谈“可解三角形”

两个趣题 1.对于等腰三角形的一个有名的命题“若三角形的某两角的平分线相等,则此三角形必等腰”。历来,多是采用“反证法”(归谬法)给予证明的,但很少去考虑如何用直接证法来给出它的纯几何证明。     

证明线段相等的思路小结

证明线段相等是平面几何证题中最重要的一类题型，它是平面几何证题的基石．学完四边形一章后，证明线段相等的基本思路已经确定，为了帮助同学们系统地掌握证明线段相等的基本思路和基本方法，在此我们作一小结，供参考．证明线段相等有如下基本思路：1．应用全等三角形，即证明两条线段是两个全等三角形的对应边。对应中线、对应高或对应角平分钱．2．应用等医王角形，即证明两条线段是等腰三角形的两医或两腰上的高或两腰上的中线．3．应用平行四边形，即证明两条线段是平行四边形的对边或是它的一条对角钱被另一条对角钱分成的两条线段…     

科学思维 合理推断

黄冈特高级教师联合编写的数学九年级(上)《课程过关一课一练》(与北师大版教材配套),第一章证明(二)有这样一道题：若一个三角形的三边均满足方程x~2-6x+8=0,则此三角形的周长为__．该题所给出的参考答案是10．笔者认为该答案不够全面,应该还有两个正确答案,现与广大师生商榷．一、题解题目要求推断三角形的周长,而三角形的三边长却没有直接给出,而是间接     

探究三角形“四心”到三边距离的等量关系

在北大自主招生（2012年）试题中,有这样一道题：若锐角△ABC的外接圆的圆心为O,求点O到此三角形各边的距离之比.在解决此问题时,笔者想到此三角形为什么限制是锐角,不是锐角结果会怎样？条件中的外心,变为三角形的内心、     

构造辅助圆巧解赛题

分析本题是求两条线段的积,常规思路是先证两个三角形相似,后利用相似三角形对应边成比例的性质求解,显然,此题中没有相似三角形,于是,变换思维角度,联想到与圆相关的相交弦定理,设法构造辅助圆求解．     

由一道复习题推出的问题和结论

初中几何第二册第114页复习题三的第3题,是一道有关三角形角平分线的习题,这道题揭示了三角形两个内角平分线的交角与第三个角的关系.如果将此题条件中的内角平分线换成外角平分线,会有什么结论呢?内角平分线的交角与外角平分     

一个新型三角形面积公式的教学探讨

在翻阅2009年益阳市中考试卷后,笔者发现在一道压轴题中,对三角形面积公式有进一步的延伸和拓展,它充分体现了类比、化归的数学思想．笔者对此题进行了教学研究,有一定的体会,在此作抛砖引玉．     

一道赛题引出三角形的一组优美结论

<正>2014年全国高中数学联合竞赛B卷第一试第4题:如果三角形ABC的三个内角A、B、C的余切cot A、cot B、cot C依次成等差数列,则角B的最大值是____.最近,笔者欣赏并解答完此赛题后,受益匪浅,深受启发,经过探究,得到如下三角形的一     

用焦点三角形面积公式速解高考题(高二、高三)

我们把以椭圆(或双曲线)上任一点和两焦点为顶点的三角形称为椭圆(或双曲线)的焦点三角形.在近年高考、竞赛中几乎都有涉及到焦点三角形的客观题,同时还发现此三角形面积起了核心作用,下面加以介绍.     

怎样证明两条线段相等─—证明线段相等的基本思路小结

证明线段相等是几何证明中最重要的一类题型，它是几何证明的基石．学习几何，一定要牢牢掌握证明线段相等的基本思路和基本方法．初二同学学完《相似形》一章后，证明线段相等的思路和方法已基本确定，为了帮助初二同学系统而牢固地掌握证明线段相等的基本思路和基本方法，我们在此作一小结，供同学们参考．证明线段相等有下列基本思路：1．利用全等三角形，即证明两条线段是两个全等三角形的对应边、对应中线、对应高或对应角平分线．2．利用等腰三角形，即证明两条线段是等陪三角形的内腰、两腰上的高、两腰上的中线或两年角的平分线，或…     

涉及一元二次方程的几何题

涉及一元二次方程的几何题,其实就是将一元二次方程的知识与三角形、四边形等简单几何图形的性质相结合进行考查.解题时,同学们需要根据具体的情况来确定求解思路,求解时还需注意题中的隐含条件,如告知某三角形的两边长是某一元二次方程的根时,这时我们可以获得以下有用信息:此一元二次方程有根,且它的两根都为正数.     

