一道竞赛题新探

题：如图１,设△ＡＢＣ是直角三角形,点Ｄ在斜边ＢＣ上,ＢＤ＝４ＤＣ．已知圆过点Ｃ,且与ＡＣ相交于Ｆ,与ＡＢ相切于ＡＢ的中点Ｇ．求证：ＡＤ⊥ＢＦ．本题为１９９９年全国初中数学联合竞赛第二试第二题,具有一定难度和探索性．本文对此题作如下思考．一、题目的多种新解法解证此题的关键是得出∠ＡＢＦ＝∠ＣＡＤ,故有以下新解法．解法１：如图１,设∠ＣＡＤ＝α,∠ＡＢＦ＝β,由ＢＤ＝４ＣＤ,有Ｓ△ＡＤＣＳ△ＡＤＢ＝１４１２ＡＤ·ＡＣ·ｓｉｎα１２ＡＤ·ＡＢｓｉｎ（９０°－α）＝１４ＡＣＡＢ·ｔｇα＝１４．由Ａ…     

一道课本习题的推广及应用

一道课本习题的推广及应用河南省浚县实验中学张立义原题：△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ为ＢＣ边上的高，ＡＤ的中点为Ｍ，ＣＭ的延长线交ＡＢ于点Ｋ，求证：ＡＢ＝３ＡＫ．（九年义务教育《几何》第二册第２６３页第１４题）以此题为基础，逐步削弱条件，可寻找出此类题...     

一道初中竞赛题证法的再探讨

题目　已知点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ顺次在⊙Ｏ上,ＡＢ＝ＢＤ,ＢＭ垂直于ＡＣ,垂足为Ｍ．证明：ＡＭ＝ＤＣ＋ＣＭ．（１９９７年江苏省初中竞赛题,著名的“阿基米德折弦定理”）．贵刊１９９９年第３期第３２页张昕老师《一道初中竞赛题的证法探讨》给出了多种证题思路,读后受益非浅．但张老师认为“证明本题必须通过截长补短的辅助线将证ＡＭ＝ＣＭ＋ＤＣ转化为证两线段相等”．而我对本题的特征又进行了分析．得出了下面的代数证法,以供参考．解法探索：因欲证ＡＭ＝ＤＣ＋ＣＭ,而ＡＭ、ＤＣ、ＣＭ都为线段的长,即均为正值．故只要证明Ａ…     

利用勾股定理解竞赛题

勾股定理是几何中一个极为重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．应用它，不仅可以解竞赛计算题，而且可以解竞赛证明题．例１若直角三角形的两直角边的长分别为１和２，则斜边上的高为（）（Ａ）；（Ｂ）（Ｃ）；（Ｄ）．（１９９５年昆明市初中数学竞赛试题）解如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝１，ＢＣ＝２，例２在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝１５°，ＡＢ＝１０，则△ＡＢＣ的面积为（）（Ａ）１０；（Ｂ）１０；（Ｃ）１２．５；（Ｄ）１５．（１９９３年吉林省初中数学竞赛试题）解如图２，作…     

勾股定理在几何计算中的应用

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，它在解有关直角三角形的问题中有广泛的应用．现举例说明它在几何计算中的应用，供同学们参考．例１如图１，凸四边形ＡＢＣＤ中，四边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ和ＤＡ的长分别是３、４、１２和１３，∠ＡＢＣ＝９０°，则四边形ＡＢＣＤ的面积是多少？（第七届“希望杯”竞赛试题）分析由题设ＡＢ＝３，ＢＣ＝４且∠ＡＢＣ＝９０°，连结ＡＣ得Ｒｔ△ＡＢＣ，根据勾股定理易求ＡＣ＝５．在△ＡＣＤ中根据勾股定理的逆定理可以判定△ＡＣＤ为直角三角形．计算两直角三角形面积之和即为四边形ＡＢＣＤ的…     

数学中考综合训练题

数学中考综合训练题陕西师大附中边团结一、选择题１．如果３ｘ－２ｙ＝０，则ｘｙ为（）．Ａ．２３Ｂ．３２２Ｃ．２３或无意义Ｄ．无法确定２．如图１，在△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ梯形ＤＢＣＥ，则ＤＥＢＣ为（）．Ａ．１２Ｂ．２２Ｃ．１４Ｄ．２３３．...     

利用面积巧解题

分析这道题的常规解法是通过相似三角形对应边成比例，求出ＡＤ的长，再用勾股定理计算出ＣＤ来．倘若利用三角形面积公式解这道题，既简捷又明快．解在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得例２如图２，已知ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＢＣ＝１６，Ｐ为ＢＣ上任一点，ＰＤＡＢ，ＰＥＡＣ，垂足分别为Ｄ、Ｅ．试求ＰＤ＋ＰＥ的值．解过Ａ作ＡＭＢＣ，垂足为Ｍ，连结ＡＰ．由评析通过这道题的解，我们发现利用面积解题，确实给人以耳目一新之感．例３如图３，已知ＢＤ、ＣＥ是否ＡＢＣ的两条高．求证：ＡＢ·ＣＥ＝ＡＣ·ＢＤ．分析这道题的常规解…     

