一道习题的证明引申及应用

很多教辅资料上都有这样一道习题: 在锐角△ABC中,求证tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 这是一道很平常的题,证法如下:因为△ABC为锐角三角形,所以tanA,tanB,tanC,tan(A+B)都有意义.又因为A+B=π-C,所以tan(A+B)=-tanC,所以tanA+tanB+tanC     

一个三角不等式的证明--兼擂题(59-1)解答

《中学数学教学》2 0 0 3年第 1期有奖解题擂台( 5 9)中 ,吴伟朝老师提出了如下一个三角不等式 :求证 :sin2 0 0 3° >12 ·cos2 0 0 2°。 (不要使用计算器等工具 )本文给出不等式的两个证明。证法一　∵sin2 0 0 3°=-sin2 3° ,cos2 0 0 2°=-cos2 2° ,欲证不等式即为　sin2 3°<12 cos2 2°①注意到cos2 2°>cos2 3° ,于是若有sin2 3° <12 cos2 3° ,即tan2 3°<12 ②便知①式成立。现证②式成立。先给出命题 :若A >0°,B >0° ,且A +B <1 80°时 ,则tan A +B2 ≤ 12 (tanA +tanB)③等号当且仅当A =B时成立。tanA +tanB =sin(A…     

一个三角命题的证明及应用

命题:(新教材高一下册P42第15题的特例)若A、B、C为非直角三角形的三个内角,则tanA tanB tanC=tanA·tanB·tanC.证明:在△ABC中,A B C=π,A B=π-C.     

每期一题

题:已知α、β为锐角,sin(α+β)=2sinα, 求证:α<β。证法一要证α<β,而由于α、β是锐角,所以立足于推证sinα相似文献   

一个“增解”问题的根源剖析与思考

2013年北京理科第15题:在ΔABC中,a=3,b=26,∠B=2∠A.(Ⅰ)求cos A的值;(Ⅱ)求c的值.有高三备考资料中,关于此题给出的参考答案如下(不妨称解法1):(Ⅰ)∵a=3,b=26,∠B=2∠A,∴由正弦定理得3 sin A=26 sin 2A,化简得cos A=63.     

例析三角形中的三角函数

一、求值例1 在△ABC中,已知tanA,tanB是方程3x2+8x- 1=0的两根,求tanC的值. 解由韦达定理得∵A+B+C=180°∴C=180°-(A+B). ∴tanC=tan[180°-(A+B)]=-tan(A+B)=-(-2)=2. 例2 已知△ABC的三个内角满足:2B=A+C,     

第9期模拟试卷(一)参考答案

第Ⅰ试1.D2.A3.C4.A5.B6.B7.B8.C9.A10.D11.End If12.y=-x 413.2514.215.4216.S2=mS1,S椭圆=πab17.(1)因为tanB=csionsBB,cosB=a2 2ca2c-b2,而tanB=a2 3ca2c-b2,可得sinB=23.(2分)因为B为锐角,所以B=60°.(4分)(2)sin(B 10°)[1-3tan(B-10°)]=sin70°[1-3tan50°](6分)=sin70°1-3·csions5500°°(10分)=sin70°·cos50c°o-s503°sin50°=2sin70°·sin(c3o0s°5-0°50°)(12分)责编/朱凌燕顾俊邮箱/gujun071001@163.c44高三语数外=-2sins2i0n°4c0o°s20°=-1.(14分)18.(1)根据俯视图可知,ABCD是边长为a的正方形,且A1H⊥…     

解三角题的方程视角

许多三角题若运用方程视角来审视,就会发觉解题路子比原来更宽.本文例述其主要思考方式.一、直解方程即问题明确呈现方程本质,只须从中直接解出所求即可.例1已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),求cotθ的值.解析:本题解法较多,但最为稳妥的方法是解方程组:sinθ+cosθ=15,sin2θ+cos2θ=1.即有:sin2θ+(15-sinθ)2=1,整理得25sin2θ-5sinθ-12=0,(5sinθ+3)(5cosθ-4)=0,∴sinθ=45(舍sinθ=-35,∵θ∈(0,π)),从而cosθ=-35,∴tanθ=-43,cotθ=-34.例2在△ABC中,A+C=2B,且1cosA+1cosC=-2cosB,求cosA-C2的值.解析:由条件易知B=60°,从而A+…     

高一《三角函数》单元检测试题

一、选择题(每小题5分,共60分)11“θ=60°”是“tanθ=3”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分且必要条件(D)既不充分也不必要条件21cos(-100°)=m,则tan600°=()(A)1-m2m(B)-1-m2m(C)1 m2m(D)-1 m2m31α是第三象限角且sinα=-2425,则tanα2的值为()(A)43(B)34(C)-43(D)-3441cos(20° α)cos(25° α)-(cos70°-α)sin(25°-α)的值为()(A)-22(B)22(C)-1(D)151在△ABC中tanA tanB 3=3tanA·tanB且sinAcosA=34,则△ABC是()(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等边三角形61sinα sinβ sinγ=0,cos…     

对一道习题的探究

题目在斜三角形ABC中,求证tanA tanB tanC=tanAtanB·tanC.分析:将待证式与两角和的正切公式比较,发现都含有正切的和与积,因此可考虑运用两角和的正切公式.证明:在斜三角形ABC中,A B C=π,即A B=π-C,且A、B、A B都不等于2π,     

