由一道数学竞赛题引出的新题

一、一道数学竞赛题引出的问题 1984年3月,在重庆市数学竞赛的预选赛中有这样一道题:“已知△ABC中,b=6,a≤b≤c,且三角形三边的长均为正整数,求满足此条件的三角形的个数.”我的做法是利用三角形两边之和大于第三边的基本关系,将满足题给条件的三角形一一列于表1,由表1可立即得三角形的个数为     

由一道竞赛题引出的两个新结论

1996年全国高中数学联赛第二试平面几图 1何题是 :如图 1,圆Ｏ1和圆Ｏ2与△ＡＢＣ的三边所在直线均相切 ,Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ为切点 ,并且ＥＧ、ＦＨ的延长线交于Ｐ .求证 :直线ＰＡ与ＢＣ垂直 .这道题有许多证明方法 ,已被大家广泛发掘 ,此处不再重复 .利用这个竞赛题的结论并借助一些熟知的定理 ,我们得到与三角形的旁切圆有关的两个新结论如下 :命题　设△ＡＢＣ为不等边三角形 ,∠Ａ内的旁切圆分别与边ＡＢ和ＡＣ切于Ａ3 和Ａ4,直线Ａ3 Ａ4与直线ＢＣ交于点Ａ1,相仿地可定义Ｂ3 、Ｂ4、Ｂ1和Ｃ3 、Ｃ4、Ｃ1.又设直线Ａ3 Ａ4与Ｂ3 Ｂ4交于点…     

由锡瓦定理引出的定理系及其应用

本文用平面几何和立体几何综合证法概述锡瓦(Ceva)定理引出的定理系,从而把三角形的重心、垂心、内心、旁心统一成三角形的广义重心,把相应的诸线统一成三角形的广义中线,回答了中学生关于“三角形为什么有那么多种三线共点?”一类问题。我们还将发现,只要对四面体类似地定义其广义中线和广义重心,则对于四面体也存在有类似于三角形的判断诸线共点的充要条件。定理1.(锡瓦定理)设 D、E、F 分别是三角形三边 BC、AC、AB 上的定点,则 AD、BE、CF 共点的充要条件为     

一道竞赛题引出的思考

1 问题的提出 2009年浙江省高二化学竞赛试题第一题选择题: (1)右图画面正中的学者,因为在稀土萃取领域的惊人成就被誉为"稀土界的袁隆平";2008年,他荣获中国科技界最高荣誉"国家最高科学技术奖",他的名字是( )     

一道竞赛题引出好结果

第三届“缓云杯’,初灯级数学邀请终有一道判断正误的题: 了丽s石又igs7x lgssx 1989+z不是整数。 ()。 由了一丁又豆灭万灭j刃re=5. 进一步观察(叹N): 了n(,:+z)(。+2)(。十3)+1 ”了而2干息云丽林3,:+2)+i =了一肠“干3司“瘫(。“一卜息两千r =”2+3儿十1. 由此可得结论: 四个连续整数的积加1是个完全平方数. 由(解十3。十2)一(。“+3。)二2,我们提出猜想: 一个完全平方数当且仅当它可以表成相差为2的两数之积与l的和. 即:a(a+2)+]=(a+i)气 这个结论简单.有趣,易记.应用起来也很方便. 例1(1988年全国高考上海试题)方程4’一2‘+‘一8=。…     

由一道竞赛题谈起

题目：设函数f（x）具有如下性质：f（3x）=3f（x）对于所有的正实数x都成立，且f（x）=1-｜x-2｜（1≤x≤3）。试求满足f（x）=f（2001）之最小值。（第十九届美国数学邀请赛第8题）     

一道竞赛题的误解引出的思考

某初中数学邀请赛有一道试题:“k为何值时,方程(k~2一1)X~2一6(3k一1)x 72=0有两个不等的正整数根.”先请看标准答案:gb—3士(3k—9)“当k’一140,即k4士1时,x一——,—“-“”-k?一112 6.___、.,__即x;一_,.;一_.”.”x1、x.是止数,”.h 1>0只一’‘“h 1”~hi””“”“.——..,··.l—v—k—l>0,’.k>1,义”.”xI、x.为正整数,’.k 1 fi k—1分别能整除u和6,即可取在一2或足一3.当h一3时.、r一x.一S,不合题意舍去.当h一2时,方程有两个不等正整数地.一4,.;一6.”.k—2、’     

