均值定理中的“凑”与“配”

不等式中的均值定理(基本不等式)是高考的重点和热点,同时也是解决很多问题的重要工具,应用均值定理(基本不等式)的前提是满足"一正"、"二定"、"三相等",当题目的条件不满足这一要求时,就需要适当的"凑"与"配".下面结合具体例子予以说明.     

应用均值定理求最值的错解及分析

（a+b）/2≥ab^1/2（a,b∈R⁺,当且仅当a=b时取"="号）,（a+b）/2为a,b的算术平均数,ab^1/2为a,b的几何平均数.此不等式即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的均值定理.应用均值定理时,需满足正（a,b均大于0）、定（a,b的和或积为定值）、等（a=b可以成立）三个条件.但是一些学生在应用解题时,常会出现貌似合理的解法,却造成矛盾或错误的结果等现象,究其原因,往往是对均值不等式中的"="的理解出现误区所致.实际上,均值不等式本身有其双重性.一方面,     

运用多次放缩求最值

在利用均值不等式求最值时,多数同学是通过拆、添、配、凑来达到使用均值不等式的条件,当无法配凑出定值或等号不成立时,便不敢再用均值不等式,错失了良好的解题时机.其实有很多题目,若能恰当运用多次放缩,且使得多次放缩时可在同一条件下取得等号,仍可求出最值,下面举例说明.     

用均值不等式求函数最值的常用技巧

<正>均值不等式是求函数最值的有效工具,也是高考考查的一个重要知识点.运用均值不等式求函数最值时,需满足"一正,二定,三相等"三个条件,其中"定"和"相等"是题目命制中常被设计的两个难点.下面举例说明运用均值不等式求最值的解题技巧.     

走出均值不等式应用的误区

均值不等式是不等式这一章中的重要内容,也是历年高考重点考查的热点之一,它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节,且常考常新.由于均值不等式应用必须满足三要素:一正(变量均为正数),二定(变量积或和为定值),三相等(等号成立).三者缺一不可,同学们应用时稍不谨慎,就会步入误区.     

基本不等式的“潜伏”

正基本不等式是高中数学的重要内容及求解数学问题的重要工具,是高考和竞赛考查的重点.它与函数、方程、数列、几何等相关知识联系紧密.从考试实际情况来看,很多数学问题所呈现的背景并非是基本不等式本身,基本不等式问题都"潜伏"起来了,分散在相关的知识考查中,呈现整合的特征,下面通过举例来揭开这层面纱.一、潜伏于数列中例1设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和满足S5S6+15=0,则d的取值范围是.     

二元均值不等式的运动学意义及关系证明

二元均值不等式是数学上非常重要的一个常用的定理,用运动学的方法给出其物理意义及证明,可以帮助我们更直观地理解这一定理.1二元均值及关系任意两个正实数     

均值不等式求最值的十大策略

利用均值不等式(ab)/(1/2)≤a+b/2(a>0,b>0)求最值,要特别注意"一正、二定、三相等"这三个条件,只有同时满足这三个条件,才能取得最大值或最小值.解题时,为了满足三个条件,必须将式子作巧妙的变形,下面总结变形的十种策略.     

用均值定理求最值常用的变形方法

应用均值定理求最值,要注意满足三个条件:正值、定值、等号成立。在有的题目中,不能直接使用均值定理,主要是因为应用定理后,和或积不是定值(常数),所以必须要将题目先进行一些适当变形,常用变形方法介绍如下。1.求和的最值,常将和中某一项进行拆项,以便使积出现常数。     

均值不等式应用中不可缺少的“1”

用均值定理求最值必须满足一正、二定、三相等这三个条件,而用它求最大（小）值或证明不等式的关键是构造出几个正数的和或积为定值,且使等号成立．如何构造成为成功解题的关键．笔者通过研究发现在构造中数字“1”的作用不容忽视,下面举例说明．     

