一个不存在的三角形问题

有这样一道题: 已知△ABC的两个顶点B(1,2)、C(-1,1),一条内角平分线方程是2x y-1=0.求点A的坐标. 课堂上,老师让我们思考了一会,然后我们和老师共同讨论,一致地得出了如下解法: 经验证知:B、C不在直线L:2x y-1=0上, 则直线L只能是∠A的平分线,求得C(-1,1)关于直线L的对称点C'为(3/5,9/5),又求得BC'方程为:     

巧用向量法，妙解“解几”题

一、利用直线的方向向量求解 例1 求两直线l1：4x-3y＋2=0和l2：5x-12y＋19=0的夹角平分线方程．     

直线与圆、圆锥曲线中的最值问题的求法

1应用均值不等式(a+b/2)≥ab~(1/2)(a>0,b>0)求最值例1过点A(1,4)的直线l在两坐标轴上的截距均为正数,则使两截距之和最小的直线l的方程?解析欲使直线l的两截距之和最小,即在x轴上截距为1+ta4nα,在y轴上截距为4+tanα,因而5+tanα+ta4nα最小,于是有5+tanα+ta4nα≥9.等号成立的条件:当且仅当tanα=tan4α,即tan2α=4,∴tanα=±2(舍去-2),∴k=tanβ=-tanα=-2,∴y=-2x+b.又直线l过(1,4)点,∴b=6.故所求直线l方程为2x+y-6=0.评注利用均值不等式一定要注意等号成立的条件及适用的范围.2利用数形结合求最值图1例2一束光线从A(1,-1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是多少?解析圆C的圆心坐标为(2,3)半径r=1,点A(-1,1)关于x轴的对成点A′的坐标为(-1,1),因A′在反射线上,所以最短的距离为│A′C│-r-│A′B│,直线A′C的方程为4x-3y+1=0,即B-14,0,如图1.│A′B│=-1+412+12=45,│A′C│=(2+1)2+(3+1)2=5...     

不画图,求三角形内角的三种方法

在现行高中教材中,利用两直线夹角公式求三角形的内角时,教材是根据已知条件画出这个三角形,然后根据图形来确定3个内角的始边与终边,即确定内角是“谁到谁”所成的角,依公式tanθ=1k2 -k2kk11,(k1k2≠-1)(1°)再分别求出两个内角(第3个内角用三角形内角和公式求出).本文将介绍     

学生为什么总是“另起炉灶”?——谈三角函数“正反对接”

1.案例窥探案例一tanα=3/4,α是第三象限角,求(1-tanα/2)/(1+tanα/2).这是一次作业订正反馈的情况.笔者讲完练习后,照例让学生订正,笔者第二天检查学生的订正情况.两个班学生总人数113,基础较好.检查学生的订正后得到三种解法.     

直线与椭圆有公共点问题的四种解法

题目　设 0≤θ≤π ,直线l:xcosθ +ysinθ=2和椭圆x26+y22 =1有公共点 .求 :θ的取值范围 .解法一 :(判别式法 )①cosθ=0时 ,直线l的方程为 :y =2 ,此时直线和椭圆相离 .②cosθ≠ 0时 ,直线l的方程为 :x=-ytanθ+2secθ　代入椭圆方程 :x2 +3y2 -6=0　可得 :( 3 +tan2 θ)y2 -4secθtanθ·y+4tan2 θ-2 =0由Δ =16sec2 θ·tan2 θ -4 ( 3 +tan2 θ) ( 4tan2 θ -2 ) ≥ 0 ,解得tan2 θ≤ 1,又∵ 0 ≤θ≤π ,∴θ∈ 0 ,π4∪ 3π4,π .评注 :判别式法是处理直线和圆锥曲线位置关系最常规的方法 ,思想方法较简单 ,但有时运算较复杂 .解…     

