一元二次方程根与系数关系的应用

我们知道，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：如果的两个报是x1、x2，那;反之，以为根的一元二次方程是o．这个关系在数学中有很广的应用．通常可以用来解决以下问题：一、已知一个一无二次方程和它的一个根，不解方程、求另一个根．例1已知方程2x’一3。＋2。l一0的一”个根为1，求另一个根和nL的值．思路分析此题已告知方程及方程的一个根，欲求另一个根，可根据根与系数的关系求解．解设方程的另一个根为x，由根与系数的关系得：I＋。、一7及I·。、一m．”””“”“”“”“”一2”—～。—’一1122方程的另一个根是专，。，…     

2003年一道中考题的多种解法

20 0 3年江苏省盐城市中考数学试卷中有这样一道试题 :已知关于x的方程x2 + 2 ( 2 -m)x + 3- 6m =0 .( 1 )求证 :无论m取什么实数 ,方程总有实数根 ;( 2 )如果方程的两个实数根x1、x2 满足x1=3x2 ,求实数m .这是一道考查学生一元二次方程根的判别式、配方法、非负数性质、一元二次方程的根与系数关系以及方程思想、分类讨论思想水平的好题 .其解法灵活多样 ,有助于学生数学能力的提高 .( 1 )证法一 :由Δ =4 ( 2 -m) 2 - 4( 3- 6m)=1 6 - 1 6m + 4m2 - 1 2 + 2 4m=4m2 + 8m + 4=4 (m + 1 ) 2≥ 0 ,可知无论m取何实数 ,方程必有实数根 .说明 …     

阅读理解试题评析

相等龚粼关于久的方程k丫+(2k一1)x+卜。有两个不,,2.(l)求无的取值范围.(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解:“,根据题意,得么二‘2“一‘,2一“z>0·解得“‘专·二当‘<音时,方程有两个不相等的实数根· (3)展开二项式(a+b)叹n为正偶数),系数最大的项是第_项.若n=8,则展开式中系数最大的项是第 项. 分析本例中第(2)、(3)问的关键在于从特殊情形人手,探索规律,找到结果与序数n的对应关系. [答案](l冲+sa4b+loa3占2+10aZb3+sab4+b’;(2)n+;(3)二+l 2(2)存在.若方程的两个实数根xl,…     

培养学生探索能力的一次尝试

我在“一元二次方程的根与系数的关系”的教学中,注意教给学生从特殊到一般的思维方法,培养探索能力,收到了较好的效果。一上课先复习方程的四种解法,并且求解方程2 x~2 5 x-3=0(1),然后提问:“一元二次方程根与系数的关系,我们已经学过哪些?”学生回答,“根的判别式是由方程的系数构成的,从△的符号能判别方程实根的有、无等情形。”“求根公式也表明根与系数的关系。”我肯定了他们的回答:“判别式、求根公式都正确地表明了系数与根的关系,即由系数去求根。这节课我们要进一步讨论根与系数的关系,例如已知方程的两根怎样去求系数。”这一小结为下面的探索提供了线索。接着我们求解方程x~2-5 x 6=0(2),得出结论“方程的两根之和等于方程一次项系数的     

判别式问题中的错解剖析

在解与实数相关的问题时,常常用到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac,这里谈谈判别式的具体应用中的一些错解。一、待定系数的求值问题例1.已知关于x的方程x2-mx-n=0的两根的积比两根之和的2倍小12,并且两根的平方和为22,求m,n的值。错解:设两根分别为x1、x2则x1+x2=m,x1x2=-n依题意,得2(x1+x2)-x1x2=12x21+x22=2 2即2m+n=12m2+2n=2 2解得m1=7n1=-272 或m2=-3n2=132 分析:∵方程有两根,∴△≥0即m2+4n≥0,但m1=7,n1=-272时,△<0。不合题意,应舍去。当m2=-3,n2=132时△>0∴m=-3,n=132例2.已知一元二次方…     

浅谈妙用根的定义求代数式的值

在初中代数中 ,求关于已知一元二次方程的两根的代数式的值 ,是常见的一类问题。在解决这类问题时 ,一般情况下 ,利用一元二次方程根与系数的关系来求解 ,但在不少情况下 ,题中所给的代数式与方程两根的和与积并没有明显的联系 ,单独利用根与系数的关系不易求解 ,甚至无法求解。此时就可以先利用一元二次方程根的定义把所给的代数式进行变形 ,使之与方程两根的和与积产生联系 ,再利用根与系数的关系求解。例一 :已知α,β是关于 x的方程 :x2 + ( m- 2 ) x+ 1=0的两个根 ,求 ( 1+ mα+ α2 ) ( 1+ mβ+ β2 )的值。分析一 :考虑用根与系数的…     