应用均值定理“四”注意

均值定理是不等式中的重要内容,在求函数的最值时经常用到．在应用均值定理求函数的最值时要注意以下四点．     

“边边角”浅析

初二几何三角形全等的判定方法，课本中介绍了四种：边角边 (SAS)公理、角边角 (ASA)公理、角角边 (AAS)定理和边边边 (SSS)公理 .对特殊的直角三角形在判定全等时，除了以上四种方法外，还有“斜边、直角边” (HL)定理。通过观察分析，发现“ HL”定理的条件应属于“ SSA”判定条件，而众所周知，“ SSA”是不能用来作为判定任意两个三角形全等的条件的，这是为什么呢 ?很多同学在学习中出现了这样的疑问和困惑 .下面将从三角形作图的角度浅析“ SSA”条件不能成为判定定理的原因，供同学们在学习中参考 .　　已知：线段 a、 b，…     

运用均值不等式的错因分析

正利用均值不等式求函数最值简捷明了,方便易行,常常可收到事半功倍的效果,深为同学们所喜爱.但如果不注意限制条件,也常常致错.本文就利用不等式求最值中常见错误及纠错心得作归类分析,使学生从纠错中进一步领悟均值不等式,进而培养学生数学思维的周密性和深刻性.一、忽略"同为正的条件"导致错误     

破解函数应用最值问题的几个策略

函数应用问题和函数最值问题一直是高中数学的重点知识,同时也是高考的重点和热点,本文就函数应用最值问题的求解策略总结如下,供同学们参考.一、利用基本不等式(均值定理)求函数的     

利用均值不等式求最值的九种技巧

利用均值(基本)不等式求最值是历年高考的热点内容之一.利用均值不等式所需的条件可概括为"一正、二定、三相等".当这些条件不完全具备时,就需要一定的技巧,特别是凑"定和"或"定积"的技巧,使其具备.下面谈谈常见的凑"定和"或"定积"的技巧,供同学们参考.     

正确应用均值不等式求最值

现行高中数学教材中,均值不等式的应用几乎涉及高中数学的所有章节,且在每年的高考试题中常考常新,其题型主要以大小判断、求最值、求参数的取值范围以及何时取得最值等几个方面出现.其中利用均值不等式求函数的最大(小)值是重点,但是学生在运用均值不等式求解最值的题目时往往出现错误。     

“正弦定理”的教学设计

<正>"正弦定理"是必修5第一章的第一节内容,是在学过了三角函数和平面向量之后安排的,这为本节的学习起了铺垫作用.正弦定理是对初中解直角三角形内容的直接延伸,它是关于任意三角形边角之间关系的重要定理之一.利用正弦定理可以解决测量、工业和几何等方面的实际问题.本节重点是正弦定理以及对正弦定理证明过程的探索.本节课的教学不仅要让学生记住这个公式,更重要的是让他们知道公式是怎么来的,也就是了     

初中生几何逻辑推理能力培养的“三步曲”

正几何证明是教学中的一个难点,也是提高学生能力的一大障碍.要突破这一难点和障碍,逻辑推理能力的培养是重点和切入点.一、关注定理、定义,夯实逻辑推理的基础学生进行逻辑推理时遇到困难的一个直接原因是对定理、定义掌握得不够好.定理和定义是几何逻辑思维的细胞,是进行逻辑推理的充分依据,是思维的基本材料.对定理、定义的掌握,重要的是对其三种语言的互化和对相关图形语言的敏感识     

一个条件不等式的推广

<正>《数学通报》2014年9月号问题2201如下:问题2201[1]已知a、b、c∈R+,且满足a2/1+a2+b2/1+b2+c2/1+c2=1,求证:abc≤2/4.本文从变元的个数与指数出发,利用均值不等式给出上述条件不等式的一个推广.推广已知n∈N+,n≥2,k∈N+,ai∈n     

均值不等式条件构造浅谈

用均值定理求最值必须满足一正、二定、三相等这3个条件．而用其求最大（小）值的关键是构造出几个正数的和或积为定值．且使等号成立．如何构造出这样的数是顺利解题的关键。本文就如何构造出均值不等式的条件进行归纳,供同学们参考．