一道高考数学模拟试题的探究性教学

北京市朝阳区2007年高考数学第一次模拟试卷中有一道选择题: 已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,过点F2向∠F1PF2的外角平分线作垂线,垂线交F1P的延长线于N,则点N的轨迹是( ).     

从一道题谈起

最近,我听了一位教师课题为《曲线方程的求法》的一节课.其中一道例题:求圆心在(2,1),且与x2+y2?3x=0的公共弦所在直线过点(5,?2)的圆的方程.解由已知可设圆的方程为x2+y2?4x?2y+F=0.(1)又x2+y2?3x=0,(2)(1)?(2)得?x?2y+F=0.而直线?x?2y+F=0过点(5,?2),把(5,?2)代入?x?2y+F=0,得F=1.因此所求圆的方程为:x2+y2?4x?2y+1=0.评课会上,有人提出:(1)?(2)所得?x?2y+F=0一定是相交弦吗?若不是,它又是什么呢?本文就此展开讨论.不失一般性,设两个不同的圆22O1:x+y+D1x+E1y+F1=022(D1+E1?4F1>0).(3)22O2:x+y+D2x+E2y+F2=022(D2+E2?4F2>0).(4)(3…     

关于Fibonacci数列的求和公式

13世纪初,意大利数学家Fibonacci在一本题为《算盘书》的数学著作中,给出了著名的Fibonacci数列.它的许多有趣性质,引起了许多人的兴趣,不仅是因为它在数论、几何、概率、数据处理、信息检索等数学中有很多应用,而且在自然界和生活中也常见到它的影子.因此有人说:Fibonacci以他的兔子问题猜中了大自然的奥秘,而他的种种应用正是这个奥秘的不同体现.[1]本文将给出关于Fibonacci数列的若干求和公式.设{Fn}是适合条件F0=1,F1=1,Fn+2=Fn+1+Fn(n∈N)的Fibonacci序列,则有公式1　∑nk=0Fk=Fn+2-1.证明:由Fn的递归关系式得到F0=F2-F1,F1=F3…     

多项式因式分解的充要条件

定理多项式A·F~2+B·F+C能够分解为F的一次二项式MF+P与NF+Q之积的充要条件为B~2-4AC是一个整式的完全平方式。其中 F、A、B、C、M、N、P、Q都是整式,并且A=MN≠0。证明必要性。设 AF~2+BF+C能够分解为     

冯跃峰的一个猜想不成立

设n~a二10-+…+a:·10+a。为任一自然数,a。,…,a。为数码,a.转。,二任N,T(n)=a二+…+a石;现在记T:(n)=T(n),孔+:(n)=T(孔(n)),k=l,2,…,则T,(n)称为T的k次迭代.对于给定的r任N,以Q(r)表示迭代{几(n)}中的循环圈数,如Q(l)~9,Q(2)=z,Q(3)=9,冯跃峰猜想:对:eN,有Q(2:一1)=9,Q(25)=2. 这猜想是不成立的,例如:Q(4)一6而不是2.具体的循环圈是 {l},{1 634},{8208},(9474},{6514,2 178},{1138,4179,9219,13139,6725,4388,4514}. 〔编者附记〕冯跃峰这一猜想见《中等数学》1993年第2期《短论集锦》,后又收入杨之编著的《初等数学研究的问题与…     

数学奥林匹克初中训练题(73)

第一试一、选择题 (每小题 7分 ,共 42分 )1.实数a、b满足ab =1,记M =11+a2 + 11+b2 ,N =a21+a2 + b21+b2 .则M、N的关系为 (　　 ) .(A)M >N　　　 (B)M =N(C)M 相似文献   

题库(三十二)

1.如图1,△ABC是锐角三角形,矩形DEFG的顶点D,F在BC边上,G,F分别在AB,AC上,求证:S△ABC≥25矩形DEFG2.已知数列｛an｝中,a1=1/6,an+1=an+5(1/3)n+1(n∈N),求数列｛an｝的通项公式.3.椭圆的的两焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),直线y=4是椭圆的一条准线,(1)求椭圆的方程;题库(三十二)@苏林~~     

对《关于二元二次多项式能分解因式的充要条件》的一点商榷

将本文后面所列参考文献分别简称为文[1]、文[2]。本文中约定:1.在实数域(实平面)上讨论,2.F(x,y)为二元二次多项式: F(x,y)=ax~2+bxy+cy~2+dx+ey+f, 3.δ等分别表示下列行列式: 文[1]指出文[2]中F(x,y)能分解为两个一次因式之积的充要条件是错误的,并且说明了发生错误的原因。文[1]将文[2]的充要条件修改为(照文[1]中命题的编号):     