一元二次方程根的符号的确定及其运用

一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两根x1、x2 与系数有如下关系 :x1+x2 =- ba ,x1·x2 =ca ,在不解方程的情况下可利用以上关系确定方程两根的符号 ;反过来 ,在已知方程两根关系及符号的情况下可求出方程中字母系数的值或取值范围。一、两根同号的判定△ >0ca>0 两根同为正 ;①若 - ba >0 ,则两根同为正 ;②若 - ba<0 ,则两根同为负。例 1　已知关于x的一元二次方程x2 - (m2 + 3)x + 12(m2 + 2 ) =0。试证 :无论m取任何实数 ,方程有两个正根。分析 :要证方程有两个正根 ,只需证明①△ >0 ,② ca>0 ,③ - ba>0。证明 :∵△ =(m2 + 3) 2…     

一道中考题的多种解法

2003年盐城市中考数学试卷中有这样一道试题: 已知:关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0 (1)求证:无论m取什么实数,方程总有实数根; (2)如果方程的两个实数根x1、x2满足x1=3x2,求实数m. 这是一道考查学生对一元二次方程根的判别式,配方法,非负数的性质、一元二次方程的根与系数关系、分类讨论思想、方程思想等等掌握情况的好题,它很受考生的欢迎.其解法灵活、多样,有助于学生数学能力的提高.现举其几种解法如下,仅供大家参考.     

用待定系数法解数学题

在数学问题中,如果我们事先能判断所求问题的结果具有某种确定的数学关系,可以写作表达式,但这种表达式中某些系数有待确定,则可根据给出的已知条件,列出含待定系数的方程或方程组,解此方程或方程组,求得未知系数.这种解决数学问题的方法,叫做待定系数法.待定系数法是一种重要的数学方法,它在初中数学中应用非常广泛,下面通过一些例题帮助大家掌握这种方法.例1已知x1、x2是关于x的一元二次方程m x2 (m n m 1)x 4n=0的两个实数根,y1、y2是关于y的一元二次方程8y2-(2m 4)y 5-n=0的两个实数根,且x1y1=-1,x2y2=-1,求m、n的值.分析:解答本题的关…     

含有字母系数的一元二次方程错解例析

一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是初中数学的重点内容.解含有字母系数的一元二次方程时,常常会因对字母系数考虑不周,或对判别式运用不当而产生错误.例1求证:关于方程mx2-(m+2)x+1=0有实数根.错解:当m≠0时,Δ=[-(m+2)]2-4m=m2+4,∵m2≥0,∴m2+4>0.即原方程有两个不相等的实数根.分析:含有字母系数的方程不一定是一元二次方程,所以二次项系数也可能等于0,即应对二次项系数进行分类讨论.应补充:当m=0时,原方程变为-2x+1=0,此方程只有一个实数根x=12.例2关于x的方程mx2-(2m+1)x+m=0,有两个不相等的实数根,求m的取值范围.错解:根据题…     

一元二次方程证明题的证题思路

一、已知方程及系数的附加条件 ,证明根的存在性这种题型实质上是判别定理的直接应用 ,可归纳为如下思路 :方程———→△———→加入已附加条件 △的符号——结论例 1.已知关于 x的方程 x2 (m - 2 ) x 12 m- 3=0 ,求证 :无论 m取什么实数值 ,这个方程总有两个不相等的实数根。证明 :由方程得△ =(m- 2 ) 2 - 4 (12 m- 3) =m2 - 6 m 16 =(m- 3) 2 7,∵ m为实数 ,∴ (m- 3) 2≥ 0 ,即△ =(m - 3) 2 7>0。∴无论 m取何实数值 ,方程总有两个不相等的实数根。二、已知方程及根的存在性 ,证明与方程系数有关的等式及不等式这类题的思路…     

一元二次方程根与系数关系的应用

一元二次方程根与系数的关系是中考中的热门话题，应用十分广泛，本文总结归纳它的一些应用，供同学们学习参考．一、已知一无二次方程和它的一个根，求另一个根及某些参数的值．例1已知方程5x‘＋mx－6—G的一个根是一7，则另一个根是，m一”“q”“””“”’””’．．（1996年常州市中考试题）思路分析已经知道方程的一根，可利用两根之积等于一j求出另一根，再利用两根之和求出m的值二解设方程的另一根为X，由根与系数的、，、，。36。3m夫系得一号·——一号与一；＋l——一号．，—一·、5一q“F～5解得x一2，m—一八方程的另一根…     