解几题中角平分线条件的处理方法

解析几何题中角平分线条件的处理方法常从以下几个方面考虑: 一、利用角的两边关于角平分线对称进行处理例1 已知△ABC的两个顶点B(1,2)、C(-1,-1).一条内角平分线l:2x+y-1=0,求点A的坐     

错在哪里

数学直线倾斜角余弦值为(4/5),求此直线的斜率．错解：∵cosα=(4/5),∴sinα=±(3/5)．∴斜率k=tanα=(sinα)/(cosα)=±(3/4)．     

一道点到直线距离题的多种解法

二册(上)17·3中例11(1):求点P(-1,2)到直线l:2x y-10=0的距离d.通过对点到直线距离的概念的理解会得到多种解法,其中本文给出以下几种.解法1:由点到直线的距离公式求解d=|2×(-1) 2-10|22 12=150=25解法2:由点到直线的距离的定义求解过点P作直线l的垂线,垂足为A,则直线PA的方程是:x-2y 5=0与2x y-10=0联立得x=3,y=4所以A(3,4)P到直线l的距离即为线段PA的长度PA=(-1-3)2 (2-4)2=20=25解法3:由点到直线的距离和两条平行直线间距离的关系求解过点P作l的平行线l′:2x y=0则P到直线l的距离即为l与l′之间的距离所以d=|0-(-10)|22 12=105=2…     

一题多解,活跃思维

例直线l:y=-1/2x 2与椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1交于A、B两点,O为坐标原点,M为线段AB的中点.若|AB|=5~(1/2),直线OM的斜率为1/2,求椭圆的方程.     

2002年高考数学文（21）别解六种——兼谈解析几何简化运算量策略

本人在参加2002年福建省高考评卷工作,评改文(21)题过程中,发现学生给出几种不同解法.这些解法大都简化运算,同时具有一定技巧性,颇受启发,在总结学生解法基础上,认真探讨,整理出六种不同解法.结合这六种不同解法,谈谈如何简化解几运算量. 文(21) 已知点P到两个定点(1,0)M-、(1,0)N距离的比为2,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程. 原解 设点P的坐标为 (,)xy,由题设有 ||2||PMPN=,即 2222(1)2(1)xyxy++=-+. 整理得,22610xyx+-+=. ① 因为点N到 PM的距离为1, ||2MN=, 所以 PMN 30=?直线PM的 斜率为3/3, 直线PM的方程为3(1…     

变瑕疵为契机 让教学更完美

笔者在准备《直线方程》习题课的课件时,犯了一个小小的错误,把题目:“已知△ABC的一条内角平分线CD的方程2x+y-1=0,两顶点A,B的坐标分别为(1,2),(1,-1),求C点的坐标”中B的坐     

关于抛物线光学性质的探索

如图1,根据光的反射原理,平行抛物线对称轴的光线沿MA方向入射,反射光线通过焦点F,则MAF角平分线 所在直线为法线,NAF 角平分线所在直线为过 点A的切线,这就是抛物 的光学性质.本文介绍笔 者对其探索的过程. 1 递进探索——层层深入,步步为营 探索1在MA方向上取点1A,使1AAAF=,由抛物线定义知点1A在抛物线的准线L上,此时线段1AF的中垂线就是NAF的角平分线,即抛物线的切线. 如图2,建立直角坐标系,设抛物线的方程为22(0)ypxp=>,00(,)Axy,则准线L方程为2px=-,焦点(,0)2PF,10(,)2pAy-且 2002ypx=,200/(2)xyp=. …     

高考轨迹方程题的探求方法

1999年全国普通高校招生统考数学试题第24题(理科):如图1,给定点 A(a,0)(a>0)和直线 l:x=-1,B 是直线 l 上的动点,∠BOA 的平分线交 AB 于点 C,求点 C 的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系.这是一道求轨迹方程的试题,本文给出该题的七种解法,旨在帮助学生把握解轨迹方程题的常用方法。     

一道高三质检试题的解法赏析

题目已知M,N为直线3x+4y-10=0上两点,O为坐标原点,若∠MON=π/3,则ΔMON的周长最小值为______.解法1:如图1,作OH⊥MN于H,则OH=d=10/√3²+4²=2,设∠HOM=α,则∠HON=π/3-α,OM=2/cosα,ON=2/cos(π/3-α)HM=2tanα,HN=2tan(π/3-α),于是ΔOMN的周长l=2/cosα+2/cos(π/3-α)+2tanα+2tan(π/3-α).     

