构造线段垂直平分线证题

同学们知道 :垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线定理及其逆定理分别是 :线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。到一条线段两个端点的距离相等的点 ,在这条线段的垂直平分线上。求解某些几何证明题时 ,从构造线段垂直平分线入手 ,可简化证明的思维过程 ,捷足先登。例 1　如图 1 ,∠ 1 =∠ 2 ,BC =BD ,求证 :AC =AD证明 :连结CD的交直线AB于E∵BC =BD ,∠ 1 =∠ 2∴BE是CD的垂直平分线∵点A在直线BE上∴AC =AD 例 2　如图 2 ,△ABC中 ,∠ACB =90° ,∠B =6 0° 求证 :AB =2BC …     

一道集训队选拔考试题的推广

题目已知A为圆Γ外一点,直线AB、AC分别与圆Γ切于点B、C设P为劣弧BC(不含点B、C)上的一个动点.过P作圆Γ的切线,与AB、AC分别交于点D、E,直线BP、CP分别与∠BAC的平分线交于点U、V.过点P作AB的垂线,与直线DV交于点M;过点P作AC的垂线,与直线EU交于点N.证明:存在一个与点P无关的定点L,使得M、N、L三点共线.     

课本习题提示（第十四章）

习题14.1 5.易知AD=CD,故△ABC的周长=△ABD的周长 2AE.7.是轴对称图形.有两条对称轴,为这两条直线夹角的平分线所在的直线.8.b,d,f.9.建在AB的垂直平分线和公路的交点处.11.建在线段AB的垂直平分线和m、n的交角(锐角)的角平分线的交点处.12.点P也在边AC的垂直平分线上,因为可得PA=     

数学奥林匹克问题

本期问题 初299如图1,已知△ABC的内角平分线AD与BC交于点D,点E在AB上,且AE=AC,点,在AC的延长线上,且AF=AB,过点E、F分别垂直于AB、AC的直线与过点D垂直于AD的直线分别交于点P、Q,PG⊥BC于点G,QH⊥BC于点H.求证：BG=CH．     

线段、角

基础篇课时一　直线、射线、线段诊断练习一、填空题1.看图1填空:点C不在直线上;点在直线AC上;直线相交于点B.图1图22.如图2,直线AB、CD相交于点E,F是AB上另一点,图中直线有条;线段有条;以这些点为端点的射线有条.3.如图3,C、D是线段AE上两点,B为AC中点,则AC=(　　)BC=(　　)-(　　)=(　　)-(　　)-(　　).图34.已知线段AB,延长AB到C,使AC=3BC,反向延长AB到D,使AD=32AB,则CD是AB的倍,BC是DB的.二、选择题(只有一个答案正确):1.下列说法中正确的是(　　)(A)直线A、B相交于点C.(B)直线ab与cd交于点E.(C)直线a,b有公共点…     

线段垂直平分线的应用

线段的垂直平分线的性质和它的判定是人教版初中几何第二册中的一节内容。在学习中一般容易被学生忽视,但有些题若能把线段垂直平分线的性质或判定利用上,会使证题过程变得简单巧妙。例1已知:如图,∠1=∠2,BC=BD求证:AD=AC(人教版初二几何复习题三)分析:这个题一般地用三角形全等的方法证明,但如果连结CD,设AB与CD相交于点E,则可以这样证明:因为:∠1=∠2,BC=BD,所以AE是CD的垂直平分线,所以:AC=AD。这样做,既复习了等腰三角形三线合一的性质,又复习了线段垂直平分线的性质一举两得。例2已知:如图,AB=ACDB=DC,AD的延长线交BC…     

巧用根轴与根心定理证明两线垂直

根轴定理与根心定理都是数学竞赛中的重要定理.根轴定理两圆的根轴与连心线互相垂直.根心定理三个圆两两之间的三条根轴或者互相平行或者交于一点(即根心).图1例1如图1,在△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,直线FD和AC交于点N.证明:(1)OB⊥DF,OC⊥DE;     

对一道IMO试题的探究

正命题在ΔABC中,∠BCA的平分线与ΔABC的外接圆交于点R.与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q,设K、L分别是BC、AC的中点,证明:ΔRPK和ΔRQL的面积相等.(图1)     

试卷评阅后之所思

原题已知AB=AC,CD⊥AB于点D,BE上AC于点E,BE与CD相交于点O,(1)求证:AD=AE.(2)连接OA、BC,试判断直线OA、BC的位置关系并说明理由.提供的标准答案:(1)证明:如图1中,在△ACD与△ABE中,∵.∠ADC=∠A EB=90°,∠A=∠A,AC=AB,∴△ACD≌△ABE.∴AD=AE.(2)互相垂直;证明连接OA、BC,如图2,在Rt△ADO与Rt△AEO中,     

对一道IMO试题的探索

第38届IMO试题第2题: 设∠A是△ABC中最小的内角,点B和C将这个三角形的外接圆分成两段弧,U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点,线段AB和AC的垂直平分线分别交线段AU于V和W,直线BV和CW相交于T.证明AU=TB TC.     