关于二次方程的一个定理及其应用

应用关于一元二次方程“‘’十b‘+c=o(a戈0)的根与系数关系的定理可以证明: 定理方程ax“十bx十c二o(a、0)的一根比另一根的k倍大m的充要条件是 kbZ一(k+1)“ae=仍a〔仍a一(沦一1)b〕。 例1.a为何值时,方程 (a+l):艺+(a一3)x+(a一5)=o的一根比另一根大3? 解:定理中取无=l,m二于则 (a一3)2一4(a十l)(a一5)=9(a+1)2, 5a=l或一马. J 例2.方程a:’十bl+。二2:3,求证6b2=25a。. 解:设两根为::,::.有0两根之比一为则21二2:,/3艺a、.了扣一(;·即6b2=25ae. 例3.求证:无论。戈1为任何数,方程 4(明一1)2x2+4(阴一1)(切+3)才 +(仍+1)(”弓+5)=0恒有…     

韦达定理及其应用研究

一、基础知识“若实数x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a”,这一关系称之为韦达定理;其逆定理是:“若实数x1,x2满足x1+x2=-b/a,x1x2=c/a,则x1,x2是方程ax2+bx+c=a(a≠0)的两个根”,韦达定理及其逆定理在各类数学竞赛中具有广泛的应用,下面举例加以说明:二、应用举例1.用于求方程中参系数的值例1 设m是不小于-1的实数,使得关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等     

如何解两个一元二次方程有公共根的问题

关于解两个一元二次方程有公共根的问题,有些同学感到困难.下面提供一例题的几种解法,供同学们参考. 例:m为何值时,方程x2+mx-3=0与方程x2-4x-(m-1)=0有一个公共根?并求出这个公共根. 解法一:利用根与系数的关系设公共实根为a,则方程x2+mx-3=0的两根为a,-m-a.     

从一道试题谈起

安徽省1988年“中考”数学试题最后一题是：已知方程2x~2-5mx+3n=0两根之比为2：3，而方程x~2-2nx+8m=0两根相等（m、n是不为零的实数）。求证：k为任何实数时，方程mx~2+（n+k-1）x+（k+1）=0恒有实数根。     

数学综合题归纳与训练 一、代数综合题

代数综合题是以初中代数知识为主体的综合题.由于综合题涉及的知识覆盖面十分广泛,涉及的知识类别中常常是“你中有我,我中有你”,因此,不易将它们作十分明显的分类.根据题目的特点,代数综合题大体可分为四类:方程类、函数类、动点类、应用类.1方程类方程类代数综合题一般以一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、根的意义和参数的隐含条件为主线.例1已知关于x的方程kx2 (2k-1)x k-1=0①的根为整数,而关于y的方程(k-1)y2-3y m=0②有两个实数根y1、y2.(1)当k为整数时,确定k的值;(2)在(1)的条件下,若m>-2,用关于m的代数式表示y21 y22.解:…     

根与系数关系应用错例分析

初三代数教材对一元二次方程根与系数关系叙述为:如果ax~2+bsr+c=0(a≠0)的两个根是x_1、x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1·x_2=c/a。此定理对结论成立的先决条件交代很清楚,即“原方程存在两个根x_1和x_2”。但在教学过程中,我发现有些学生在运用这一关系时却只记住了结果,忽视了条件,因粗心大意导致解题错误。 错例1.判断正误:方程ax~2+bx+c=(a≠0)两根之和为-b/a。( ) 错误判断为“对”。 错例2.若方程x~2+(m~2-1)x+1+m=0的两根互为相反数,则m的值为( ) (A)1或-1; (B)1; (C)-1; (D)0。 错选(A)。     

关于复数的两个问题

一、准确掌握复数的运算性质如|Z|n=|Zn|(n∈N)【例1】关于x的方程x2 x m=0的两虚根α、β满足|α-β|=3求实数m的值错解:由根与系数关系可知α β=-1αβ=m∵|α-β|=3∴|α-β|2=32∴(α-β)2=9,(α β)2-4αβ=9;1-4m=9∴m=-2由题中αβ=m可得|α|2=m,又已知α是虚数,由此可     

求一元二次方程整数根的若干方法

目前 ,一元二次方程整数根问题已成为各级各类竞赛不可缺少的试题 .它解法灵活、技巧性强 ,常使学生颇感棘手 ,本文仅以竞赛题为例介绍一些常用的解题思路和方法 .一、利用整数的性质例 1　 (希望杯数学竞赛题 )已知 p为质数 ,且方程x2 + px - 44 4p =0有两个整数根 ,求 p的值 (　　 )解 :设 m ,n为原方程的两个根 ,则m + n =- pmn =- 44 4p =- 2 2× 3× 37p∵ p为质数 ,且 m n =- 2 2× 3× 37p,则 p必为 m或 n的约数 ,又 m + n =- p,则 p同为 m、n的约数 .又∵ m n =- 2 2× 3× 37p,∴ p的可能取值为 2 ,3,37.将 p =2 ,3,37分别代入原方…