四面体的几个新性质

四面体是三角形在空间的推广,因此三角形的许多性质可以推广到四面体上去. 本文以向量为工具,把三角形的余弦定理、勾股定理以及"在直角三角形中,30°的角所对的边是斜边的一半"等4个定理推广到四面体上.     

直角四面体的几个性质

<正> 一个四面体P-ABC,若PA、PB、PC两两垂直,则这个四面体可称为直角四面体(如图1),这与平面几何中的直角三角形类似. 对直角四面体P-ABC,有 (1)S2PAB+S2PAC+S2PBC=S2ABC; (2)△ABC是锐角三角形. (3)设三个直角面PAB、PBC、PAC与面ABC所成的二面角的大小分别为α、β、γ,则     

一个四面体的两个性质

在平面几何中，我们常常借助一些基本图形帮助解决问题．同样，我们在解决立体几何问题时，也需要借助一些基本图形(如正方体、长方体等)．为此，本文介绍立体几何中一个较为特殊的四面体所具有的两个性质，这两个性质在求解有关空间问题时十分方便．     

四面体内心的两个性质

文[1]对三角形内心的性质做了探讨,得出了如下两个命题： 性质1 设△ABC的三个顶点A、B、C所对边长分别为a、b、c．已知I为△ABC的内心,过I作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,     

关于四面体的几个定理

本文在三角形的边角关系和解三角形理论的启示下,从数量关系方面对四面体的性质作一些探讨,给出几个定理。在四面体ABCD(图1)中,记顶点A所对的面△BCD的面积为S_A,顶点B所对的面△ACD的面积为S_B,……;将二面角A-BC-D记作二面角BC,将二面角B-AC-D记作二面角AC,……;设棱长BC=a,CA=b,AB=c,DA=a_1,DB=b_1,DC=c_1;将长为a和a_1的一双对棱所成的角记作(a a_1),它们之间的距离记作d(a a_1),长为b和b_1的一双对棱所成的角记作(bb_1),它们之间的距离记作d(bb_1),     

椭圆的几个新性质

笔者通过对椭圆的研究，得到了几个性质，现论述如下．     

几种特殊四面体的判定及其性质

四面体是立体几何的重要概念,为充实传统的立体几何教材,本文试将具有某些特征的凸四面体分类后,讨论其判定和性质。     

关于四面体中线的几个不等式

四面体是一个特殊的三棱锥,它有许多优美的性质,很多文章对它都有论及,本文给出关于四面体中线(四面体顶点与其对面重心的连线段)的几个优美不等式,以飨读者.如图1设四面体 A_1A_2A_3A_4的中线分别为A_1G_1,A_2G_2,A_3G_3,A_4G_4,棱长分别为 a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6.则有     

谈四面体的几个不等式关系

定理1:设四面体中同一个顶点引出的三条棱两两所成的角分别为a、凡s,n万十“,ny,则月、 ya二y、s,n万,s‘n万十“,n万2,5 In y_sln气犷声> 乙 sina sin夕>siny,5 iny>sina.口2’sina siny)sin月, 夕一2夕一2扩 证5 in刀10如图(l)所求, 因此,无论a,p,y在允许值范围内取什么值,sina sin尹>siny都成立· 同理可证:sina siny>sin夕,sin尹 siny>sina成立.〔证毕〕 定理2:以四面体同一顶点上的三条棱为棱的二面角分别记为A、B、C,则 sinA sinB>sinC,sinA sinC>sinB,sinB sinC>sinA.匕ASB~a,乙刀SC~尹,艺CSA~y.在棱SA上取S刃~1.在SB上…     

四面体重心的性质

四面体重心的性质陕西省武功县５７０２厂中学王丕直杨明皓四面体作为空间图形，应有四种重心：（ｉ）顶点集合的重心；（ｉ）棱集合的重心；（ｉｉ）表面图形的重心；（ｉｖ）几何体的重心．与三角形的情形相一致，四面体的体积重心与顶点重心相重合，简称为四面体的重心...     

有关直四面体中的几个结论

<正>有一种特殊的四面体,它的同一顶点上的3条棱两两垂直,我们不妨将其称之为直四面体,含直角的面称为直角面,不含直角的面称为斜面.     

四面体内心与旁心的两个性质的推广

正文[1]给出了四面体内心与旁心的两个性质,读后很受启发,笔者经过进一步探索得到了四面体两个更一般的性质.为了行文方便,先给出如下一个引理:引理1°[2]设O为四面体ABCD内任一点,用VA、VB、VC、VD、V分别表示四面体O-BCD、O-CDA、O-DAB、O-ABC、ABCD的体积(下同),则VA·→OA+VB·→OB+VC·→OC+VD·→OA=0.     

关于几个广义凸函数的新性质

E 凸函数、半 E 凸函数、拟 半 E 凸函数及伪 半 E 凸函数都是对凸函数的推广 ,即它们都是广义的凸函数。在文献 [1,2 ]中 ,二位作者已经得出一些重要的性质 ,本文在此基础上又得出了这些函数的一些新性质。     

直角四面体的若干性质

我们称三条侧棱两两互相垂直的四面体叫直角四面体，直角四面体具有对棱互相垂直且顶点在底面的射影是底面三角形的垂心等性质，在教学中发现这种四面体还具有一些美妙独特的性质，现归纳如下，仅供参考。     

任意四面体的一个性质

在平面几何中，过平行四边形对角线交点的任一直线必将此平行四边形分成等面积的两部分．本文将给出立体几何中关于任意四面体的一个类似性质．定理在四面体ABCD中，E、F分别为相对棱BC、AD的中点，则过E、F两点的任一个平面必将此四面体分成等体积的两部分．证由于E是CB之中点，所以C、B到平面EPFQ的距离相等．这里EPFQ是过E、F的任一平面，且交CD于P，交AB于Q，交BD延长线于G，如图所示．设四面体ABCD的体积为V，由平几中的梅氏定理得：由①②知：平面EPFQ平分四面体的体积．当平面QEPF与BD平行时结论显然成立．综上…     

等腰四面体的若干性质

文[1]第十八讲对于判定一个四面体是否为等腰四面体，给出了非常漂亮的结论如下：对于四面体来说，下列条件是互相等价的：     

关于四面体的一个性质

四面体是较为简单的几何体，笔将它与三角形的有关性质进行类比，得到一个有价值的结论．     

四面体内心与旁心两个性质的简单证明

设四面体A1A2A3A4的体积为y，内切球半径为r，顶点Ai所对的侧面f1（三角形）的面积为△i（i=1，2，3，4），顶点Ai。所对旁切球半径为ri，旁心为Ii（i=1，2，3，4），四面体A1A2A3A4的内心为I。最近文献[1]中获得了四面体内心与旁心如下两个重要性质。     

直角四面体的一个性质

对应于平面几何中的三角形,立体几何中最简单而又重要的图形是四面体。如果一个四面体有一个直三面角,我们称它为直角四面体,直三面角的顶点称为直角四面体的直角顶点。直角四面体作为特殊的四面体,我们常把它与特殊的三角形——直角三角形进行类比。 我们知道,对于直角三角形,它有外接圆,其圆心在斜边的中点,半径是斜边的一半。那么,对于直角四面体,它是否存在外接球,若存在,球心在何处,半径是多少?下面的命题回答了这个问题。     

一类特殊四面体的性质

三对对棱彼此互相垂直的四面体,称为对棱垂直的四面体．它是一种特殊的四面体,有它特殊的性质．本文将给出此类特殊四面体的一些性质,供大家参考．