由一道竞赛题想到的

题目 如图1,在正方形ABCD中,已知E、F分别是边BC、CD上的点,满足EF=BE＋DF,AE、AF分别与对角线BD交于点M、N,求证：     

由一道竞赛题想到的

<正>在江苏省第二十一届初中数学竞赛初三第2试试卷中,有这样一题引起了我的思考,现在我们只研究它的第一问.题1如图1,ABCD为正方形,⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P,分别交AB、AD于点F、E.     

一道竞赛题引出圆锥曲线的若干个性质

笔者在解2011年全国高中数学联合竞赛一试第11题:"作斜率为1/3的直线l与椭圆C:x2/36+y2/4=1交于A,B两点,且P(3√2,√2)在直线l的左上方. (Ⅰ)证明:△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上; (Ⅱ)若∠APB=60°,求△PAB的面积."     

由一道竞赛题引发的思考

最近 ,笔者在阅读文 [1 ]时 ,看到如下问题 :例 1　对所有正实数ａ、ｂ、ｃ,证明ａａ2 8ｂｃ ｂｂ2 8ｃａ ｃｃ2 8ａｂ≥ 1 .①这是第 4 2届国际数学奥林匹克试题第 2题 ,文[1 ]并未给出证明 .这道三元无理分式型不等式 ,外形对称、简明优美 ,从而引起了笔者对它的研究兴起 .在课余 ,我们将此题展示给高二学生和部分数学教师 ,希望能够找到证明方法 .十多日 ,他们给出的证法 ,或直接用三元均值不等式 ,或构造二次不等式 ,如此等等 ,经一一检验发现都有失误 ,其本质原因是“缩小过头” .经过多次探索 ,我们寻找到如下途径 :( 1 )换元…     

由一道竞赛题引发的思考

<正>题目求证:对任意实数a>1,b>1,有a²/b-1+b2/b-1+b²/a-1≥8.这是一道第26届独联体数学奥林匹克试题.本题看似结构简单,但却蕴含着丰富的资源和信息,本文将围绕这个题目展开思考,借以探讨数学问题研究的角度和维度.1考虑问题的解决方法对于分式不等式,最常规的证明方法是去分母,但作为竞赛题的解决,这个思路一般是不胜其烦或难于奏效.竞赛中的分式型不等式问题的证明,常用的     

由一道竞赛题引起的思考

正~~     

一道由化学引出的数学题

近期做到这样一道化学题; 将含1 mol NH_3的密闭容器A加热,部分NH_3分解,并达到平衡。此时,NH_3的体积分数为x;若在该容器中加入2 mol NH_3后密封,加热到相同温度,使反应达到平衡,此时NH_3,体积分数为y,则x,y正确关系是     

由一道中考题引出的思考

先看2009年湖北省咸宁市的一道中考题： 问题背景：在AABC中,AB、BC、AC三边长分别为、√5、√10、√13,求这个三角形的面积．     

由一道习题引出的结论

这是布置给学生的一道作业题，学生完成得不好，所以笔者准备仔细讲解．     

由一道例题引出的争论

前不久，笔上了一节公开课。内容是教学“比例尺”。引入课题后教学课本例4：设计一座厂房，在平面图上用10厘米的距离表示地面上10米的距离，求图上距离和实际距离的比。     

由一道中考题引出的刍议

题目 D是△4船边上的点,要使△以cD∽△AljC,则它们还必须具备的条件是( ). (A)AC;CD=AB l BC (B)CD l AD=BC;AC (C)CD。=AD·DB .(D)AC产一AD·AB 标准答案是D. 本题是几何课本第二册P35例3的变式题,本是逆向思维的一道好题,但由于试卷上无图形及文字叙述上的关系,就产生如下的疑问: 众所周知,选择题的题干和选择支合起来是一个完整的命题.所以,上述试题中“还必须具备的条件”是指命题成立的必要条件(对于本题其实是充分条件).现在问:(A)、(B)、(c)、(D)四个选择支是否是△4cD∽△A及?的必要条件? 几何课本指出,“在证…