巧思妙解 化难为易

一、整体思维法整体思维法就是从整体去观察、认识问题,从而解决问题的思想.运用此法可以除去一些细节,使思维简捷,难度降低,使繁难的问题得到巧妙解决.例题:如图1所示,人站在平台上,人体重600N,平台重200N,如果站台上的人拉住绳使平台不动,那么他必须用多大力?解:把人和平台看作一个整体,受力分析如图2所示,整个静止,必受平衡力的作用即:2F+F+F=G人+C台∴F=1/4(G人+G台)=200(N)若用隔离法来解此题,那将是很复杂、麻烦,稍不注意,便易出错.二、逆向思维法逆向思维法就是一种打破常规的思维方式,克服思维定势,从相反方向思考问题,寻求简…     

函数不动点在解题中的应用(下)

2 .2　利用函数不动点解方程例 7　若α、β是二次函数F(x) =Ax2 +Bx +C的两个不动点 ,则α、β也是四次函数F(F(x) ) =A(Ax2 +Bx +C) 2 +B(Ax2 +Bx +C) +C的两个不动点 .证明 :由Aα2 +Bα +C =α ,Aβ2 +Bβ +C=β消去B、C ,可得F(x) =x +A(x-α) (x - β) .则F(F(x) ) -x=F(x) +A[F(x) -α][F(x) - β]-x=A(x -α) (x - β) +A[x +A(x -α)·(x - β) -α][x +A(x -α)·(x - β) - β]=A(x -α) (x - β) {[1 +A(x - β) ]·[1 +A(x -α) ]}.所以 ,α、β是F(F(x) )的两个不动点 .从例 7的证明中看出 :F(F(x) )的另两…     

一道例题的推广与应用

本刊1991年第6期《一道例题的推广与几何证明》一文,对高中《代数》(甲种本)第二册P91例8:求证2~(1/2)+7~(1/2)<3~(1/2)+6~(1/2),给出了推广:若0相似文献   

N_2~+离子在氮直流辉光放电中碰撞离解的作用

张连珠在《物理学报》2 0 0 3年第 4期撰文指出 ,采用氮辉光放电等离子体快电子和各种重粒子 (N+ 2 ,N+ ,Nf)的混合MonteCarlo模型 ,从不同放电条件的离解碰撞率 ,快原子态粒子 (N+ ,Nf)在阴极鞘层区的输运过程及轰击阴极的能量及角分布三个方面研究了N+ 2 +N2 →N+ +N +N2f反应在氮气直流辉光放电中的作用 .该过程在电压较高时为阴极鞘层区的重要离解过程 ,且主要发生在阴极附近 ,其碰撞率随电压和气压增加而增加 ;阴极表面附近的活性粒子 (N+ ,Nf)主要由该离解过程产生 (而不是e- -N2 离解电离过程 ) ,而且这些粒子具有中等的平均能…     

一道题的发散思维训练

20 0 3年 1月下半期《数学教学通讯》P76 周周练中有这样一道题 :点 B、C在线段 AD上 ,M是 A B的中点 ,N是 CD的中点 ,若 MN =a,BC =b,则 AD的长是 .安徽教育出版社的初一《几何基础训练》P16也有类似的一题 ,但是它给出了图形 :和被选答案 :( A) a +b.　　　　 ( B) a +2 b.( C) 2 a - b. ( D) 2 a +b.AD =AM +MN +N D=BM +MN +CN=( BM +CN ) +MN=( a - b) +a =2 a - b显然答案选 ( C) .周周练中给出的参考答案也是 2 a- b.笔者认为这道题作为未给图形的填空题答案不唯一 .可作发散思维的训练 .点 B、C在线段 AD上 ,B…     

求解相互作用力的一种方法

笔者在教学中探索、研究、总结出求解具有相同加速度的两物体间相互作用力的一般规律 ,现整理如下 ,供读者参考 .一、规律的推导问题　如图 1所示 ,A、B为两个并排紧贴图 1着放在光滑水平面上的物体 ,在水平恒力 F1、F2 的作用下做匀加速运动 .已知两物体的质量分别为m A、m B.那么 A、B间的相互作用力 N是多少 ?解析　由于 A、B两物体一起做匀加速运动 ,设其加速度大小为 a,同时设 F1>F2 .根据牛顿第二定律 ,得F1- F2 =( m A+ m B) a,1把 B隔离出来 ,则有N- F2 =m Ba,2由 1、2两式 ,得N=m AF2 + m BF1m A+ m B .这就是求解具有…     