2005年最具影响力的数学试题分类解读

一、三角函数1.(全国高考题)△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且cosB=3/4. (Ⅰ)求cosA+cotC的值; (Ⅱ)设(?)·(?)=3/2,求a+c的值. 解析(Ⅰ)由cosB=3/4得sinB=(1-(3/4)2)~(1/2)=7~(1/2)/4 由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC. 于是cosA+cotC=1/tanA+1/tanC =cosA/sinA+cosC/sinC=(sinCcosA+cosCsinA)/sinAsinC     

高一数学专题复习月考卷(二)——三角函数(一)

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若cosθ<0,且sin2θ>0,则角θ的终边所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知α、β都是第二象限角,且cosα>cosβ,则()A.α<βB.sinα>sinβC.tanα>tanβD.cotα1,则sin2θ等于()A.-2254B.-2125C.-54D.22545.若tanAtanB=tanA tanB 1,则tan(A B)的值为()A.1B.-1C.±1D.06.sinα-cosα可化…     

对一道西班牙赛题的再研究

第 31届西班牙数学奥林匹克第 2题是 :证明 :如果 ( x+ x2 + 1 ) ( y+ y2 + 1 )= 1 ,那么 x+ y=0 .文 [1 ]给出了此题的一种证法 ,本文再给出此题的两种换元证法 ,然后给出一个新命题 .证法 1　设 x=tanα,y=tanβ,其中 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,则由条件知 ,( tanα+ secα) ( tanβ+ secβ) =1 ( sinα+ 1 ) ( sinβ+ 1 ) =cosαcosβ sinα+sinβ+ 1 =cos(α+β) 2 sinα+β2 cosα-β2 +1 =1 - 2 sin2 α+β2 sin α+β2 ( sin α+β2 +sinπ-α+β2 ) =0 sin α+β2 sin 2β+π4 ·cos2α-π4 =0 .又由 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,知…     

2018年高考数学浙江卷第21题引发的探究

<正>1试题呈现如图1,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y²=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(Ⅱ)若P是半椭圆x2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(Ⅱ)若P是半椭圆x²+y2+y²/4=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围(2018年高考浙江卷第21题).     

一道习题结论的巧用

<正>人教版高中数学(必修)第一册(下)P42习题15给出了这样一个结论:若A+B+C=kπ(k∈Z).则tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC恒成立.巧妙运用     

工程数学综合练习

1　填空题(1 )P(A) =0 .4 ,P( AB) =0 .3,则P(A+B) =。(2 )设A ,B互不相容 ,且P(A) >0 ,则P(BA) =。(3)连续型随机变量X的密度函数是 f(x) ,则P(a 相似文献   

2004年全国高考立几题解法探究

题目:如图,直三棱柱ABC-A1B1C1图1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=2,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D,B1C1的中点为M.(Ⅰ)求证CD⊥平面BDM;(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.图2解法:证(Ⅰ)之法1,如图2∵DB2+DC2=2=BC2∴CD⊥DB又∵DB2+DM2=1+DC2-C1M2=1+12CM2=CC21+C1M2=1+12∴CD⊥DM∴CD⊥平面BDM证(Ⅰ)之法2在上述证法中,CD⊥DM亦可用全等形证之.因△CC1M中∠CC1M=90°,是已知的,故只需证△CDM≌△CC1M即可.事实上,CD=1=CC1,CM公用,且DM=C1M(M是直角△BDC1之斜边的中点)解(Ⅱ)之法1这里是要…     

每期一题

题:设锐角α和β满足等式 sin~2α+sin~2β=sin(α+β), 试证明α+β=1/2π。本题是第十七届苏联数学奥林匹克十年级第1题。引导学生深入探索其题设与题断间的内在联系,寻求它的种种不同的证明途径,无疑将有益于学生分析、判断、推理诸能力的增强。下面介绍该题的四种证法。证法一(分析法)将已知等式改写为sin α(sinα-cosβ)=sinβ(cosα-sinβ) 因为 sinα>0,sinβ>0,所以只能有     

2010年江苏高考第13题再研究

文[1]对2010年江苏高考第13题进行了探究,给出并证明了如下的结论:在平面直角坐标系xOy中,点A(-c/2,0),B(c/2,0),若△ABC的另一个顶点C在圆x2+y2=mc2上运动,则b/a+a/b/cosC和tanC/tanA+tanC/tanB分别等于定值2(4m+1)/4m-1和4/4m-1.     

关于三角形的一个正切公式及其应用

在三角形中刻画边角关系最重要的定理是正弦定理和余弦定理.但在近几年高考数学试题中经常出现三角形中角的正切问题.为此我们向读者介绍下面的一个正切公式:定理设非直角△ABC的三个内角A、B、C所对的边为a、b、c,S为其面积,则有:tanA=b2+4c2S-a2;tanB=a2+4cS2-b2;tanC=a2+4bS2-c2.证明由余弦定理cosA=b2+2cb2c-a2及面积公式S=12bcsinA得:tanA=csionsAA=b22+bccsi2n-Aa2=b2+4c2S-a2.同理可证其它两式.这个公式刻画了三角形(非直角三角形)的三个角正切值与其面积、三边的关系.在解有关三角形正切问题中有着很广泛的应用.现举几例予以说明.例1(2005年天津卷理17题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和bc=21+3,求∠A和tanB.解由余弦定理得:cosA=b2+2cb2c-a2=bc2bc=21.故∠A=3π.由正切公式得:tanB=a2+4cS2-b2=4×21bcsin3πa2+c2-b2=2c23-bcbc=2c3-bb=2.bc3-1=3...