三垂边空间四边形及其应用

空间四边形ABCD中，AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AB．两两垂直的三条边简称三垂边，另一边为非垂边．连CA，得DC上面ABC，DC⊥AC，则AD^2=AC^2 CD^2=AB^2 BC^2 CD^2，即非垂边的平方等于三垂边的平方和．如上图形称为三垂边空间四边形，它是常见的基本图形．     

无棱二面角的求解方法

本文结合有关问题介绍一类常见的仅有一个公共点的“无棱”二面角的常用转化途径及求解方法.一作棱转化法若无棱二面角的两个面均为三角形,且公共点为顶点的两角所对边如果延长后相交于一点.则此点与公共点连线为所求二面角的棱.从而化为有棱二面角.例1如图1,已知四棱锥P-ABCD底面为一直角梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,AB=1,CD=2,侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PBC为一边长等于4的正三角形.求侧面PAD与侧面PBC所成的二面角(锐角)的度数.分析:梯形ABCD的两底AB相似文献   

从一道数学竞赛题谈起

第十届国际奥林匹克数学竞赛有这样一道试题: 证明:任意一个四面体总有一个顶点,由这个顶点出发的三条棱可以构成一个三角形的三边。我们利用反证法来证明这个命题。设四面体ABCD中AB是最长的棱。如果任意一个顶点出发的三条棱都不能构成一个三角形,则对由A出发的三条棱,有AB≥AC±AD;又对由B出发的三条棱,有BA≥BC BD,两式相加得2AB≥AC AD BC BD (1)但在△ABC中,AB相似文献   

巧用勾股定理解竞赛题

直角三角形的直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2,这就是我们熟知的勾股定理,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.灵活巧用它,可使几何问题的解决变得简捷.例1如图1,已知AB⊥CD,△ABD、△BCE都是等腰直角三角形,CD=8,BE=3,则AC的长为()A.8B.5C.3D.&!34(2004年湖北省初中数学竞赛试题)解:依题意,AB=DB,BC=BE.∵BE=3,CD=8,∴BC=3,DB=5,AB=5,∵∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2∴AC=!AB2+BC2&=&!34.例2如图2,AC=10,BC=17,CD⊥AB于点D,CD=8,求△ABC的面积.(2002年北京市初二数学竞赛试题)解:在△ABC中,∵CD…     

从一道高考题谈起

20 0 3年高考江苏卷数学第 (16 )题是 :对于四面体 ABCD,给出下列四个命题(1)若 AB=AC,BD=CD,则 BC⊥AD.(2 )若 AB=CD,AC=BD,则 BC⊥ AD.(3)若 AB⊥AC,BD⊥CD,则 BC⊥AD.(4 )若 AB⊥ CD,BD⊥ AC,则 BC⊥ AD.其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号 )真命题的序号是 (1)、(4 ) .给出的四个命题中的 (1)、(2 )是关于邻棱或对棱相等的四面体问题 ;(3)、(4 )是关于邻棱或对棱垂直的四面体问题 .笔者感兴趣的是 :一组、两组、三组对棱分别相等的四面体有何性质 ?一组、两组、三组对棱分别垂直的四面体又有何性质 ?经过…     

一道重庆市2011年中考几何综合题的多解研究

例1如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD,过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连结EG、AF.(1)求EG的长;(2)求证:CF=AB+AF.解析:命题者把等腰直角三角形与钝角三角形有机地组成一个梯形,令等腰直角三角形的斜边为梯形的下底,钝角三角形的最小边为     

灵活应用勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2.这就是我们熟知的勾股定理,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.灵活应用它,可帮我们顺利地解答一些与线段有关的问题.一、计算问题例1如图,已知AB⊥CD,△ABD、△BCE都是等腰直角三角形,CD=8,BE=3,则AC的长为().     

应用一个结论 巧证一类赛题

高中《数学》第二册(上)P.88B组第2题:已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证它的对角线互相垂直.即如图1,在四边形ABCD中,若AB2 CD2=BC2 AD2,则AC⊥BD.     

勾股定理

长方形的纸片ABCD,AD=4,AB=3.将它折叠, 使C点与A点重合.求折痕的长度(可以利用以下性质:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方). 这是第七届华杯赛的试题.所说性质就是著名的勾股定理.(也称“商高定理”,为我国古代数学家较早发现,西方人称“毕达哥拉斯定理”)     

构造直角三角形斜边中线解题

直角三角形有一个非常重要的性质,这就是:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。在解题中它起着传递线段之间关系的作用。如果在已知图形中出现直角三角形时,则可以作出该直角三角形斜边上的中线,从而有利于问题的解决。　　例1　已知:△ABC中,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,M是BC的中点,N是EF的中点,连结MN。求证:MN⊥EF。NFEMCBA分析:如图,由已知条件可得△BFC与△BEC都是直角三角形,BC为其公共斜边。若连结MF,ME,可证FM=EM。证明略。　　例2　如图,已知:在ABCD中,自钝角顶点A作AF⊥BC于F,BD交AF于点E,又知DE=2AB。求…     

