一道数学归纳法例题的思考探究

北京师范大学出版社的《全日制普通高级中学教科书(实验本·必修)数学》第三册(理)P.46例3是一道很有意思的题,作为教材的例子,通过展示草率下结论的危险,强调学生要区别两点:(1)从直觉猜想得出的认为是正确的结论与(2)用数学归纳法证明的结论.     

数学归纳法的一个直观教具

数学归纳法是一种十分重要的数学方法。正确理解数学归纳法原理,并能用数学归纳法解决问题是全日制中学数学教学大纲的要求。本文向大家推荐一个数学归纳法的直观教具,它简易可行,对数学归纳法本质的理解有极大的帮助。一、教具     

关于数学归纳法的一个注记

数学归纳法是由自然数的归纳公理（或最小数原理）而演变成的各种形式。在运用时,第一数学归纳法、第二数学归纳法和反向数学归纳法是常见的。高等师范院校数学系教材［一］Ｐ３７定理３的证明,属于数学归纳法证明的一个不恰当的例子。原文如下：定理３若整数ｇ＞１,则任一正整数ａ能够唯一地表为这里整数ｎ≥０,ａｉ∈Ｚ,且０≥ａｉ＜ｇｉ＝０,１,…,ｎ。证先用数学归纳法证明ａ可以写成（１）,当ａ＝１时,令ｎ＝０,ａ０＝１,即知（１）成立。假定小于。的任何正整数可以表为（１）,现证。也可以写成（１）。设ｇｎ≤。＜ｇｎ…     

一个数列不等式的数学归纳法证明

有关数列与不等式的综合题是近年来各地预考、全国统考的热门题、压阵题。这类题通常是用数学归纳法证明。但是,由n=k时的归纳假设推导n=b+1时的结论成立的这一过程,其技巧性颇强,难有陈规可袭,稍有不慎,则难以达到目的。下面是一道流传甚广的习题。本文以此为例着重谈谈由归纳法假设推导n=k+1时结论成立这一过程的几种重要方法及变形技巧。问题:设有正数列{a_n}满足:a_n~2≤an-a_(n+1),试证明:a_n≤1/(n+2)(n=2,3,4,…)。     

一数学归纳法的一个推广设想

数学归纳法的本质是一种递推的思想，它的过程是：（1）证明当n取得第一个值n0=1时，结论成立；     

数学归纳法

处理数学问题时,经常涉及到关于任意正整数n成立的一些命题,这些命题实质上是由无限个n取具体整数时得到的无限个命题组成的.我们不能逐一验证,此时数学归纳法往往是一种十分有效的方法.     

运用第二数学归纳法经常出现的一个错误

在数学证明中常常要用到第二数学归纳法,它的叙述是第二数学归纳法原理:设有一个与自然数有关的命题.如果1~0当 n=1时命题成立;2~0假设命题对于一切小于 k 的自然数来说成立,则命题对于 k 也成立;那末命题对于一切自然数 n 来说都成立.     

数学归纳法

<正>数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题。在高中数学中,它的应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题,以及归纳猜想证明、简单的几何问题证明等,在高考试题中通常与数列知识相结合进行考查。1示例分析1.1一般方法"归纳—猜想—证明"     

数学归纳法

数学归纳法在数学上是很常用的方法,很多性质都可以用这种方法加以证明,下面举例说明.我们要求一个和     

数学归纳法

在与自然数有关的命题的研究中,数学归纳法是一个重要的证题方法。此法由意大利数学家莫洛里克斯(Maurolycus1494—1575)提出,但古希腊几何学家欧几里得(-330-275)在证明“素数的个数无穷”这个命题时,已隐含数学归纳法这个推理模式。当时,欧几里得用的是反证法:反设素数个数不无穷,即只有有限多个,设为2,3,5,7,……,p(依大小顺序排列,p是最大素数),下面推出矛盾。制造一个新数 Q=2·3·5…p 1, 显然,Q大于2,3,5,…,p中的任一个。     

用数学归纳法证明一个几何趣题

在《趣味数学辞典》一书中有这样一个美妙的拼图(图1),再按图2连接AB、BC、CD、DA得到一个新的大正方形,这是由阿拉伯数学家艾布·维法(Abul Wefa,940-998)首先找到的三个相同小正方形拼成一个大正方形的巧妙方法。     

归纳法与数学归纳法及其应用

本文阐明了归纳法与数学归纳法的基本思维方法,通过典型范例的分析评述,揭示它们在解题中的应用技能与技巧,并说明两者的内在联系与区别。     

数学归纳法小议

本刊1986年第二期禹佳同志的《这是数学归纳法吗?》一文,从一个侧面纠正了一些错用数学归纳法的情形,十分必要。但文中关于“一个与自然数n有关的命题P(n),要证它对一切自然数n都成立,一般有两种证法,一是数学归纳法,另一是直接证法”的说法,笔者认为欠妥。因为文中所说“直接证法”的实质是什么并未点明。我认为凡是证明一个与自然数n有关的命题(以下简     

多米诺骨牌与数学归纳法——数学归纳法教学之我见

本文将数学归纳法与多米诺骨牌游戏类比,形象地解释了数学归纳法的原理,达到了化难为易的目的;将运用数学归纳法的技巧归纳为一个“凑”字,使数学归纳法的证题思路具体化。     

浅谈数学归纳法

<正>数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法.应用广泛,在最近几年的高考试卷中体现得特别明显.以下通过几道例题来谈一谈数学归纳法的学习误区及数学归纳法在解题中的应用.一、思维误区剖析1.忽视对初始值的验证     

谈数学归纳法

任何科学结论产生的逻辑过程,都是开始于对某个事件的发生作反复试验,并从观察它的发展趋势中猜想出某种规律,最后设法加以证明或反驳.在试验观察、探索命题、证明或反驳的过程中,如果这个命题和自然数n有关,那么数学归纳法就成为揭示这一规律的重要手段了.     

浅谈数学归纳法

数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是:1°验证:n=1时,命题成立;2°在假设当n=k(k≥1)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时,命题成立.根据1°,2°可以判定命题对一切正整数n都成立.数学归纳法的两个步骤("归纳奠基"和"归纳递推")是缺一不可的.使用数学归纳法证明时,只有把两个步骤结     

数学归纳法浅析

本文介绍了归纳与演绎的关系,并通过一些常见的、典型的例题,让学生对数学归纳法有更深的认识,掌握解决数学题目的又一种方法。