巧用直角三角形性质解题

直角三角形是一类特殊三角形,它有许多特殊的性质,如勾股定理,两锐角互余,斜边上的中线等于斜边的一半,30°角所对的直角边等于斜边的一半等等.解题时,若能巧妙运用直角三角形的这些特性,往往能事半功倍.下面分类例说.一、按给定边的数值运用勾股定理及其逆定理求解例1如图1,在△ABC中,D是BC边上     

巧用平面向量的数量积解题

向量是解决数学问题的一种重要工具,由于向量融数、形于一体,因而成为中学数学知识的一个交汇点.向量的数量积在中学数学中有     

巧用旋转法妙解特殊三角形

特殊三角形一直是初中数学研究的重点,它们除了具有普通三角形的所有性质外,还具有本身的特殊性质,在中考几何中占有重要的位置。特殊三角形常见的辅助线中有旋转,旋转被广泛用于解决一些较难的几何问题,大多时候可以做到一转解千愁。为学生们更好的掌握好这一知识点,本文结合2018各地中考题中以特殊三角形为背景的例题加以说明。     

一个问题的推广

1问题的提出问题1526:△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.D、E、F分别是AB、AC、BC上的点.若△DEF为等腰直角三角形,且∠EDF=90°,求△DEF面积的最小值.《数学通报》2005年第1期给出了该问题的解答,本文对该问题进行推广,得到以下定理△ABC中,∠C=θ,BC=a,AC=b,AB=c.D是线段AB上的点,E、F分别是直线AC、BC上的点.若△DEF满足条件:DE∶DF=k(k为正常数),∠EDF=180°-θ,则△DEF面积的最小值是k8abcR(a kb)2sinθ(其中R是△ABC外接圆的半径).(1)当△ABC为锐角三角形时,如图,设∠FDB=α,则∠DFB=180°-(α B).由于…     

构造特殊三角形解题举例

由于特殊三角形（等腰三角形,等腰直角三角形,含30°角的直角三角形,正三角形）具有特殊性质,如“等腰三角形的三线合一”;“直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半”;“勾股定理”等．因此,在解题时,若能根据题目特征,构造特殊三角形,常能出奇制胜,达迅速解题之目的．现举例说明之．     

两种特殊直角三角形的边长比

在我们使用的三角尺中，一块是含30°角的不等腰直角三角形，一块是含45°角的等腰直角三角形．下面我们来研究这两种特殊直角三角形的边长比．     

巧用直角三角形性质解题

直角三角形是一类特殊三角形,它有许多特殊的性质,如勾股定理,两锐角互余,斜边上的中线等于斜边的一半,30°角所对的直角边等于斜边的一半等等．解题时,若能巧妙运用直角三角形的这些特性,往往能事半功倍．下面分类例说．     

巧用函数思想解题

初中数学中主要有一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数,这些函数有各自的性质,巧用这些性质,可以解决许多问题.一、探索图形规律例1(2012年宁波卷)同样大小的黑色棋子按如图1所示的规律摆放:     

对一道习题的探讨

正~~     

巧用勾股定理连等式简捷解题

勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系,运用勾股定理可以解决直角三角形中求边长问题.当两个直角三角形有一条公共边时,可以得到与公共边有关的两个勾股定理等式.添加适当的辅助线,构造有一条公共边的两个直角三角形,也可以得到与公共边有关的两个勾股定理等式．     

应用中线定理解题

命题若三角形一边上的中线等于这边长的一半,则这个三角形是直角三角形.文[1]作者称它为中线定理,并谈到"应用它可以简洁地解答许多问题,包括考试题和竞赛题".作为研究性资料,将其译出,供数学教育工作者参考.对其中几例,笔者还给出另外解法.文[1]首先证明了这个定理.证1:如图1,设△ABC的中线AM₁=1/2 BC.要证∠BAC=90°.     

旋转特殊角度解题

旋转与其他的图形变换一样,不改变图形本身的形状、大小和性质,因此,如果题目中已知条件比较分散,通常把图形旋转到特定的位置或是特殊的角度．当三角形绕某一顶点旋转90°时,可出现等腰直角三角形;当三角形绕某一顶点旋转60°时,可出现等边三角形．于是将问题变繁为简,便于解答．现举几个通过旋转特殊角度解题的例子．     

旋转图形解题两例

例1如图1,设O是等边三角形ABC内一点,∠AOB= 115°,∠AOC=125°,则以OA、OB、OC为边所构成的三角形的各内角的度数各是多少?解如图2,把△AOB绕点A逆时针旋转60°得到△ADC,则AD=AO,∠2=∠1.所以∠2+∠3=∠1+∠3 =∠BAC=60°.     

一道中考题的解法赏析

<正>题目(2013年绍兴市)如图1,抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为顶点.(1)求点B及点D的坐标;(2)连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.①若线段BD上一点P,使∠DCP=∠BDE,求点P的坐标;②若抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标.     

巧用模型迁移解题

物理学中的许多具体问题都有一定的模型.善于运用模型迁移解题,可以锻炼思维的变通性、敏捷性,使解题快速简洁.请看以下几例.     

构造直角三角形解题

<正>解(证)平面几何竞赛题一般都要添辅助线.添辅助线的目的是构造新的图形,把题目中的条件(或者部分条件)转化到新的图形中,运用熟悉的图形性质沟通已知与未知的内在联系,从而使问题获得解决.下面举例说明,利用特殊角或边之间的特殊关系,添垂线构造直角三角形在解竞赛题中的运用.     

巧用等积法解题

利用不同的方法表示同一个平面图形的面积,计算结果始终相等.利用这一原理证明或计算某些数学问题的数学方法称为等积法.利用等积法解题往往比其它思路更清晰,证法更简捷,尤其在勾股定理一章中体现得淋漓尽致.现举例说明.     

巧用旋转模型解题

<正>在几何问题中,有一类求解多条线段之间关系的问题,这类问题难度较大,通过旋转,可以把分散的几何条件集中在一起,运用旋转的不变性,再结合特殊三角形三边关系,可以使这类问题迎刃而解.以下笔者结合实例,以不同的旋转模型加以说明.一、等腰半角模型例1 如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠DAE=45°,BD=3,CE=4.求DE的长.解析如图1,将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF,连结EF.由旋转不变