弦中点轨迹问题小结

解析几何中的轨迹问题是高中数学的难点之一，高三复习时我们应该通过变换对这类问题进行比较、归纳，提高复习效率．下面是对弦中点轨迹问题的探讨．     

圆锥曲线的弦的中点轨迹问题

圆锥曲线是我们生活中常见的曲线.圆锥曲线知识在生产生活中有着广泛的应用,它是高中数学的重要内容,也是高考要考查的重要内容.本期特刊登4篇关于圆锥曲线的文章,以帮助同学们学好圆锥曲线知识.     

圆锥曲线中弦的中点的轨迹问题

圆锥曲线中由“弦”展开的问题层出不穷，高考中常见的有：弦长问题、与弦的中点有关的对称问题、弦的中点的轨迹问题等．这些问题集中展示了解析几何的主要解题思想和方法，综合考查了直线与圆锥曲线的位置关系等解析几何的主要内容，因而倍受高考青睐．其中弦长问题、与弦的中点有关的对称问题，已被大家熟知，本文欲对其中的“弦的中点的轨迹问题”做一解法归类．     

圆锥曲线弦中点轨迹题型赏析

解析几何中弦中点的轨迹主要有以下三类：①过定点的弦中点;②斜率为定值的平行弦中点;③长为定值的动弦中点,下面予以展示。     

二次曲线的弦的中点轨迹

这类问题已有一般解法,本文拟分三种情况讨论。一、求平行弦的中点轨迹例1.已知椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0),求斜率是k的平行弦的中点轨迹。解设弦的两端点为P_j(x_j,y_j)(j=1,2),中点为P(x,y)。则有     

圆锥曲线弦中点轨迹的探讨

<正>1引入例1:直线l过抛物线y²=4x的顶点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例2=4x的顶点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例²:直线l过抛物线y2:直线l过抛物线y²=16x的焦点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例3:直线l过(0,4)点,与抛物线x2=16x的焦点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例3:直线l过(0,4)点,与抛物线x²=8y相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。分析上述三个例题的轨迹方程,得到如下结论:过抛物线内对称轴上一定点(包括顶点)的直线截抛物线所得弦中点的轨迹是一条以该定点为顶点,通径为原抛物线的一半的抛物线,且所得抛物线开口方向和对称轴与原抛物线相同。     

二次曲线中点弦方程和弦中点的轨迹方程

求二次曲线以已知点为中点的弦的方程和弦的中点轨迹问题,已有不少文章论及,提出了许多不同的解法。本文从直线与二次曲线族的位置关系出发,也对这类问题进行一些探讨。一、二次曲线以已知点为中点的弦的方程我们知道,若直线l与圆心为O,半径为r的圆相切于P点,则任一以O为圆心,半径大于r的圆截l所得的弦都以P为中点。故给出点P(x_0,y_0)(异于原点)和圆x~2 y~2=R~2,当R~2>x_0~2 y_0~2时,要求以P为中点的弦所在直线的方程,只须在以原点为圆心的圆族x~2 y~2=r~2内,求出圆x~2 y~2=x_0~2 y_0~2在P点的切线方程即可,其方程为x_0x y_0y=x_0~2 y_0~2,即     

等差数列与弦的中点轨迹问题求解评析

本刊’95第10期《求弦的中点轨迹方程的几种方法比较》一文中,举例说明求二次曲线弦的中点轨迹方程的四种方法,并对各种方法优劣进行比较和评析。笔者站在另一个角度给出此问题的第五种解法,它和上述四种方法比较将更有优越性。     

关于求相交弦中点轨迹问题的教学

高中《解析几何》中有不少涉及直线被圆锥曲线所截得的弦即相交弦的问题。求相交弦的中点轨迹问题通常分以下两种情形考虑。 1.选取非中点的已知点为直线通过的定点。这时的解法通常是:设出通过已知点的直线的标准参数方程,并代入圆锥曲线方     

二次曲线弦的中点轨迹的求法

求动弦的中点轨迹,历来都是高考的重点、难点,也是热点.本文介绍三种解法、思路新颖、清晰、解法简捷、达到化繁为简,化难为易目的.1用中心对称求二次曲线弦的中点轨迹我们知道,圆锥曲线1C:F(x,y)=0,关于点00M(x,y)中心对称的曲线2C的方程是:00F(2x?x,2y?y)=0.若曲线1C和2C相交     

弦的中点轨迹的简便求法

本文介绍一种想法直观、演算简便、易于掌握的解法——坐标转换法，以供参考。基本思想：直接设弦的中点坐标为P(x，y)，将中点坐标(x，y)转移到已知圆锥曲线上去考虑。     

双参数法与弦中点轨迹

求满足一定条件的圆锥曲线的动弦中点轨迹是解几中的难点,通常的解法是将动弦参数方程与圆锥曲线方程联立,消去x(或y),得到关于y(或x)的一元二次方程,再利用韦达定理求出动弦中点坐标,最后消去参数,即得所求动     

圆锥曲线弦的中点轨迹的探求

在圆锥曲线中,已知弦长,求中点的轨迹方程是解析几何中比较棘手的问题,解题的方法虽多,但运算过程繁琐复杂,学生往往难以入手.本文归纳一种解题方法——角参变量法,找出抛物线、椭圆、双曲线中这类题型的共同规律,使运算简捷明了,学生也易于掌握和运用.所谓角参变量,指的就是弦AB与x轴正向的夹角α:0≤a<π.具体用法通过例题来介绍.     

圆锥曲线定长弦中点的轨迹方程

本通过几个定理给出圆锥曲线定长弦的中点的轨迹方程。     

中点弦问题探究

直线和圆锥曲线的位置关系是高考的重点内容,中点弦问题是其中的一类问题,解决这类问题简便有效的方法是"点差法",其基本原理如下(以椭圆为例).     

“圆锥曲线平行弦中点轨迹问题”说题

"说题"是近年来涌现出的一种新型教学研究模式.简单地讲:说题是执教者或受教育者在精心做题的基础上,阐述对习题解答时所采用的思维方式,解题策略及依据,进而总结出经验性解题规律."说题"使教研活动更入微了,可以说是教研活动的一次创新.一般说来,说题应从以下几个方面进行分析:数学思想与数学方法,命题变化的自然思维,小结、归纳与应用,一题多解、发散思维,常规变式,多种变式、融会贯通,从特殊到一般寻找     

关于二次曲线弦的中点轨迹的范围

本刊86年第3期《二次曲线中点弦方程和弦中点的轨迹方程》一文例3“过点P(0,1)作直线与抛物线y~2=x相交,求被抛物线截得的弦的中点的轨迹的方程”的答案中说轨迹是抛物线(y-1/2)~2=1/2(x 1/2)位于已知抛物线y~2=x内且在x轴下方的那一段     

二次曲线的弦的中点轨迹导数求法

二次曲线的弦的中点轨迹的求解方法可以用代入法、几何法、直线参数方程法等,但这些方法有时比较麻烦。可以利用微分中值定理、导数公式和隐函数求导数法则,求解二次曲线的弦的中点轨迹。     

平面内与两条直线都相交弦的弦中点轨迹问题

在解析几何中,中点弦问题是一个很常见很重要的问题.中点弦问题通常用“点差法”求解,也可以列方程组,用韦达定理求解.反过来,如果弦满足某些条件(斜率是定值、经过定点或弦长为定值等),与两条相交直线都相交的弦的中点的轨迹方程是什么?轨迹是什么?这是一个值得探究的问题.