2004年全国新课程卷理科21题别解

题目　设双曲线C :x2a2 - y2 =1 (a >0 )与直线l:x y =1相交于两个不同的点A、B .(Ⅰ )求双曲线C的离心率e的取值范围(Ⅱ )设直线l与y轴的交点为P ,且 PA=51 2 PB ,求a的值 .图 1根据课本 p132 1 3题的解法可知 ,该题第 (Ⅰ)问可用反证法求解 .下面给出另一解法 :(Ⅰ )由C和L相交于两个不同的点A、B ,故知方程组x2a2 - y2 =1 ,x y=1 .有两个不同的实数解 ,消去 y并整理得( 1 -a2 )x2 2a2 x- 2a2 =0 .由Δ =4a4 8a2 ( 1 -a2 ) =0得a =2 ,a=0 .　　根据图 1知 :方程无解 ,则a>2或a<0 ,且a=1 ,a=2时仅有一解 .所以方程组有两个不同…     

运用向量法巧解计算题

本文就求异面直线的夹角,求直线与平面所成的角,求二面角,求点到平面的距离这几种题型,说一下它们的向量解法.1.求异面直线所成的角求异面直线所成的角时,只要找出这两条直线所在的向量,那么这两个向量所成的角(或其补角)就是异面直线所成的角.例1 如图,在Rt△AOB 中,∠OAB=π/6,斜边AB=4,而 Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为     

求直线方程的几种思考途径

求不同条件下的直线方程是高考必涉及的考查内容 .要求方程 ,一要灵活选用方程形式 ,二要熟悉求直线方程的常用方法 .以下举例说明直线方程的几种求解策略 ,以期对求直线方程有较全面的把握 .1 .利用轨迹思想直线是满足一定条件的简单轨迹 ,因此按求轨迹方程的方法可较简单地获得某些直线方程 .例 1　已知△ＡＢＣ的顶点Ａ(3,4) ,Ｂ(6 ,0 ) ,Ｃ(-5,-2 ) ,求∠Ａ的平分线ＡＴ所在的直线方程 .分析 :按常规思路 ,求直线ＡＴ方程 ,必须求出ＡＴ的斜率或Ｔ点坐标 ,但这样较繁 .ＡＴ为∠Ａ的平分线 ,联想角平分线定义 ,运用轨迹思想 ,设直线ＡＴ…     

韦达定理在求解一类一元高次方程中的应用

问题的提出: 解方程2(67)(34)(1)6xxx =. 解 原方程可化为 2(67)(68)(66)72xxx =, 设2(67)ax= , 2(68)(66)(67)1bxxx= = -. 显然()1ab -=, ()72ab-=-. 从而可构造一元二次方程2720yy--=则,ab-为该方程的两根. 解得8y=-或9y=,那么8a=-或9a=.即2(67)8x =-(舍去)或2(67)9x =,进而求得12/3x=-或25/3x=-. 分析本题的解法,我们发现本题并没有直接给出两数之和,也没有给出两数之积,原方程通过变形,运用字母代换数字,通过韦达定理来构造方程,使问题化难为易.本文把这种解法推广到一般结论,探讨这类一元高次方程在什么条件下可以运用这种解法.…     

2004年全国新课程卷理科21题别解

题目 设双曲线C:(x2)/(a2)-y2=1(a>0)与直线l:x y=1相交于两个不同的点A、B. (Ⅰ)求双曲线C的离心率e的取值范围; (Ⅱ)设直线l与y轴的交点为P,且PA=(5)/(12)PB,求a的值.