下结论:定理:设 S_n 为数列{a_n}前 n 项之和,则{a_n}为等差数     

例析数列综合问题的类型

<正>一、数列本身各部分知识的综合例1已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n,且满足S_1>1,6S_n=(a_n+1)(a_n+2),n∈N_+,求{a_n}的通项公式。解析:利用n≥2时S_n-S_(n-1)=a_n将已知条件6S_n=(a_n+1)(a_n+2),n∈N+转化为a_n与a_(n-1)之间的关系。由a_1=S_1=1/6(a_1+1)(a_1+2),解得a_1=1或a_1=2,由假设a_1=S_1>1,因此a_1=2。又由a_(n+1)=S_n+1-     

两个不定方程的求解问题

S_n=na_1+1/2n(n-1)d是求等差数列前n项和的公式。通常是已知S_n、n、a_1、d中的三个求另一个。如果只给出S_n、d,要求n与a_1这就是一个不定方程的求解问题。特别当d=1与d=2时,可分别有不定方程S_n=na_1+1/2n(n-1),S_n=na_1+n(n-1)。求出这两个不定方程的正整数解可解答“哪些连续自然数的和是100?”“哪些     

抛物线和等差数列

一个数列是公差d≠0的等差数列的充要条件是前n项和是一个常数项为零的关于n的二次函数: S_n=na_1+1/2n(n-1)d =1/2+dn~2+(a_1-1/2d)n ①而二次函数y=1/2dx~2+(a_1-1/2d)x(d≠0)②的图象是一条抛物线,它经过由①决定的点(1,S_1)、(2,S_2)……(n,S_n)……一、关于计算a_1和d的公式∵经过(n_1,S_(n1))、(n_2,S_(n2))的②的方程是: n_1~2 S_(n_1) n_1 n_2~2 S_(n_2) n_2=0 x~2 y x     

公式a_n=S_n-S_(n-1)的功能挖掘

公式 a_n=S_n-S_(n-1)看似平常,其实内涵丰富,有着不寻常的功能和应用价值,本文举例如下:例1 已知数列{x_n),满足 x_1=b,x_(n 1)=cx_n d 且 c≠1.求通项公式.解:令 x_n=S_n则 S_(n 1)=cS_n d (1)S_n=cS_(n-1) d (2)(1)-(2)得a_(n 1)=ca_n=c~2a_(n-1)=…=c~(n-1)a_2∴x_n=S_n=a_1 a_2 … a_n     

等比数列前n项和公式的五种证法

设数列a_1,a_2,…,a_n,…为等比数列,公比为q,则它的前n项和即为S_n=a_1 a_2 a_3 … a_n,当q=1时,显然有S_n=na_1,以下用五种方法证明,当q≠1时,S_n=a_1(1-q~n)/(1-q)。     

应用函数思想解数列题例说

在等差数列的通项公式a_n=a_1 (n-1)d中,通项a_n可以看成是项数n的一次函数(它的定义域是自然数),对一切n∈N,点(n,a_n)共线。 又等差数列前n项和的公式S_n=na_1 (n(n-1)/2)d,可以变形为以下形式,即S_n=(d/2)n~2 (a_1-(d/2))n。因此,公差不等于零的等差数列,前n项的和S_n可以看成是关于n的常数项为零的二次函数,即S_n=an~2     

数学问答

?问题1.已知S_n是正数数列{a_n}的前n项和,S_1~2,S_2~2,S_3~2,…,S_n~2,…是以3为首项,以1为公差的等差数列,数列{b_n}为无穷等比数列,其前4项之和为120,第2项与第4项之和为90.求a_n和b_n.(河北张玉)     

一道高考数列题的完整解答

一九九六年全国统一高考数学(文科类)第21题:设等比数列{a_n}的前n项和为S_n,若S_3 S_6=2·S_9,求数列的公比q. 《参考答案》中给的解答如下: 解 若q=1,则有S_3=3a_1,S_6=6a_1,S_9=9a_1,但a_1≠0,得S_3 S_6≠2·S_9,与题设矛盾,故有q≠1. 又依题意S_3 S_6=2·S_9可得     

有关等差数列的三个公式

等差数列是最简形式的数列,中学数学教材里给出三个公式:a_n=a_1+(n-1)d,S_n=1/2n(a_1+a_n),S_n=na_1+1/2n(n-1)d。但有的题目用上述公式不大方便,例如已知任意两项求某一项或求和;已知前 k 项前 l 项的和求前 n 项和等等。上述问题按常规解法需解方程或方程组,运算较繁。贵刊1982年第一期倪承源同志的《等差数列的两个公式》一文,运用行列式知识给出两个定理,     

数学

《代数与初等函数》等差(比)数列常见题解法一、已知等差(比)数列中的一些量,求其余的量。这里的“量”是指:a_1,公差d(公比q),项数n,通项a_n及前n项和S_n等五种量。解这类题的方法是:利用等差(比)数列的通项公式和前n项和公式及题中给的关系列出方程或方程组,解列出的方程或方程组,得出待求的未知量。例1 在等差数列中(1)已知a_1=3,a_(12)=36,求d; (2)已知a_(?)=3,S(?)=33,求a_1。解:(1)把a_1=3,a_(12)=36代入通项公式,得3+11d=36。解这个方程,得d=3。     