什么样的三角形可以分成两个等腰三角形

华师大版数学教材七年级(下)第86页习题8.3第5题“有两个三角形,它们的内角分别为:(1)20°,40°,120°;(2)20°,60°,100°,怎样把每个三角形分成两个等腰三角形?画出图形,试试看.”将此题从特殊推广到一般,可变为:?ABC满足什么条件时,可以分成两个等腰三角形?若一个三角形可以     

梯形中的常见辅助线

梯形是只有一组对边平行的特殊四边形。这部分知识主要应用于证明有关线段相等、倍半以及计算角度和线段长。解决这些问题除了要准确地掌握有关的基本概念和基本定理外 ,关键是掌握将梯形转化为平行四边形和三角形问题的分析方法。一般说来 ,处理梯形问题的基本思路是通过添作适当的辅助线 ,把梯形转化为平行四边形和三角形。根据题设条件的不同 ,具体转化时常用到以下几种辅助线 :一、平移一腰或两腰 ,将问题转化为平行四边形和三角形问题。例 1.已知 :如下图 ,四边形ABCD中 ,AB=DC,AC=BD,且AD≠ BC。求证 :四边形 ABCD是等腰梯形…     

《三角形》填空题漏解例析

部分同学由于考虑问题不周全，解题时常发生漏解现象．下面几道填空题是从部分同学的《三角形》一章练习中搜集而来，每题的填空中都有遗漏且这种遗漏具有普遍性．读者看完题目后不妨先想一想：这些题错在哪里？正确答案又是什么？例１若一个三角形的三条高中有两条不在三角形内，则此三角形是钝角三角形．分析三条高有两条不在三角形内，有可能在三角形外（钝角三角形）或恰好是它的两条边（直角三角形）．解题者受“不在……内”则“在外”常规思维定势的影响，而致使考虑问题不周全．正确答案为“钝角三角形或直角三角形”．例２直角三角…     

边根综合的探究纪实

美国著名的数学家G波利亚曾指出:“学习任何东西,最好的途径是自己去发现”,德国教育家第斯多惠说:“一个坏教师给学生奉献真理,一个好教师则引导学生发现真理”。在学习一元二次方程解直角三角形时,为了培养学生探究实践,曾开展“边根综合的探究活动”,师生受益不少,感受颇深。本文撷取片断,以飨读者。2004年襄樊市中考模拟题中有这样一题:若一个三角形三边长均满足方程x2-6x+8=0求此三角形的周长。方程x2-6x+8=0根是x1=2,x2=4当三角形为等腰三角形(底与腰不等)时,三角形的周长为4+4+2=10.当三角形是等边三角形时,三角形的周长为12或6。类…     

三角形面积比定理的应用

我们知道,若一个三角形的一个角与另一个个三角形的一个角相等,则这两个三角形面积的比等于夹此角的两边乘积的比(特例:相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方)。应用这一定理,可使关于三角形面积的一类问题获得简捷证明,兹举例如下: 例1 如图1,S是等腰三角形ABC的腰AB上的任一点,R为腰AC延长线上任一点,M为RS的中点。过M作BC的平行线分别交AB、AC的延线于P、Q,若PM·MQ     

巧解梯形证明题

梯形是与平行四边形并列的一种特殊的四边形 ,是初中几何中最基本的概念之一。对这部分内容 ,人们往往采用转化方法 ,把梯形问题转化为三角形或平行四边形来解决。转化的过程中 ,常常涉及到一些引辅助线的方法和技巧。在学习中灵活运用 ,是会起到事半功倍的效果的。有关梯形的辅助线的引法是多种多样的 ,主要有下面 8种 :(1)平移一腰、平移对角线———构造平行四边形和三角形。(2 )延长两腰相交———构造三角形 (相似三角形 )。(3)过顶点作高———构造直角三角形和矩形。(4)过梯形一腰中点作另一腰的平行线与两底 (或延长线相交 )———…     

1989年第2期问题

181.求证:梯形两条对角线的平方和小于它的四条边的平方和。(安徽黄全福供题) 182.三角形外接圆上任一点到三个顶点的距离平方和为常量,求证此三角形是正三角形。(山东汤永臣供题) 183.设两锐角x、y适合sin~(10/7)x sin~(13/3)y=sin~3(x y),求证x y为锐角。 (江西漆效群供题)     

悟透本质 解题游刃有余——对一道竞赛题的探究

由中国教育学会中学数学教学专业委员会组织的"‘《数学周报》杯’2007年全国初中数学竞赛"最后一题(第14题)为,证明:对任意三角形,一定存在两条边,它们的长u、v 满足1≤(u/v)<(1 5~(1/2)/2).此题组委会给出的参考答案如下.证法1:不等式左边显然成立,下面证明不等式的右边成立.(注:此句为笔者所加)     

用面积法证线段问题

三角形中的线段关系问题,是初中几何中最常见的问题,这类问题往往可以用面积法解决,因为三角形的面积总是与其中的线段直接相关的.例1如图1,已知等腰ABC中,BD、CE为两腰上的高,求证:BD=CE.分析等腰三角形的两腰相等,而同一个三角形的面积可以通过两腰上不同的高来分别表示,于是