一道无棱二面角题目的不同解法

如图所示,ABCD是直角梯形,∠A BC=90°,SA⊥底面ABCD,AD=0.5,求面SCD与面SBA所成二面角的大小.解法一延长BA与CD,交于点P,连接SP.过点A作AE⊥SP,垂足为E,连接DE.∵SA⊥底面ABCD,AD?面ABCD,∴SA⊥AD.∵AD⊥AB,SA∩AB=A,∴AD⊥面SAB,∴AE为ED在底SAB内的射影.∵AE⊥SP,∴ED⊥SP,∴∠A ED即为面SCD与面SAB所成二面角的平面角.在Rt△SAP中,SA=AP=1,∴AE=2/2.在Rt△EAD中,tan∠A ED=12/2/2=22,∴∠A ED=arctan(2/2)点评无棱二面角的求解,关键在于如何寻找二面角的棱.很明显,在这个题目中,已经知道了…     

射影定理的一个推论及其应用

现在我们先给出射影定理的一个推论:直角三角形两条直角边平方的比等于它们在斜边上的射影的比。已知:如图(1),在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,求证:AC2BC2=ABDD。证明:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,∴△ADC∽△ACB,△BDC∽△BCA,∴ACAB=AACD,BACB=BBCD,即AC2=AB×AD……①,BC     

平行四边形“搭好台” 旋转变换点“唱好戏”

<正>1试题呈现(绍兴中考第24题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列),AB=12,AD=10,∠B为锐角,且sin B=4/5。(1)如图1,求AB边上的高CH的长。(2)P是边AB上的一个动点,点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C’,D’。(1)如图2,当点C’落在射线CA上时,求BP的长。(2)当△AC’D’是直角三角形时,求BP的长。     

一道CMO试题的别解与拓广

题目给定锐角三角形PBC,PB≠PC．设A、D分别是边PB、PC上的点,连结AC、BD相交于点O．过点O分别作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E、F,线段BC、AD的中点分别为M、N．     

一道直角四面体命题的变式与引申

命题设四面体ABCD的棱AB、AC、AD两两互相垂直,顶点B、C、D到对面的距离依次为a、b、c,P为面BCD上任意一点,PE⊥平面ACD于E,PE⊥平面ABD于F,PG⊥平面ABC于G,令PE=x,PF=y,PG=z,则x/a+y/b+z/c=1.     

不作辅助线求解更简捷

“梯形”练习题中有这样一个问题:已知等腰梯形ABCD,AD//BC,对角AC⊥BD,AD=3cm,BC=7cm,求梯形的面积S.参考书中通常介绍如下三种作辅助线的方法(如图1).然而不作辅助线,是否也能求解呢?答案是肯定的.解法如下:如图2,因为ABCD是等腰梯形,所以AB=DC,∠ABC=∠DCB,又知BC=BC,所以△ABC≌△DCB(SAS),所以∠1=∠2,AC=BD,而AC⊥BD,所以∠1=∠2=45°,故△BOC等腰直角三角形.同理可知△AOD也为等腰直角三角形.由勾股定理得OA=OD=姨22AD=23姨2cm.OB=OC=姨22BC=7姨22cm.所以AC=OA OC=5姨2cm.于是S梯形ABCD=S△ABC S…     

第24届中国数学奥林匹克冬令营试题及解答

一、给定锐角三角形PBC,PB≠PC．设A,D分别是边PB,PC上的点,连接AC,BD,相交于点O．过点O分别作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F,线段BC,AD的中点分别为M,N．     

反比例函数面积不变性的再探究

<正>反比例函数y=k/x的图象具有面积不变性:如图1,点A是反比例函数图像上任意一点,过点A分别作AB⊥x轴,AC⊥y轴,垂足分别为B、C可以得到S四边形OBAC=|k|.这个性质大家都已熟悉,笔者对这一性质做了进一步的探究,现将探究过程介绍如下:一、探究过程探究1如图2,点A、B分别是反比例函数y=k x图象上两点,过点A、B分别作AD⊥     

数学思想助解特殊平行四边形

<正>在解决特殊平行四边形的问题中,运用数学思想常常可以迅速找到解题的途径.下面举例说明.一、转化思想例1 (2021·重庆)如图1,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M是边AD上一点,连接OM,过点O作ON⊥OM,交CD于点N.若四边形MOND的面积是1,则AB的长为（）.     

几道平面几何赛题的关联

题1如图1，在△ABC中，AB＞AC，AD为∠A的平分线，①点E在△ABC内部，且EC⊥AD交AB于F，②ED∥AC．③求证：射线AE平分边BC．④