求不规则四边形面积的两种方法

例１ 如图（１） ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ⊥ＢＣ ,ＡＤ⊥ＤＣ ,∠Ａ＝１３５°,ＢＣ＝６ ,ＡＤ＝Ｉ２３ ,求四边形ＡＢＣＤ的面积．学生在解这道题时 ,往往急于连接对角线ＡＣ或ＢＤ ,之后就束手无策了．下面举例介绍求不规则四边形面积的两种方法．一、补形法如例１ 可用两种方法 :１ 将原题中的图形补添辅助线成图（２） ,有Ｓ 四边形ＡＢＣＤ ＝Ｓ△ＯＢＣ -Ｓ△ＯＡＤ＝ １２ＢＣ·ＯＤ－１２ＡＤ·ＯＤ＝ １２ＢＣ２－ １２ＡＤ２＝ １２ ３６－１２ ＝１２．２ 将原题中的图形补添辅助线成图（３） ,有Ｓ 四边形ＡＢＣＤ＝Ｓ 矩形…     

解隐含条件型数学题的几种常用方法

一、定义法例１ （１９９８年上海初二数学竞赛试题）在图（１）中 ,已知ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ ,如果∠ＤＡＣ是∠ＣＡＢ的ｋ倍 ,那么∠ＤＢＣ是∠ＢＤＣ的（）倍．分析 :由ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ ,联想到圆的定义 ,可知Ｂ ,Ｃ ,Ｄ三点都在以Ａ为圆心 ,ＡＢ长为半径的圆上（如图） ,借助圆周角与圆心角之间的关系 ,可使问题迎刃而解．显然 ,∠ＤＡＣ＝２∠ＤＢＣ ,∠ＣＡＢ＝２∠ＢＤＣ ,故选（Ａ）二、判别式法例３ 已知ａ,ｂ,ｃ是实数 ,且ｂ +ｃ＝８,ｂｃ＝ａ２ -１２ａ +５２ ,求ａ +２ｂ +３ｃ的值．解 :由ｂ +ｃ＝８得ｃ＝８ -ｂ,将其代入ｂ…     

数学高考综合训练题(2)

数学高考综合训练题（２）陕西省永寿县永寿中学安振平宁夏固原县张易中学李国旗第Ⅰ卷一、选择题１．设集合Ｍ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２５＋ｙ２９＝１｝，Ｎ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２＋（ｙ－１）２＝１｝，则Ｍ、Ｎ的关系是（）．Ａ．ＭＮＢ．ＮＭＣ．Ｍ∩Ｎ＝Ｄ．Ｍ∪Ｎ...     

高考数学综合训练

一、选择题（本大题共１４小题,第１～１０题每小题４分,第１１～１４题每小题５分,共６０分）（１）已知集合Ｍ＝｛（ｘ,ｙ）｜ｘ－ｙ＝０｝,Ｎ＝｛（ｘ,ｙ）｜ｘ２－ｙ２＝０｝,则有（）．Ａ．Ｍ∩Ｎ＝ＭＢ．Ｍ∪Ｎ＝ＭＣ．Ｍ∩Ｎ＝Ｄ．Ｍ∪Ｎ＝Ｒ（２）下列不...     

证明线段等积式常用方法举隅

初中平面几何中关于证明线段等积式的问题 ,是常见的一种题型 ,它是教学的一个重点．现举例介绍八种常用方法．一、利用平行线分线段成比例定理例１ 如图（１） ,ＡＤ是△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线 ,交ＢＣ于Ｄ点 ,求证ＡＢ·ＤＣ＝ＢＤ·ＡＣ．ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．四、利用射影定理例４ 如图（４） ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ＝ＡＣ ,以ＡＢ为直径作圆交ＢＣ于Ｄ ,Ｏ是圆心 ,ＤＭ是⊙Ｏ的切线交ＡＣ于Ｍ ,求证ＤＣ２ ＝ＡＣ·ＣＭ．思路分析 :证明△ＡＤＣ是Ｒｔ△ ,并且ＤＭ⊥ＡＣ ,就可利用射影定理证得结论．五、利用圆幂定理例５ 如图（５…     

面积法在平几中的应用

所谓面积法就是利用几何图形中的边、角与面积之间的关系，运用代数手段来完成几何中的推理过程．用面积法一般可不添或少添辅助线，证法简洁，易于被学生接受和掌握．图１１　证明线段相等例１　（１９７８年高考题）ＡＢ是圆的直径，Ｃ是半圆上一点，直线ＭＮ切半圆于Ｃ点，ＡＭ⊥ＭＮ于Ｍ，ＢＮ⊥ＭＮ于Ｎ，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：（ｉ）ＣＤ＝ＣＭ＝ＣＮ；（ｉｉ）ＣＤ２＝ＡＭ·ＢＮ．证明　连结ＡＣ、ＢＣ，如图１，由∠ＭＣＡ＝∠ＡＢＣ知　∠ＭＡＣ＝∠ＣＡＤ．在Ｒｔ△ＡＤＣ与Ｒｔ△ＡＣＭ中，有ＡＤ·ＣＤＡＭ·ＣＭ＝ＡＣ·ＡＤ…     