对1996年全国高考数学(文史类)第21题评分标准中解答的质疑

1996年全国高考数学(文史类)第21题为:设等比数列{a_n}前n项和为S_n,若S_3 S_6=2S_9求数列的公比q。     

本刊第三届中学生数学智能通讯赛试题

高一年级一、选择题(每小题6分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的)1.设 S_n 是数列{a_n}的前 n 项和,且 S_n=An~2+Bn+2006,其中 A、B 为非零实常数.若 S_(4011)=10028,则 a_(2006)等于().A.2006 B.2005 C.2 D.1(福建傅进熹提供)     

数学课教案一例

教学时间:一课时。教学班级:高二(4)班。教学课题:等差数列前 n 项的和(天津市高中课本第二册第七七页)。教学目的:使学生掌握等差数列前 n项和的公式:①Sn=(n(a_1+a_n))/2;③S_n=na_1+(n(n-1)/2)d,并能初步应用这两个公式。课的类型:综合课。     

拓广基础知识 发展思维能力

一九八三年高考理工农医类数学试题第八题:已知数列(a_a)的首项a_1=b(b≠0),它的前n项和S_n=a_1 a_2 …… a_n(n≥1),并且S_1,S_2,…,S_n,…是一个等比数列,其公比为P(p≠0且|p|<1)。(1)证明a_2,a_3,…,a_n…(即{a_n}从第2项起)是一个     

一类三角数列的前n项和的分项求法

对于一个数列{a_n}、若它的通项可以分成某一新数列的相邻两项的差,而a_n=b_(n 1)-b_n或a_n=b_n-b_(n 1)(n=1,2,…),则容易求得其前n项和 S_n=b_(n 1)-b_1或S_n=b_1-b_(n 1), [例1] 现行高中课本代数第二册第79页28题: 用数学归纳法证明: 1/2tgx 1/2~2tg(x/2~2) … 1/2~ntg(x/2~n)=1/2~nctg(x/2~n)-ctgx(x≠kπ、k∈Z) 分析:等式左边是数列{1/2~ntg(x/2~n)}的前n项和S_n,下面用分项求和法求S_n。解:设a_n=1/2~ntg(x/2~n),则由三角学中的公式得。     

高考数学指导与训练(四)数列、极限、数学归纳法

[考试要求] 本章是高考考查的重点内容之一,在高考中,有关数列、等差数列和等比数列、数列极限的基础知识和基本运算是必考内容,数学归纳法是常考的基本方法之一,除此之外,在较难试题中常常出现有关数列的综合问题,考查综合与灵活运用数列的知识和方法分析问题和解决问题的能力。 [复习指导] 一、以函数的观点认识数列例1 等差数列{a_n}中,a_1>0,前n项和为S_n,且S_9>0,S_(10)<0,则当n=____时,S_n最大。分析:等差数列前n项和S_n是关于n的二次函数(二次项系数可以为零,且n∈N),且常数项为零,因此函数S_n=f(n)的图象是过原点的抛物线上横坐标为自然数的点(如图4—1),由题意可知该数列公差小     

1998年高考压轴题的“源”“解”“变”

(文)(25) 已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 … b_(10)=100.(1)求数列{b_n}的通项b_n(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=1g(1 (1/b_n),记S_n是数列{a_n}的前n项和.试比较S_n与(1/2)lgb_(n 1)的大小,并证明你的结论。 (理)(25) 已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 … b_(10)=145.(Ⅰ)求数列{b_n}的通项b_n;(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=log_n(1 (1/b_n),(其中a>0,a≠1),记S_N是数列{a_n}的前n项和,试比较S_n与1/2log_nb_(n 1)的大小,并证明你的结论, 探源 此二题源于1985年高考上海试题:对于大于1的自然数n,证明     

对一道高考题的变题探究

2005年江西省普通高校招生考试《数学(文科)》试卷的第22题,是全卷的最后一道题,带有压轴性质.其题目是:“已知数列{a_n}的前n项和 S_n 满足 S_n-S_(n-2)=3×(-1/2)~(n-1)(n≥3),且 S_1=1,S_2=-3/2,求数列{a_n}的通项公式”.考试到条件 S_n-S_(n-2)=a_n a_(n-1),故这道题考题实质上是已知数列递推关系 a_n a_(n-1)=mf(n) k 和起始值 a_1,求数列{a_n}的通项公式的问题.此类题型在多年高考中屡见     

递推法求通项举隅

在解决数列问题时,常常涉及到求通项问题.求通项方法繁多,下面着重谈谈递推法.一、已知一数列的和式为 S_n,求此数列通项 a_n.由 S_(n-1) a_n=S_n,便有 a_n=S_n-S_(n-1).但是,a_1不一定满足通项 a_n.因为 S_(n-1) a_n=S_n 表明第 n 项前不一定符合所求得的通项,由递推知,a_1不一定满足所求通项.那么,是否满足某一条件后,使得 a_1也满足所求得的通项呢?a_1究竟怎么确定呢?