巧证不等式

不等式的证明在高考及国内外的数学竞赛中都是比较常见的题型，可谓千姿百态、精彩纷呈。但有些不等式用常见的方法(如比较法、分析法、综合法和反证法等)证明相当繁琐，甚至根本证不出来。因此，恰到好处地利用一定的技巧，是证明较为杂、繁的不等式的关键。为此，这里介绍几种证明不等式的技巧，仅供参考。     

巧证平均不等式

平均不等式 :若ａ、ｂ、ｃ均为正数 ,则ａ +ｂ+ｃ≥ 33 ａｂｃ,当且仅当ａ =ｂ=ｃ时 ,取“ =”号 .教材上已给出一种证明方法 ,笔者再给出如下一种简捷证法 ,供读者学习时参考 .证明　由ａ、ｂ、ｃ均为正数 ,得ａ+ｂ +ｃ+3 ａｂｃ=(ａ+ｂ) +(ｃ+3 ａｂｃ)≥ 2ａｂ +2ｃ· 3 ａｂｃ=2 (ａｂ+ｃ 3 ａｂｃ)≥ 4ａｂ·ｃ 3 ａｂｃ=4 4 ａｂｃ 3 ａｂｃ=44 3 ａ4ｂ4ｃ4=4 3 ａｂｃ .∴ａ +ｂ+ｃ≥ 33 ａｂｃ.以上证明中等号成立 ,当且仅当ａ =ｂ,且ｃ =3 ａｂｃ,ａｂ =ｃ 3 ａｂｃ ,即巧证平均不等式@徐有林$云南省巧家县第一中学!654600…     

巧证数列不等式

数列不等式的证明,在许多资料、练习册上频繁出现,它的证明方法一般都是采用放缩法和数学归纳法．而放缩法的技巧性太强,大部分高二学生难以掌握,数学归纳法又是高三选修内容,高二学生更是不可能用．那么怎样证明此类不等式呢？下面仅以两例说明,供参考．     

巧证一类不等式

丈我们知道:当a。成立即可,要能证己知黔<瓮<就<…<之,“所例i已知{a}<1,}blO川JllJ。不一气一1夕={〔(a。乙,一a,b。) (a。b:一a:乙。)证明:令ab则 …,(a。b。一,一a。一;…     

构造函数巧证不等式

构造思想方法是一种富有创造性的数学思想方法,纵观近几年高考题与竞赛试题,凡涉及与不等式有关的证明题,不仅综合性强,而且思维量大,直接证明相当繁杂．构造辅助函数证明不等式的关键是根据命题中题设条件的特征构造相应辅助函数,通过求导判断函数的单调性,利用函数的单调性进行证明．本文举例探讨构造辅助函数,利用函数的单调性证明不等式．     

构造函数巧证不等式

有些不等式的证明问题若能合理地构造函数来解,往往能收到意想不到的效果,今举几例. 例1 已知a2 ab ac<求证:b2>4ac. 证明:构造函数f(z)=a2x2 abx ac. 由已知a≠0,抛物线开口向上. 又即b2>4ac. 例2 设a>b>c,且     

不等式活题巧证

什么样的题才算活题?其实活题没有标准。因为知识结构和知识层次的差别，所以“活”也就成了一个相对的概念，下面这些题，对于你来说，能称得上“活题”吗?     

构造法巧证不等式

所谓构造法就是综合运用各科知识,根据问题的条件和结论给出的信息,将题目中的条件、结构经过适当的逻辑组合而构造成一种新的形式,即构造新的数学模型,从而使问题得到解决,至于如何构造,怎样构造,一般因题而异.下面就如何用构造法证明不等式,作一阐述.     