一道中考题的商榷

安徽省２０００年初中升学统一考试数学第１９题： 已知,如图,ＡＢＣＤ是正方形,Ｅ是ＣＤ的中点,Ｐ是ＢＣ边上的一点。下列条件中,不能推出△ＡＢＰ和△ＥＣＰ相似的是： （Ａ）∠ＡＰＢ＝∠ＥＰＣ; （Ｂ）∠ＡＰＥ＝９０° （Ｃ）Ｐ是ＢＣ的中点; （Ｄ）ＢＰ：ＢＣ＝２     

补形解题妙在“补”

一些表面上无从下手的几何图形 ,我们只要充分应用所学的知识 ,打破常规思路 ,充分挖掘题设的内涵 ,就可寻找出最佳的解题途径。“补形”就不失为一种好方法。下面略举几例 :一、补成三角形如图 ,这是１９９４年北京市中学生数学竞赛试题。已知 :在六边形ＡＢＣＤＥＦ中 ,∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝∠Ｅ＝∠Ｆ ,且ＡＢ +ＢＣ＝１１ ,ＡＦ -ＣＤ＝３ ,则ＢＣ +ＤＥ＝。析解 :∵所给图形的几个内角相等 ,∴可将六边形中的三边ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ向两侧延长得△ＧＨＭ。∵六边形的内角和为７２０°,∴∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝∠Ｅ＝∠Ｆ＝１２０…     

一道几何题的多种证法

一题多解有利于开拓思路，培养思维能力．本文将研究一道几何题的多种证法，供读者参考．题目如图１，已知ＡＢＣ为等边三角形，延长ＢＣ到Ｄ，又延长ＢＡ到Ｅ，使ＡＥ＝ＢＤ，连结ＣＥ、ＤＥ．求证：ＣＥ＝ＤＥ．分析利用全等三角形证明两条线段相等是最基本而又最常用的方法．但在给定图形中并没有以ＣＥ、ＤＥ为一对对应边的全等三角形，因此必须添加辅助线，构成证题所需的全等三角形．具体添加辅助线的方法有如下六种：（１）在ＡＥ上取一点Ｆ，使ＡＦ＝ＣＤ，连结ＤＦ（如图１），则ＥＦ＝ＢＣ＝ＡＣ，ＢＦ＝ＢＤ．于是，欲证ＣＥ＝Ｄ…     

２００２年全国高考数学（理）（１８）题第（１）小题的别解

［题目］如图，正方形ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ的边长都是１，而且平面ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ互相垂直．点Ｍ在ＡＣ上移动，点Ｎ在ＢＦ上移动，若ＣＭ＝ＢＮ＝ａ（０＜ａ＜√２）．（Ｉ）求ＭＮ的长．     

一道习题的多种解法及潜在结论

天津市初三《几何》补充教材中有这样一道检测题：△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ＝９０°,Ｄ、Ｅ为斜边ＡＢ上的点,ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＢ,且ＣＤ＝ｓｉｎｘ,ＣＥ＝ｃｏｓｘ,求斜边ＡＢ．这是一道典型题,本文试就此题（下称原题）的解法和潜在结论做一些开发,以便在教学中培养学...     

例谈平几开放题的编制

在如何培养学生创新意识和能力的讨论中，数学开放题成为我国中学数学教育的一个重要议题。开放性教学如何与传统的数学教育结合起来，如何形成符合时代要求的数学教育的新的模式，是摆在我们数学教育工作者面前的一个重要课题。 数学开放题有多种形式，如问题答案的开放，解法的开放，对问题题设条件的开放等等。下面就两道常见平面几何题的教学，谈谈题设条件开放题的编制，供参考。 ［例１］如图（１），已知在△ＡＢＣ中，　Ａ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分　ＡＢＣ，交 ＡＣ边于点Ｄ。求证： ＢＣ＝ＡＢ十 ＡＤ。 在引导学生解答后，…     

四个平均值与四个平行面

１９９８年《数学教师》第４期刊载了吴传启先生的文章《四个平均值＝四条平行线》．此文讨论了两个正数的平均值与一个梯形的四条平行线之间的对应相等关系．其结论如下：梯形ＡＢＣＤ的上底ＡＢ＝ａ,下底ＤＣ＝ｂ,对角线交于Ｏ点,过点Ｏ作ＥＦ∥ＡＢ;作ＰＱ∥ＡＢ且使梯形ＡＢＱＰ和梯形ＰＱＣＤ相似;作ＧＨ为中位线;作ＭＮ∥ＡＢ且使梯形ＡＢＮＭ和梯形ＭＮＣＤ等积,则有：（１）ＥＦ＝２１ａ＋１ｂ（调和平均值）;（２）ＰＱ＝ａｂ（几何平均值）;（３）ＧＨ＝ａ＋ｂ２（算术平均值）;（４）ＭＮ＝ａ２＋ｂ２２（二次幂平均值…