《数学试题选译》部分解答或提示

1.(题见上期,这里只列题号,下同)(l)解x,==告〔(x+夕)“一(x“+,’)〕 =告(a“一b).’. xs+95==(x+万)(xZ+夕“一xg) =于a(sb一aZ)(2)提示‘(3)提示:先计算x一3二训了一l。二,_aZ+日2乡q凡决、一—十丁石一.一 以p _(a+日)2一Za日 一a日 (4)提示:可换成同以5为底的对数。 2.解G(n)==F(n+z)一F(n)=…(略)== n3一九2一2由此可知,当n是正整数时,G(:)是整数。由尸(旅+l)=G(n)+F(n)可得 F(n)==G(n一1)+F(n一1) 二G(n一l)+G(n一2)+F(n一2) =……二G(n一l)+G(n一2)+一 +G(1)+F(l). G(n一l)、G(n一2)、…、G(l),都是整数,F(1)=一7,.’.F(n…     

错在哪里

1.南京师大附中袁文形来稿题:Ax“+Bxg+C刀“+D二+E夕+F=0表示圆的充要条件是 (A)A=C,B=O, D’+EZ一4F>0; (B)A=C斗0,B=0, (C)A=C今0,B=0, D’+EZ一4F>0, (D)A二C.寺0,B=0,F=0。 答案是选C。 答案错了I错在哪里? 举一反例: 方程lo0x2+100夕2+6x+6夕+5=0,显粉符合(C),但它不表示圆。这个方程经配方变形后为(x。-1;。,‘+(,+,;。,2+2丝 5000二0,无轨迹。 《平面解析儿何》(甲种木)第77页指出:方程解+犷十Dx+百y+F=0,当刀“+E“一4F>0时,表示一个圆;方程Ax“+Bx万+C刀2+Dx十E分十F二O①表示圆的必要条件是A二C今0且刀=O。…     

对两道竞赛题的探讨

2004年重庆市初中物理知识竞赛(初二组)复赛试题第五大题:如图所示,A、B两长方体木块质量分别为mA=2kg,mB=1kg,用一根轻质弹簧把它们连接在一起,放在水平桌面上,用一个竖直向上的拉力F1作用在B上,A、B静止时A对地面没有压力(如图a所示),现改用与F1同样大小的竖直向下的压力F2作用在B上使A、B静止(如图b所示)。求b图中A对地面的压力的大小。(取g=10N/kg)参考答案:解设a图中弹簧产生的弹力为T1,根据物体的平衡条件对于A:T1=mAg=2kg×10N/kg=20N对于B:F1=mBg+T1=1kg×10N/kg+20N=30N设b图中弹簧产生的弹力为T2,A对地面的压力为F,…     

百分百生活

如果令英文字母A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S V W X Y Z分别等于百分之12345678910111213141516181920212223242526,那么什么能使得我们的生活变得100%的满呢?先看看我们通常认为非常重要并终日竭力追寻的那些因素吧1.Fortune(财富)/M oney(金钱)F+O+R+T+U+N+E=6+15+18+20+21+14+5=99%M+O+N+E+Y=13+15+14+5+25=72%2.K now ledge(知识)/D octor(博士)K+N+O+W+L+E+D+G+E=11+14+15+23+12+5+4+7+5=96%D+O+C+T+O+R=4+15+3+20+15+18=75%3.Love(爱情)/Lover(情人)L+O+V+E=12+15+22+5=54%L+O+V+E+R=12+15+22+5…     

数列教学拾零

数列既是传统的中学数学的重要内容 ,又与新增内容密切相关 .我们虽多次教过 ,但每教一次都有一些新的体会 .正是“学然后知不足 ,教而后常有悟”.下面我们把一些零星点滴体会汇报于下 ,与同行切磋 .1　关于数列 {an}前 n项和 Sn.若已知 Sn,求 an 时 ,一般是先计算 Sn -Sn-1 =f ( n) ,再验证 S1 与 f ( 1)的关系 .若 S1 =a1 = f ( 1) ,则对一切 n∈ N+ 均有 an =Sn -Sn-1 ,而若 S1 ≠ f ( 1)时需用分段表示式 an =Sn　　 ( n =1)Sn-Sn-1 ( n≥ 2 ) .实际上 ,这个检验过程可简化 ,若令 Sn =F ( n) ,只要 F ( 0 ) =0 ,则对一切 n∈ N+ …     

一道椭圆习题的解法与推广

设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两个焦点分别为F1、F2,过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交,其中一个交点为M(2,1);(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的一个顶点为B(0,-b),直线BF2交椭圆C于另一个点N,求ΔF1BN的面积.