利用一次函数巧证不等式

在证明不等式的过程中，放缩有着极大的技巧性，有些和式不等式的证明可以利用构造函数的方法，将已知函数与一个一次函数比较，让它在某处的数值与一次函数相等，达到有效的证明．本文从近年来国内外数学竞赛中列举数例，以飨读者．[第一段]     

巧代换证一个不等式

文[lj有如下不等式: 设a,b.‘是正数,证明 了a乃(a 办) 了l,c(。 。) 了e。(‘ 。) >了(a 占)(乃 ‘)(‘ a). 证明:设二~a十b,y~b十‘,二一‘ a.则以x,y,z为边可组成一个三角形ABC,在此三角形中,.A厅二石玩 艺V艺同理可得:丫石不气耳而丫石丁端是石而 一一召一2 一一e一2 n S因为在三角形ABC中, A二B二C_s一n~或尸十sln下~十sln刃了声夕1. 乙‘乙所以丫万万丁斋~而 丫而轰干丽十丫砰揣汗丽>1·两边同乘/(。 占)(吞 c)(c a)即得:石蔽不而下 石欲万平不 石蔽万不石了巧代换证一个不等式@邓重阳$杭州第四中学高中数学组!310002~~1 苏…     

妙用判别式 巧证不等式

判别式在中学数学中占有十分重要的地位,它是等式与不等式相联系的重要桥梁,若能在解题过程中巧妙地运用,就能给人一种简单明快、耳目一新的感觉.而运用判别式的核心是在于能否合理地构造二次方程或二次函数.下面结合不等式的证明例谈判别式的应用.     

应用几何图形巧证不等式

不等式的证明作为证明的重要内容,经常可以在各类数学考试、竞赛中见到．由于数学符号的抽象性,证明方法往往不易想到,但若能结合不等式的特征,联系能够反映不等式特征的几何图形的性质,就可将不等式中的抽象数量关系用图形表示出来,利用图形的几何性质得到不等式的证明．下面举出几个学习过程中的例子加以说明．     

构造函数模型巧证不等式

函数是贯穿中学数学的主要内容,不等式也是中学数学的重要内容之一.对于一些不等式的证明问题,可以通过转化、类比等方式,合理构造函数模型,从而巧妙地解决问题.     

构造几何图形巧证不等式

<正>一些不等式的证明,看似简单,但却往往无从下手,很难找到切入点。这时我们不妨变换一下思维角度,从不等式的结构和特点出发,在已学过的知识的基础上进行广泛的联想,构造一个与不等式相关的几何模型,实现问题的转化,从而使不等式得到证明。下面通过举例加以说明。     

一类不等式的巧证

利用“等号成立条件”证明一类具有轮换对称式的不等式,会给人带来一种“出奇制胜”的美的感受. 例1 若a、b>0,且a+b=1,求证: (2a+1)~(1/2)+(2b+1)~(1/2)≤2 2~(1/2). 分析;显然,当a=b=1/2时,上述不等式等号成立,而此时有2a+1=2b+1=2. 证明:∵ a、b>0, ∴ (2a+1)2~(1/2)≤(2a+1)+2/2=2a+3/2,①     

应用几何图形巧证不等式

<正>不等式的证明作为证明的重要内容,经常可以在各类数学考试、竞赛中见到.由于数学符号的抽象性,证明方法往往不易想到,但若能结合不等式的特征,联系能够反映不等式特征的几何图形的性质,就可将不等式中     

构造函数式 巧证不等式

在数学题目的证明中会用到许多思想方法,如数形结合、代换、构造函数、分类等,这些方法贯穿了数学学习的全过程,这些方法的应用,不仅能提高学生的解题能力,而且能训练学生的思维。在不等式的证明中利用函数的思想,构造函数证明不等式是一种重要的思想方法,下面就举例说明构造函     

构造长方体 巧证不等式

对于长方体,教材给出了如下性质: 定理长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。性质1 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别是α、β、γ,则 cos~2a cos~2β cos~2γ=1。性质2 长方体的一条对角线与各个面     

构造向量巧证不等式

向量是高中教材的新增内容 ,作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学后 ,给中学数学带来无限生机。笔者在阅读文 [1 ]发现 ,该文所举的各个例子 ,均可通过构造向量 ,利用向量不等式 :m·n≤ |m|·|n|( )轻松获证 ,显示了向量在证明不等式时的独特威力。例 1　已知a、b、c∈R ,且a +2b +3c=6,求证a2+2b2 +3c2 ≥ 6。证明　构造向量 :m =(a ,2b ,3c) ,n =( 1 ,2 ,3 ) ,由向量不等式 ( )得6=a +2b +3c≤a2 +2b2 +3c2 · 1 +2 +3 ,∴a2 +2b2 +3c2 ≥ 6。例 2　已知 :a、b∈R+ ,且a +b =1 ,求证(a +1a) 2 +(b +1b) 2 ≥2 52 。证明　构造…