线段垂直平分线性质的应用

垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线．它具有非常重要的性质：线段会在平分线上的点与这条线段两个端产、的R巨离相等．在解某些几何问题时，灵活应用这一性质，可简化解题过程，使其迅速获解．例1如图1，线段CD垂直平分AB，AB平分工CAD求证：AD／／BC．例2如图2，已知AD平分ZBAC，EF垂直平分AD交BC延长线于F，连接AF求证：证明EF垂直平分AD，例3如图3，已知：求证。AC＝AD，证明连CD交直线AB于五BE是CD的垂直平分线．例4如图4，在△ABC中，求证：证明延长BC到D，使DC—BC，连AH．LACB—90”，AC是B…     

“所有三角形都是等腰的”

命题所有三角形都是等腰的. 显然,这是一个荒谬的命题.但有人“证明”它是成立的. 证明在△ABC中,如果AB=AC,则命题得证.如果AB≠ AC,作△ABc的∠A的平分线与BC边的垂直平分线交于E点(∵AB≠AC,∴DE与AE不平行).自E点作EF⊥AC于F点,EG⊥AB于G点.连结EC和EB.     

线段、角

诊断检测一、选择题1.下列语句中正确的是( )(A)延长直线AB. (B)延线射线OC.(C)作直线AB=BC.(D)延长线段AB.2.下列写法中正确的是( )(A)直线AB、CD相交于点m.(B)直线AB、CD相交于点M.(C)直线ab、cd相交于点M.(D)直线a、b相交于点m.3.图中直线、射线、线段能相交的是( )     

一道数学奥林匹克问题的简解

题目在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是边AB上的一点,线段CD的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N.若AD=a,BD=b(a、b是给定的正数),试求CM、CN的长度(用关于a、b的最简式子表示),并确定ab的取值范围[1].图1解:如图1,设CM=DM=x,作DP⊥AM于点P.则DP=a2=AP,MP=a 2b-x-a2=b2-x.由x2=a2     

线段垂直平分线性质在解题中的应用

线段的垂直平分线(中垂线)的性质定理及其逆定理在解题中有着广泛的应用,现举例说明,供同学们参考.一、用于求线段长例1如图1,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E.若AB=14,△BCD的周长为22,求BC的长.分析:由DE是AC的垂直平分线,得DA=DC.则BD+DC=BD+DA=AB=14.又BC+BD+DC=22,故BC=22-(BD+DC)=22-14=8.(具体证明过程请读者自行完成,下同)二、用于求角的度数例2如图2,AB⊥CD于B,AD的垂直平分线CF分别交AB、AD于E、F,EB=EF,求∠A的度数.分析:由CF是AD的垂直平分线想到连结DE,则AE=DE,故∠A=∠1…     

线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用

定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．同数学语言表示：如图1,直线ｌ上AB于CAC＝BC）。PA。PB．点P在l上J逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．用数学语言表示：如图1,PA二PBrt点P在AB的垂直平分线上．定理提供了判定两条线段相等的依据,逆定理提供了证明点在直线上的依据．它们在计算、证明、作图中都有重要的作用．一、在计算中的应用移ul如图2,等腰rtABC中,过腰AB的中点D作垂线（A、C在此垂线的两侧）交另一腰AC于E,连结BE．如果AD＋AC＝24cm,BD＋BC二20cm,求…     

2001年高中联赛平面几何题的新证法

题目如图1,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N.求证:(1)OB⊥DF,OC⊥DE.(2)OH⊥MN.     

2001年高中联赛平面几何题的新证法

题目如图1,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N.求证:(1)OB⊥DF,OC⊥DE.(2)OH⊥MN.     

形异质同的几道高考题——谈有心圆锥曲线的一个性质

2011年全国高考四川文科数学卷第21(2):如图1,过点C(0,1)的椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为e=√3/2.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(-a,0),过点C的直线l交椭圆于另一个点D,并于x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q. (1)略; (2)当点P异于点B时,求证:OP· OQ为定值. 2011年全国高考四川理科数学卷第21(2):如图2,椭圆有两个顶点A(1,0)、B(-1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点,并于x轴交于点P,直线AD与直线BC交于点Q.     

有心圆锥曲线一个性质的新发现

<正>1背景介绍近日,笔者发现圆中有以下结论:如图1,AB是⊙O的直径,C、D是圆上异于A、B的两点,设直线AC、BD相交于点M,直线AD、BC相交于点N,则MN⊥AB.证明因为AB是⊙O的直径,所以AD⊥BM,BC⊥AM,于是点N是△ABM的垂心,从而有MN⊥AB.